安徽省示范高中高三模拟冲刺卷1

安徽省示范高中高三模拟冲刺卷
数 学（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的. 1．（理）复数131i
Z i
-=
+的实部是（ ） A ． 2 B ．1- C ． 1 D ．4-．
2．在等差数列}{n a 中，3422a a a +-=，则数列}{n a 的前9项之和9S 等（ ）
A ．18
B ．36
C ．45
D ．63
3．双曲线C 的两条渐近线是直线30x y -=和30x y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2 或3
B ．2或
233 C ．233或3 D ．13
3
+或31+ 4．设全集U R =，集合{}||1|1A x x =-≤，集合{}2|log 1B x x =<，则()U A
C B =（ ）
A ．{}0,2
B ．∅
C ． {}|02x x <<
D ．{}|02x x x ≤≥或 5．已知函数()sin()f x A x k ωϕ=++的图象的一个最高点的坐标为(
,4)12π，其相邻的最低点坐标为(,0)3π
，
则下面各式中符合条件的解析式是（ ） A ．4sin(4)6
y x π
=+ B ．4sin(2)3
y x π
=+
C ．2sin(4)26y x π=+
+ D ．2sin(2)23y x π
=++
6．函数||
()cos ,[,]x f x e x x ππ-=+∈-的图象大致是（ ）
7．一个几何体如右图所示，则该几何体的三视图不可能．．．是（ ）
8．在ABC ∆中，0AD BC ⋅=，||5,||10AB BC ==，2
3
BD DC =
，点P 满足(1)AP mAB m AC =+-，则AP AD •的值（ ）
A ．等于3
B ．等于6
C ．等于9
D ．不能确定
9．圆C 的参数方程为2
2cos ()2sin x a y a θ
θθ
=+⎧⎨=+⎩为参数，设圆心C 的轨迹为曲线M ，若斜率为2的直线l 与曲线M 相切，且被圆C 截得的弦长是
45
5
，则a 的可能取值的集合是（ ）
A ．{}1,3
B ．{}1,3--
C ．{}1,3-
D ．{}1,3-
10．已知平面α内有四点ABCD ，其中任意三点不共线，平面α外有一点P ，从这五点任取两点连接的线段中
任取两条，取到两条线段所在直线异面的概率是（ ）
A ．
415 B ．815 C ． 27 D ．47
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中横线上．
11．（理）在(x-6
1)2x
的展开式中的常数项为 。

12．在某校举行的“我眼中的上海世博会”演讲比赛上，七位评委为1号选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则
22m n +最小值是 。

13．设函数()ln 26f x x x =+-，根据右边的程序框图，输出的结果是 。

14
．
如
果
直
线
1
y kx =+与圆
2240x y kx my +++-=交于,M N 两点.
且,M N 关于直线0x y +=对称.则不等式
组:10
00
kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨≥⎪⎩表示的平面区域的面积是______.
15．下列说法正确的是 （填上所有正确的说法的序号）
①“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件．
②命题P ：“直线l m 、，平面α， ,l m αα⊄⊂，若l m ，则l α．”，则命题P 的否命题是“直线l m 、，平面α， ,l m αα⊄⊂，若l m ，则直线l 与平面α不平行” ．
③命题“函数1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 且12||||x x >时，有)()(21x f x f >”是真命题．
④命题P ：“存在R x ∈，21
≥+
x x ”
，则命题P 的否定：“任意R x ∈，12x x
+<” ． ⑤ABC ∆中，A ∠是最大角，则2
2
2
sin sin sin B C A +<是ABC ∆为钝角三角形的充分条件。

三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）函数()2cos (sin cos )1222
x x x
f x =-+。

（1）求()f x 的对称轴方程和单调区间；
（2）若θ为ABC ∆的一内角，且()f θ=
22，求tan()2
π
θ-的值。

17．（本小题满分12分）
某社居委的人口普查员在第六次人口普查正式开始前，对其管辖的A,B,C 三个不同类型的小区住户，在18：30
至20：30这个时间段家里是否有人进行摸底，为正式普查做准备。

