高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第8课时 函数与方程精品课件 理 北师大

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，知Δx＝1＋4m12＋－4x23＋m1＋＞40＞0 x1＋1x2＋1＞0
⇔ m－22－m3＋m2－＞40＞0 3m＋4－2m＋1＞0
⇔mm＞＜41或，m＜－1， m＞－5，
∴－5＜m＜－1，故m的取值范围为(－5，－1)．
方法二：由题意，知Δ－＞m0＞，－1， f－1＞0；
• 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．
• 解析： 通过参考数据可以得到：f(1.406 25)＝－0.054＜0， f(1.437 5)＝0.162＞0，从而易知x0≈1.406 25.
• 答案： 1.406 25
f(1)＝－2
f(1.5)＝ f(1.25)＝－
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
一分，为使二区间的两
个端点逐步逼近
，零进点而得到零点近似值的方法叫做二
分法．
• 1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是
()
• A．0
B．－1
• C．0，－1
D．0,1
• 解析： ∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为3，
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
• 解析： 当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－ 3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零
点个数为2，故选C.
• 答案： C
• 2．(2010·天津卷)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是
• ∴3a－b＝0,3a＝b.
• 令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，
• 即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，
• ∴x＝0或x＝－1.
• ∴g(x)的零点为0或－1.
• 答案： C
• 2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不宜用二分法求交点横坐 标的是( )
• 解析： ∵B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零 点的条件．
• 故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间．
• 答案： C
3．(2010·浙江卷)已知x0是函数f(x)＝2x＋
1 1－x
的一个零点，若
x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
解析： ∵f(x)＝2x＋1－1 x，
• 答案： B
3．函数 f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是( )
A．(0,1]
B．(1,10]
C．(10,100]
D．(100，＋∞)
解析：
由于f(1)f(10)＝(－1)×
9 10
＜0，根据二分法得函数在区间(1,10]
内存在零点．
答案： B
• 4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围 为________．
• (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函 数值等于零．
• (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． • (3)一般我们只讨论函数的实数零点． • (4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
• 2．对函数零点存在的判断中，必须强调： • (1)f(x)在[a，b]上连续； • (2)f(a)·f(b)＜0； • (3)在(a，b)内存在零点． • 事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要． • 3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过
• m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
• (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．
• 解析： (1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝ 0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝
0，
• ∴m＝4或m＝－1.
(2)方法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
能确定函数有多少个零点．
• (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标
有几个不同的值，就有几个不同的零点．
判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由． 解析： ∵f(－1)＝－4＋1＋23＝－73＜0， f(1)＝4＋1－23＝133＞0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点． 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2x－122， 当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92， ∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．
0.625
0.984
f(1.375)＝ －0.260
f(1.437 5) ＝0.162
f(1.406 25) ＝－
0.054
• 【变式训练】 2.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第 一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈______，第 二次应计算________，这时可判断x0∈________.
• f(0)＝20＝1＞0，f(1)＝2＋3＝5＞0，f(2)＝22＋6＝10＞0，
• ∴f(－1)·f(0)＜0.
• 故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．
• 答案： B
• 用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题
• (1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易 计算且f(a)·f(b)＜0.
• 解析： 由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0. • ∴－2＜a＜0. • 答案： (－2,0)
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜
0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝
2＋4 2
＝3，计算得f(2)·f(x1)
＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
∴f′(x)＝2xln 2＋1－1 x2＞0.
∴f(x)在其定义域(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数．
又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，
∴f(x1)＜0，f(x2)＞0.故选B.
答案： B
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• 【变式训练】 1.(2010·天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是
()
• A．(－2，－1)
B．(－1,0)
• C．(0,1)
D．(1,2)
• 解析： ∵f′(x)＝2xln 2＋3＞0，
• ∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．
• 而f(－2)＝2－2－6＜0，f(－1)＝2－1－3＜0，
()
• A．(－2，－1)
B．(－1,0)
• C．(0,1)
D．(1,2)
• 解析： ∵f′(x)＝ex＋1＞0，
• ∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数．
• 而f(－2)＝e－2－4＜0，f(－1)＝e－1－3＜0，
• f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，f(2)＝e2＞0，
• ∴f(0)·f(1)＜0.
• 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)， 个零点
无交点 无零点
• 3.二分法的定义
• 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)＜0 的函数y＝f(x)，
f23＝2123－3213＝1413－3213＜0.
∴f(x)在31，12内有零点．
• 答案： C
【阅后报告】 本题考查了零点范围的判断，其方法是利用零点 存在性定理，难点是判定f(1)、f21、f31、f32的正负．
x2＋2x－3，x≤0， 1．(2010·福建卷)函数f(x)＝－2＋ln x，x＞0 的零点个数
• 提示： 函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实 数．
• (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
• 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有f(a)f(b)＜，0 那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c也就是f(x)＝0的根．
• 解析： 由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25， • 这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x0∈(0.25,0.5)． • 答案： (0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5)
• 二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题
的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程．
分类讨论、数形结合的思想方法．
(2010·上海卷)若 x0 是方程21x＝x13的解，则 x0 属于区间(
)
A.23，1
B.21，23
C.31，12 【全解全析】
D.0，31 令 f(x)＝21x－x13，f(1)＝12－1＝－12＜0，
f12＝2112－2113＜0，
f13＝2113－3113＞0，
• 解析： 由f(2)·f(3)＜0可知． • 答案： (2,3)
• 函数零点个数的判定的几种方法
• (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个
零点．
• (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续 的曲线，且f(a)·f(b)＜0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才
(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
Δ0＜≥－0⇒m－2m－1＜122⇒－－4≥3＜0⇒mm＜≥1，3或m≤－1， f2≥0⇒4＋m－1×2＋1≥0⇒m≥－32，
∴－32≤m≤－1. 由(1)(2)知：m≤－1.
• 1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数的零 点，注意以下几点：
• (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应
方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)
＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
• 若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法 计算，其参考数据如下：
不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精 确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
• 4．要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后 精确度的判断．
• 从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考 的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考 查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合．在考查函数的 零点、方程的根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、
• 第8课时 函数与方程
• 1．函数的零点
• (1)函数零点的定义
• 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的 横坐标 称 为 这 个 函 数 的 零 点．
• (2)几个等价关系
• 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y＝ f(x)有 零点．
• 【思考探究】 函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？
m2－3m－4＞0， 即m＜1，
1－2m＋3m＋4＞0.
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
• 【变式训练】 3.关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2] 上有零点，求实数m的取值范围．
解析： 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]． (1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解． ∵f(0)＝1＞0，∴f(2)≤0， 即4＋2(m－1)＋1≤0⇒m≤－32.