2019-2020学年浙江省杭州市四校九年级(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

2019-2020学年浙江省杭州市四校九年级（上）期中数学试卷
一、选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．已知37(0)x y y =≠，则下列比例式成立的是( ) A ．
37
x y = B ．
73
x y = C ．
37
x y = D ．
73x y
= 2．掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是( ) A ．大于4的点数
B ．小于4的点数
C ．大于5的点数
D ．小于5的点数
3．把二次函数21
23y x x =-化为2()y a x b c =++的形式，正确的是( )
A ．21(3)33y x =+-
B ．21
(3)33
y x =--
C ．2(3)9y x =+-
D ．2(3)9y x =+-
4．下列有关圆的一些结论，其中正确的是( ) A ．圆内接四边形对角互补 B ．相等的圆心角所对的弧相等
C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D ．任意三点可以确定一个圆
5．抛物线2y x =可以由抛物线21(2)2y x =-+先向___平移2个单位再向___平移1
2
个单位得到( ) A ．.右，下 B ．.右，上
C ．.左，下
D ．，左，上
6．若
A 的半径为5，圆心A 的坐标为(3,4)，点P 的坐标是(5,8)，则点P 与QA 的位置关
系是( ) A ．P 在
A 上
B ．P 在A 内
C ．P 在A 外
D ．不确定
7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：)m 与水平距离x （单位：)m 近似满足函数关系
2(0)y ax bx c a =++≠．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模
型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )
A．10m B．15m C．20m D．22.5m
8．如图，ABC
∆的顶点A、B、C均在O上，若75
ABC AOC
∠+∠=︒，则OAC
∠的大小是()
A．25︒B．50︒C．65︒D．75︒
9．设()()
y x a x b
=++的图象与x轴有m个交点，(1)(1)
y ax bx
=++的图象与x轴n个交点，则所有可能的数对(,)
m n有()对．
A．2B．3C．4D．6
10．如图坐标系中，(0,0)
O，(6
A，，(12,0)
B，将OAB
∆沿直线CD折叠，使点A恰
好落在线段OB上的点E处，若
12
5
OE=，则:
AC AD的值是()
A．1:2B．2:3C．6:7D．7:8二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知圆心角为120︒的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为．
12．一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于
1
999
，则密码的位数至少需要 位． 13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD 的宽度为2米，F 是线段CD 的中点，EF 经过圆心O 交O 与点E ，3EF =米，则O 直径的长是 米．
14．已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,3)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：
当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为 ．
15．如图，已知矩形ABCD ，:1:2AB BC =，P 为线段AB 上的一点，以BP 为边作矩形EFBP ，使点F 在线段CB 的延长线上，矩形ABCD ∽矩形EFBP ，设EF a =，AB b =，当EP 平分AEC ∠时，则
a
b
= ．
16．在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点分别为(4,0)-，(4,4)-，(0,4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若1DA =，CP DP ⊥，垂足为P ，则点P 的坐标为 ． 三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）写出文字说明，证明过程或推演步瀛 17．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(3,2)-，
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标．
18．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C
（1）小明将垃圾分装在三个袋中，任意投放，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错位置的概率是多少？
（2）某学习小组为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如表（单位：吨）:
调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占10%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生200吨生活垃圾假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料？
19．已知：如图，D是ABC
=，连接AD，求证：AD
∆外接圆O上一点，且满足DB DC
是ABC
∠的平分线．
∆的外角EAC
20．汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”刹车距离()
y m与刹车时的车速(/)
x km h的部分关系如表：
（1）求出y 与x 之间的函数关系式．
（2）一辆车在限速120/km h 的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为40.6m ，问：该车在发生事故时是否超速行驶？
21．如图，O 是ABC ∆的外接圆，BC 是O 的直径，D 是劣弧AC 的中点BD 交AC 于点E ．
（1）求证：2AD DE DB =．
（2）若5BC =，CD =，求DE 的长．