小区A 有 1050户，小区B 有1260户，小区C 有420户，社居委工作人员用分层抽样的方法从中抽取26户，进行摸底．其信息如表：
18:30至20:30家里有人 18:30至20:30
家里无人
合计
A 小区 4
B 小区 4
C 小区 2
⑴请完成此统计表；
⑵试估计这三个小区 18:30至20:30家里有人的户数；
18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEFG 中， FA ⊥平面ABCD ，FA ∥BG ∥DE ，1
BG AF 4
=
， 3
DE AF 4
=
，四边形ABCD 是正方形，AF AB =。

（1）求证：ＡＣ⊥GE
（2）求证：GC ∥平面ADEF
（3）求二面角C GE D －－余弦值。

19．（本小题满分13分） 函数2
1()2
x
f x xe ax ax =-
-，a R ∈。

（1）求()f x 的单调区间； （2）2
1()2
g x x x =
-，当1a =且0x >时，比较()f x 与()g x 的大小。

20．（本小题满分13分）
设椭圆()22221,0x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，过
12,F F 分别作直线21,l l ，且21l l ⊥，21,l l 分别交直线l ：a x 2=于,M N 两
点。

（Ⅰ）若1225F M F N ==，求 椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +与12F F 共线。

21．（本小题满分13分）
在xoy 平面上有一点列*
∈∀N n y x P y x P y x P y x P n n n ,),,(,),,(),,(),,(333222111 ，点),(n n n y x P 位于曲线
2x y =（0≥x ）上，以点),(n n n y x P 为圆心的⊙n P 与X 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，
且n n x x <+1（*∈N x ）。

（Ⅰ）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n x 1是等差数列； （Ⅱ）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +++= 21，求证：2
3π
<
n T 。

G F
E
D
C
B
A
参考答案与评分标准
1．解：13(1)(13)
1212
i i i Z i i ---=
==--+，其实部是1-，选Ｂ。

2．解：342522a a a a +-=⇒=，19959()
9182
a a S a +===。

选Ａ。

3．解：由已知得3a b =或3b a =，故当3a b =时，2c b =，
23
c e a ==；当3b a =时，2c a =，2c
e a ==。

选Ｂ
4．解：{}{}||1|1||02A x x x x =-≤=≤≤，{}{}2|log 1|02B x x x x =<=<<
∴{}()[0,2]((,0][2,))0,2U A
C B =-∞+∞=，选A 。

5．解：依题意4022A +=
=，排除A 、B 。

将(,4)12π，(,0)3
π
代入检验得选C 。

6．解：函数||()cos x f x e x -=+是偶函数，排除C 、D 。

当0x π>>时，()cos x
f x e x -=+，/()sin 0x f x e x -=--<，∴||()cos x f x e x -=+在[0,]π单调递减，故选A 。

7．解：将几何体摆放不同的位置，A 、B 、C 三视图都有可能。

D 不可能。

选D 。

8．解：如图，由已知得AD BC ⊥，P 、B 、C 三点共线，AB=5，
BD=
2
5
BC =4 ∴AD=3，2
||||cos ||9AP AD AD AP DAP AD •=•⋅∠==，
选C 。

9．解：圆心C 的轨迹为曲线M ：2
y x =，依题意/
221y x x ==⇒=，∴切点(1,1)，切线l 为
12(1)210y x x y -=-⇒--=，圆心2
(,)a a 到直线l 的距离2|21|5
a a d --==222545
2()55-=
，解得3a =或1a =-。

选C 。

10．
解：如图，PA 、PB 、PC 、PD 中，任取一条都有三条直线与它异面，共有12对，
五点中任取两点，能连接10条线段，从10条线段中任取两条，有2
1045C =种取法，
∴取到两条线段所在直线异面的概率是
124
4515
=，选A 。

11．解：66216611()()22
r r
r r r r r r T C x x C x ---+=⋅-⋅=-⋅⋅为常数项，则3r =，∴常数项
为33615()22
C -⋅=-。

