高中数学《数系扩充和复数的概念》导学案新人教A版选修1-2

湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学选修1-2 31《数系扩充和复数的
概念》导学案
【学习目标】
1 •知道数系的扩充是与生活密切相关的，能说出复数的基本概念以及复数相等的条件；
2.知道复数与复平面内的点、平面向量是 ---------- 对应的；
3•能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

【重点难点】
重点：虚数与纯虚数；复数与复平面内的点、平面向量的----------- 对应
难点：复数及其相关概念
【知识链接】
1.提问：N Z、Q R分别代表什么数集？它们是如何发展得来的？
2•判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生回顾根的个数与的关系)：
(1)x23x 4 0 (2) x24x 5 0 (3) x22x 1 0 (4) x2 1 0
【学习过程】
阅读课本第50页到第51页的内容，尝试回答以下问题：
知识点一复数的概念
问题1:方程x2 1 0在实数集中无解，联系数的扩充过程，怎样能使该方程有解？
问题2 :若给方程x2 1 0 一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？
问题3 :实数a与i相乘、相加的结果应如何？
归纳：复数的概念：若实数系经过扩充后得到的新数集为 C a bia,b R，我们把形
如 ________________ 复数，一般用字母 _________ 表示，其中i叫做_______________ , a叫_____________ , b 叫 ________ ，全体复数组成的集合C叫做复数集，它的代数形式一般为 _______________________________ 。

例1 •下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

2 3i,8 4i,8 3i,6, i, 2 9i,7i,0
例2.实数m取什么值时，复数z m 1 (m 1)i是(1)实数？ (2)虚数？ ( 3)纯虚数?
归纳：襄数与实数、虚熱純盧数及r的黃系：对于复数玄二加出
⑴ 当 ________ 时，它最实埶当________ 时，它为G
(2)________ 当时，它昱臨薮，当一「__时，它为纯虑熱
知识点二复数相等的条件
例3.求适合下列方程茁实数x与y的值=(忑+，)+ (/- 1》=〔2"矽)+(2卩+1并
归纳：复数相等的充要条件：若在复数集C a bia,b R 中任取两个数
a bi,c di(a,b,c,d R)，则它们相等的充要条件是 _______________________________________ 。

两个复数
除都是实数外，不能比较大小，只有相等关系。

知识点二复数的几何意义
阅读课本第52页到第53页的内容，尝试回答以下问题：
问题1:实数可以与数轴上的点--------- 对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢?
问题2 :类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么?
复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面
实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

例4 (1)若复数Z (m2 3m 4) (m2 5m 6)i表示的点在虚轴上，求实数m的取值。

(2)若z表示的点在复平面的左半平面，试求实数m的取值范围。

【基础达标】
A1 •下列n的取值中，使i n=l（i是虚数单位）的是（）
A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5
B2.若复数z （x21）（x 1）i为纯虚数，则实数x的值为（）
A. 1 B . 0 C . 1 D . 1 或1
B3.说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？
2 S , 、2 i , - , ,3i , 0
3 2
B4.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？
2
2 7 , 0.618, -i , 0, i , i2, 5i 8,
3 9.2i , i（1 、3）, . 2 . 2i
7
C5.若lo g 2（m 3m 3） ilog2（m 2）为纯虚数，求实数m的值
C6.在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2 i ,
①如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量OB对应的复数；
②如果① 中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数
【课堂小结】
1•本节学习了哪些内容?
2 •如何判断两个复数相等?
【课后反思】 本节课我最大的收获是
【当堂检测】
A1 .实数m 取什么值时，复数 z （m * 1 2 5m （1）实数？ （ 2）虚数？
（ 3 ）纯虚数？
3
B2.已知复数 2 i ，
2 4i ， 2i , 4，- 4i
2
在复平面内画出这些复数对应的向量， 并比较它
们的模的大小。