22．如图，平面直角坐标系中，抛物线244(y x x m m =-++-为常数）与y 轴的交点为C ，(3,0)M 与(0,2)N -分别是x 轴、y 轴上的点
（1）当1m =时，求抛物线顶点坐标．
（2）若33x m +剟
时，函数244y x x m =-++-有最小值7-，求m 的值． （3）若抛物线与线段MN 有公共点，直接写出m 的取值范围是 ．
23．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形． （1）已知ABC ∆是比例三角形，1AB =，2BC =，求AC 的长．
（2）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，对角线BD 平分ABC ∠，BAC ADC ∠=∠
①求证：ABC
是比例三角形
②若//
AB DC，如图2，求BD
AC
的值．
2019-2020学年浙江省杭州市四校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的
1．已知37(0)x y y =≠，则下列比例式成立的是( ) A ．
37
x y = B ．
73
x y = C ．
37
x y = D ．
73x y
= 【解答】解：A 、37
x y
=，可以化成：37y x =，故此选项不合题意； B 、
73x y
=，可以化成：37x y =，故此选项符合题意； C 、3
7
x y =，可以化成：73x y =，故此选项不合题意；
D 、
7
3x y
=，可以化成：21xy =，故此选项不合题意． 故选：B ．
2．掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是( ) A ．大于4的点数 B ．小于4的点数 C ．大于5的点数 D ．小于5的点数
【解答】解：A 、121
63
P ==； B 、23162P ==； C 、316P =
； D 、44263
P =
=． 骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于5的点． 故选：D ．
3．把二次函数21
23y x x =-化为2()y a x b c =++的形式，正确的是( )
A ．21(3)33y x =+-
B ．21
(3)33y x =--
C ．2(3)9y x =+-
D ．2(3)9y x =+-
【解答】解：21
23y x x =-
21
(6)3
x x =-
21
[(3)9]3
x =-- 21
(3)33
x =--． 故选：B ．
4．下列有关圆的一些结论，其中正确的是( ) A ．圆内接四边形对角互补 B ．相等的圆心角所对的弧相等
C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D ．任意三点可以确定一个圆
【解答】解：A 、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意；
B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D 、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
故选：A ．
5．抛物线2y x =可以由抛物线21(2)2y x =-+先向___平移2个单位再向___平移1
2
个单位得到( ) A ．.右，下
B ．.右，上
C ．.左，下
D ．，左，上
【解答】解：抛物21(2)2y x =-+
的顶点坐标为1
(2,)2
， 抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，
所以，抛物线2y x =可以由抛物线21(2)2y x =-+先向左平移2个单位，再向下平移1
2
个单位得到． 故选：C ． 6．若
A 的半径为5，圆心A 的坐标为(3,4)，点P 的坐标是(5,8)，则点P 与QA 的位置关
系是( ) A ．P 在A 上
B ．P 在A 内
C ．P 在A 外
D ．不确定
【解答】解：
A 的坐标为(3,4)，点P 的坐标是(5,8)，
AP ∴==，
A 的半径为5，
∴点P 在A 的内部
故选：B ．
7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：)m 与水平距离x （单位：)m 近似满足函数关系
2(0)y ax bx c a =++≠．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模
型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )
A ．10m
B ．15m
C ．20m
D ．22.5m
【解答】解：根据题意知，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)， 则54.016004046.24002057.9c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 解得0.01950.58554.0a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以0.58515()22(0.0195)
b x m a =-
==⨯-． 故选：B ．
8．如图，ABC ∆的顶点A 、B 、C 均在O 上，若75ABC AOC ∠+∠=︒，则OAC ∠的大小是( )
A ．25︒
B ．50︒
C ．65︒
D ．75︒
【解答】解：根据圆周角定理得：2AOC ABC ∠=∠， 75ABC AOC ∠+∠=︒，
2
75503
AOC ∴∠=
⨯︒=︒， OA OC =，
1
(180)652
OAC OCA AOC ∴∠=∠=
︒-∠=︒， 故选：C ．
9．设()()y x a x b =++的图象与x 轴有m 个交点，(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴n 个交点，则所有可能的数对(,)m n 有( )对． A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【解答】解：()()y x a x b =++的图象与x 轴有2个交点或1个交点， (,0)a -，(,0)b -，或当a b =时，有1个交点； (1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴2个交点或1个交点， 1(a -
，0)，1(b -，0)或当11
a b
-=-时，有1个交点． 所以所有可能的数对有2对．只有(1，1)(2，2)． 故选：A ．
10．如图坐标系中，(0,0)O ，(6A ，，(12,0)B ，将OAB ∆沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，若12
5
OE =
，则:AC AD 的值是( )