12．解：因为4+6+9=19，平均数是85，所以8m n +=，再用不等式
222
()22
a b a b ++≥，求得22m n +最小值为32，当且仅当m n =时取等号。

13． 解：如图，程序框图是利用二分法求函数零点的近似值的程序流程图。

555
()ln
56ln ln 0222
f e =+-=-< (3)ln366ln30f =+-=>
2111111111111
()ln 6ln (ln()1)4424224
1
(ln 3ln )0
2
f e =+-=-=->->
∴511
()(
)024
f f ⋅<， 115
0.250.242-=> 4212121121
()ln 6(ln()3)088448
f =+-=->
∴521
()()028f f ⋅<
215
0.1250.282
-=< ∴输出218。

14．解：依题意1k =，直线1y x =+过圆心1(,)22
m
--，∴1m =-，
∴10100000
kx y x y kx my x y y y -+≥-+≥⎧⎧⎪⎪-≤⇒+≤⎨⎨≥≥⎪⎪⎩⎩，画出平面区域： 平面区域的面积=111
1224
⨯⨯=。

15．解：①、②不正确，③④⑤正确。

16．解：
2()2cos (sin cos )1=2cos sin (2cos 1)=sin cos 2sin()2222224x x x x x x f x x x x π
=-+⋅---=-……2分
（1）令 ()42x k k Z πππ-=+∈得，3 ()4
x k k Z π
π=+
∈， ∴()f x 的对称轴方程为3 ()4
x k k Z π
π=+∈， …………4分 令2 2 ()242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈⇒32 2 ()44
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+
∈ ∴()f x 的单调递增区间为：3[2 ,2] , ()44
k k k Z ππ
ππ-+
∈， 同法得()f x 的单调递减区间为：37[2 ,2] , ()44
k k k Z ππππ++∈。

…………6分
（2）∵θ为ABC ∆的一内角，则(0,)θπ∈
又()f θ=2
2
， 即6sin cos 12θθ-=>， ∴(
,)2
π
θπ∈，
∵63
sin cos 2)sin()4242
ππθθθθ-=-=⇒-=
∴222 Z 434
3k k k π
π
π
πθπθπ-
=+
-
=+
∈或（）
，(,)2
π
θπ∈ ∴ 711 1212
ππθθ==或…………8分
当712
π
θ=
时，26cos cos()cos cos sin sin 434343ππππππθ-=+=⋅-=
26
sin sin(
)sin cos cos sin 434343
4
π
πππππ
θ=+=⋅+= sin()
cos 32tan()322sin 13cos()2
π
θπθθπθθ--====+-，
当1112
π
θ=
时，1162sin sin sin sin()121234ππππθ-===-=， 26
cos cos
cos()cos cos sin sin 12344343
4
πππππππ
θ=-=--=-⋅-=-
， sin()
cos 32tan()322sin 31cos()2
π
θπθθπθθ--====---。

…………12分
17．解（1）
18:30至20:30家里有人 18:30至20:30
家里无人
合计
A 小区 6 4 10
B 小区 8 4 12
C 小区 2 2 4
…………4分
（2）
682
10501260420159010124
⨯+⨯+⨯= 即估计这三个小区 18:30至20:30家里有人的户数1590户。

…………7分
（3）随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5。

则14645106(1)252C C P C ξ===，236451060
(2)252C C P C ξ===，32645
10120(3)252C C P C ξ===， 416451060(4)252C C P C ξ===，50645
106
(5)252
C C P C ξ=== ∴ξ的分布列为：
ξ
1 2 3 4 5
P 6252 60252 120252 60
252
6
252
11020101
1234534242424242
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