6) (m 2 3m)i 是
重点：复数的代数形式的四则运算
难点：加、减运算的几何意义
【知识链接】
1.向量的加、减运算满足何种法则？
uuun uuiui 2.同时用坐标和几何形式表示复数z1 1 4i与乙7 2i所对应的向量，并计算OZ i OZ2.
【学习过程】
阅读课本第56页到第57页的内容，尝试回答以下问题：
知识点一复数代数形式的加减运算及几何意义
问题1:复数的加减法分别是怎样进行的？
(1)复数的加法法则：z a bi与Z2 c di，则_______________________________
⑵复数的加法满足交换律、结合律：对任意的z1,z2,z3 C，有___________________________________
(3)复数的减法法则：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算，即若乙Z Z2，
则Z叫做乙减去Z1的差，记作Z Z2乙，
复数的减法法则为：_________________________________
问题2 :复数加减法的几何意义分别是什么？
(1) 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行
(2) 复数减法的几何意义：复数的减法可以按照向量的减法来进行
设复数Z1,Z2对应的向量为0Z1、OZ2，则复数Z1 Z2是以第一个向量的起点指向第二
个向量的终点的向量所对应的复数，z1 z2是连接向量0乙与0Z2的终点并指向被减向量
的终点所对应的复数。

♦应用示例
例1•计算：(1) (3 5i) (3 4i) ；(2) (5 6i) ( 2 2i) (3 3i)
例2•三个复数乙,Z2,Z3，其中乙 3 i,乙是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构
成等边三角形，试确定Z2,Z3的值
阅读课本第58页到第60页的内容，尝试回答以下问题：
知识点二复数代数形式的乘法运算
1.复数的乘法法则：_____________________________________________________
2.复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律
3.共轭复数：两复数a bi与a bi叫做互为共轭复数，当b 0时，它们叫做共轭虚数。

z的
共轭复数用________ 表示，即z a bi ,贝U z ________ (a, b R)，z z _______________ 。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数
知识点三复数代数形式的除法运算
复数的除法法则：.__________________________________________________________
2
例3•计算：(1) 3 4i 3 4i ; (2) 1 i ( 3) 1 2i 3 4i
例5.若z1 a 2i,z2 3 4i，且彳为纯虚数，求实数a的取值
Z2
【基础达标】
(2) (5 2i)+( 1 4i) (2 3i)
A1.计算(1) (1 4i)-(7 2i)
(3) (3 2i)-[ ( 4 3i) (5 i)]
A2.计算(1) (7 6i)( 3i); (2) (1 2i)(3 4i)( 2 i);
B3.已知复数z 满足z i 3
3 i ，则z 等于（
） A . 0 B .2i C
.6
D
.6 2i
B4. 如果复数
2 bi 的实部和虚部互为相反数， 那么实数
b 的值为（
C
)
1 2i
2
2
2 A. .2 B .
C .
D
3
3
C5.在复平面内,
复数
6 5i 与 3 4i 对应的向量分别是 OA 与 0B , 其中
O 是原点，求向
量AB , BA 对应的复数。

C6.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形， AB,C 三点对应的复数分别是 1 3i , i , 2 i , 求点D 对应的复数。

【课堂小结】
1•本节学习了哪些内容?
(3)
3 4i
(4)
(1 i)(2 i) i
2 •如何判断两个复数相等? 【当堂检测】
A1 •计算：(1)(4 3i)( 5 4i)；（2）F-)(丄
2 2
3、
T i)；
(3) 2 i; (4) 5(4i)2
o
7 4i i(2i) B2•已知复数z与（z 2）2 8i都是纯虚数，求z.
【课后反思】
本节课我最大的收获是我还存在的疑惑是我对导学案的建议是
我还存在的疑惑是_ 我对导学案的建议是
高二数学选修 1 — 2 编号:SX — 1 —2—06
3.2《复数代数形式的四则运算》导学案
姓名：___________ 班级: _________________ 组另寸: __________ 组名：________________ 【学习目标】
1 .能说出复数代数形式的加减法运算及其几何意义，会进行复数代数形式的四则运算
2 •知道共轭复数的概念
【重点难点】。