A ．1:2
B ．2:3
C ．6:7
D ．7:8
【解答】解：过A 作AF OB ⊥于F ，如图所示： (6A
，，(12,0)B ，
AF ∴=，6OF =，12OB =， 6BF ∴=， OF BF ∴=， AO AB ∴=，
tan AF
AOB OF
∠=
= 60AOB ∴∠=︒， AOB ∴∆是等边三角形， 60AOB ABO ∴∠=∠=︒，
将OAB ∆沿直线线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处， 60CED OAB ∴∠=∠=︒， OCE DEB ∴∠=∠， CEO DBE ∴∆∆∽， ∴
OE CE CO
BD ED BE ==
， 125
OE =
， 1248
1255
BE OB OE ∴=-=-
=
， 设CE a =，则CA a =，12CO a =-，ED b =，则AD b =，12DB b =-， 则12
512a b b
=-，12485
a a
b -=， 12605b a ab ∴=-①，48605a b ab =-②，
②-①得：48126060a b b a -=-， ∴
23
a b =， 即:2:3AC AD =． 故选：B ．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知圆心角为120︒的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为4π．【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得
2
120
12
360
R
π
π=，
解得6
R=，
所以扇形的弧长
1206
4
180
π
π
==．
故答案为4π．
12．一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次
就拨对密码的概率小于
1
999
，则密码的位数至少需要3位．
【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为
1
10
，
取两位数时一次就拨对密码的概率为
1 100
，
取三位数时一次就拨对密码的概率为
1 1000
，
故密码的位数至少需要3位．
故答案为：3．
13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF 经过圆心O交O与点E，3
EF=米，则O直径的长是
3
米．
【解答】解：如图，连接OC，
F是弦CD的中点，EF过圆心O，
EF CD ∴⊥． CF FD ∴=． 2CD =， 1CF ∴=，
设OC x =，则3OF x =-， 在Rt COF ∆中，根据勾股定理，得
2221(3)x x +-=．
解得53
x =
， O ∴的直径为
103
． 故答案为：
103
．
14．已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,3)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：
当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为 22
33
y x =-+ ．
【解答】解：抛物线过点(0,3)A ， 3c ∴=，
当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->，得到120y y -<， ∴当0x <时，y 随x 的增大而增大，
同理当0x >时，y 随x 的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即0b =，
以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示， ABC ∴∆为等腰三角形， ABC ∆中有一个角为60︒，
ABC ∴∆为等边三角形，且3OC OA ==，
设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD CD =，且30OBD ∠=︒，
cos30BD OB ∴=︒=
，3
sin 302
OD OB =︒=， B 在C 的左侧，
B ∴的坐标为(3)2
-， B 点在抛物线上，且3c =，0b =， 3
322a ∴+=-，
解得：2
3
a =-，
则抛物线解析式为22
33
y x =-+，
故答案为．
15．如图，已知矩形ABCD ，:1:2AB BC =，P 为线段AB 上的一点，以BP 为边作矩形EFBP ，使点F 在线段CB 的延长线上，矩形ABCD ∽矩形EFBP ，设EF a =，AB b =，当EP 平分
AEC ∠时，则
a
b
【解答】解：
EP 平分AEC ∠，EP AG ⊥，
AP PG a b ∴==-，(22)2BG a a b b a =--=-
//PE CF ， ∴
PE PG BC GB =
，即2a b a
b a b
-=-，
解得，a =
；
作GH AC
⊥于H，
45
CAB
∠=︒，
2)(2
HG a a
∴==-=-，又2(2
BG a b a
=-=-，
GH GB
∴=，GH AC
⊥，GB BC
⊥，
HCG BCG
∴∠=∠，
//
PE CF，
PEG BCG
∴∠=∠，
45
AEC ACB
∴∠=∠=︒．
:2
a b
∴=．
．
16．在平面直角坐标系中，A，B，C三点分别为(4,0)
-，(4,4)
-，(0,4)，点P在x轴上，
点D在直线AB上，若1
DA=，CP DP
⊥，垂足为P，则点P的坐标为(2,0)或(2-
0)或(2+．
【解答】解：A，B两点的坐标分别为(4,0)，(4,4)
//
AB y
∴轴
点D在直线AB上，1
DA=
1(4,1)
D
∴，
2(4,1)
D-如图：
当点D 在1D 处时，要使CP DP ⊥，即使1~COP ∆△11P AD ∴
1
11
OP CO P A AD =即441OP OP =-解得：12OP = 1(2,0)P ∴
当点D 在2D 处时， (0,4)C ，2(4,1)D - 2CD ∴的中点3(2,)2E
CP DP ⊥
∴点P 为以E 为圆心，CE 长为半径的圆与x 轴的交点
设(,0)P x ，则PE CE =
=，
解得：2x =±，
2(2P ∴-0)
，3(2P +0)
综上所述：点P 的坐标为(2,0)
或(2-，0)
或(2+0)， 个答案为(2,0)
或(2-0)
或(2+0)．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）写出文字说明，证明过程或推演步瀛 17．如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐
标为(3,2)
-，
（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标．
【解答】解：
（1）直角坐标系如图；
（2）画法如图：
结论：点P就是所求圆心．
圆心坐标为(2,1)
--．
18．为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C
（1）小明将垃圾分装在三个袋中，任意投放，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错位置的概率是多少？
（2）某学习小组为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如表（单位：吨）:
调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占10%，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二
级原料，某城市每天大约产生200吨生活垃圾假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料？
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中把三个袋子都放错位置的有2种结果，
所以把三个袋子都放错位置的概率是21 63 =；
（2）
324
20000.10.733.6
1030
⨯⨯⨯⨯=（吨)，
答：每天大概可回收33.6吨塑料类垃圾的二级原料．
19．已知：如图，D是ABC
∆外接圆O上一点，且满足DB DC
=，连接AD，求证：AD 是ABC
∆的外角EAC
∠的平分线．
【解答】证明：DB DC
=，
DBC DCB
∴∠=∠，
DAE
∠是圆内接四边形ABCD的外角，
DAE DCB
∴∠=∠，
DAE DBC
∴∠=∠，
DBC DAC
∠=∠，
DAE DAC
∴∠=∠，
AD ∴是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线
20．汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”刹车距离()y m 与刹车时的车速(/)x km h 的部分关系如表：
（1）求出y 与x 之间的函数关系式．
（2）一辆车在限速120/km h 的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为40.6m ，问：该车在发生事故时是否超速行驶？
【解答】解：（1）根据表中数据设函数解析式为：2y ax bx c =++，代入后得 2205050 5.5
10010046.5c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0.0020.010a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
20.0020.01y x x ∴=+
将15046.5x y =⎧⎨=⎩及20082x y =⎧⎨=⎩
代入，经检验等式成立，
说明此函数为二次函数．
答：y 与x 之间的函数关系式为20.0020.01y x x =+． （2）当120x =时，20.0021200.01
12030y =⨯+⨯=， 即在该速度下的最大刹车距离为30m ． 3040.6<． ∴该车超速．
答：该车在发生事故时是超速行驶
21．如图，O 是ABC ∆的外接圆，BC 是O 的直径，D 是劣弧AC 的中点BD 交AC 于点E ．
（1）求证：2AD DE DB =．
（2）若5BC =，CD =，求DE 的长．
【解答】（1）证明：由D 是劣弧AC 的中点，得AD DC =， ABD DAC ∴∠=∠，
又ADB EDA ∠=∠， ABD EAD ∴∆∆∽， ∴
AD DB
DE AD
=
， 2AD DE DB ∴=；
（2）解：由D 是劣弧AC 的中点，得AD DC =，则2DC DE DB = CB 是直径，
BCD ∴∆是直角三角形．
BD ∴===2DC DE DB =得，2=，
解得DE =
．
22．如图，平面直角坐标系中，抛物线244(y x x m m =-++-为常数）与y 轴的交点为C ，(3,0)M 与(0,2)N -分别是x 轴、y 轴上的点
（1）当1m =时，求抛物线顶点坐标．
（2）若33x m +剟
时，函数244y x x m =-++-有最小值7-，求m 的值． （3）若抛物线与线段MN 有公共点，直接写出m 的取值范围是 7
29
m -剟 ．
【解答】解：（1）当1m =时，2243(2)1y x x x =-+-=--+，
∴顶点坐标为(2,1)；
（2）由抛物线244(y x x m m =-++-为常数）可知：开口向上，函数的对称轴为直线2x =，
∴当33x m +剟
时，y 随x 的增大而减小， ∴当3x m =+时，y 有最小值7-，
2(3)4(3)47m m m ∴-++++-=-，
解得12m =，23m =-（舍去），
2m ∴=；
（3）(3,0)M ，(0,2)N -，
∴直线MN 的解析式为223
y x =-， 抛物线与线段MN 有公共点，则方程224423x x m x -++-=
-，即210203x x m --+=中△0…
，且42m --…， 210()4(2)03
m ∴---+…， 解得729
m -剟， 故答案为729
m -剟． 23．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形．
（1）已知ABC ∆是比例三角形，1AB =，2BC =，求AC 的长．
（2）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，对角线BD 平分ABC ∠，BAC ADC ∠=∠ ①求证：ABC ∆是比例三角形
②若//
AB DC，如图2，求BD
AC
的值．
【解答】解：（1）设AC m
=．
由题意212
m=⨯或212m
=或22m
=，
m
∴=，
1
2
m=（不合题意舍去）4
m=（不合题意舍去），
故AC=
（2）①AB AD
=，ABD ADB
∴∠=∠，BD平分ABC
∠，
ABD CBD
∴∠=∠，
ADB DBC
∴∠=∠，
//
AD BC
∴，
ACB DAC
∴∠=∠，
BAC ADC
∠=∠，
ADC CAB
∴∆∆
∽，
∴AD AC AC BC
=，
2 AD BC AC
∴=，
//
AD BC，
CBD ADB
∴∠=∠，
BD平分ABC
∠，
ABD ADB
∴∠=∠，
AB AD
∴=，
2
AB BC AC
∴=，
ABC
∴∆是比例三角形．
②//AD BC ，//AB CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， AB AD =，
∴四边形ABCD 是菱形，
BAC ADC ∠=∠，且BAC BCA ∠=∠， ADC BCA ∴∠=∠，
ABC BCA BAC ∴∠=∠=∠， ABC ∴∆是等边三角形，
BO ∴=，DO =，
)BO DO OA OC ∴+=+，
BD ∴=，
∴BD AC
=。