…12分
18．解：（1）∵FA ⊥平面ABCD ，FA ∥BG ∥DE ，
∴BG ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴BG ⊥AC ，
又四边形ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC ，
∴AC ⊥平面BDEG ，
∴AC ⊥GE. …………4分 （2）∵FA ∥BG ，BC ∥AD ，,BG
BC B AF AD A ==
∴平面BGC ∥平面ADEF 又GC ⊂平面BGC ，
∴GC ∥平面ADEF. …………8分 （3）以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，不妨令AB=AF =4,则BG=1，DE=3， ∴(4,0,1)G ，(4,4,0)C ，(0,4,3)E ， (0,4,1),(4,0,3)CG CE =-=-， 令(,,)n x y z =，CGE n ⊥平面， 则0
(,,)(0,4,1)0404(,,)(4,0,3)043030
n CG x y z y z z y
x y z x z x y n CE ⎧⋅=⋅-=-+==⎧⎧⎧⎪⇒⇒⇒⎨
⎨⎨⎨⋅-=-+==⋅=⎩⎩⎩⎪⎩ 不妨令1y =，则(3,1,4)n =
又AC ⊥平面BDEG ，则平面BDEG 的一个法向量为(4,4,0)AC =
设二面角C GE D －－的大小为θ，由图得θ为锐角，
||2
cos ||||13
n AC n AC θ⋅=
=
⋅。

…………12分
G F
E
D
C
B
A
19．解：2
1()2
x
f x xe ax ax =-
-， /()(1)(1)(1)()x x f x x e a x x e a =+-+=+-，…………2分
①若0a ≤，0x
e a -≥，
故当1x ≤-时，/
()0f x ≤；当1x ≥-时，/
()0f x ≥。

∴0a ≤时，函数()f x 单调减区间是(,1]-∞-，单调增区间是[1,)-+∞；…………4分 ②若1
0a e -<<，则ln 1a <-，列表
x
(,ln )a -∞
ln a
(ln ,1)a -
1-
(1,)-+∞
/()f x
+ 0 — 0 + ()f x
↗
极大
↘
极小
↗
由表可知，当1
0a e -<<时，函数()f x 单调减区间是(ln ,1)a -，单调增区间是(,ln )a -∞和(1,)-+∞； …………6分
③若1
a e -=，则，/
1
()(1)(1)(1)()0x
x
f x x e a x x e e -=+-+=+-≥
函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，
∴1
a e -=时，函数()f x 单调增区间是(,)-∞+∞； ④若1
a e ->，则ln 1a >-，列表
x
(,1)-∞-
1-
(1,ln )a -
ln a
(ln ,)a +∞
/()f x
+ 0 — 0 + ()f x
↗
极大
↘
极小
↗
由表可知，当1
a e ->时，函数()f x 单调减区间是(1,ln )a -，单调增区间是(,1)-∞-和(ln ,)a +∞； …………8分 （2）当1a =且0x >时，令2
()()()()x
x
F x f x g x xe x x e x =-=-=-， 设()x
h x e x =-，则/
()1x
h x e =-，
∵0x >，∴/
()10x
h x e =->
∴()x
h x e x =-在(0,)+∞上单调递增， ∴0()00h x e >->，
∴0x >，2
()()()()0x
x
F x f x g x xe x x e x =-=-=->即()f x >()g x 。

…………13分
20．解：由222a b c -=与22
a e c =
=，得222a b = 122200F F ⎛⎫⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
，，，， …………2分 l 的方程为2x a =
设(
))
1222M
a y N
a y ，，，
则112232222F M a y F N y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，，， 由1
20FM F N ⋅=得 2
12302
y y a =-＜ ①…………4分 （Ⅰ）由1225F M F N ==，得
2
2221132920202a y y ⎫+=⇒=-⎪⎪⎝⎭
② 2
22222220202a y y ⎫+=⇒=-⎪⎪⎝⎭
③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，得224
999(20)(20)224
a a a -⋅-=⇒24a = 故2,22
a b ==
=所以所求的椭圆方程为 12
42
2=+y x …………7分 （Ⅱ）()2
2
22212121212121222246MN
y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=
当且仅当126y y =-=
或216y y =-=时，MN 取最小值a 6
11 / 11 此时，()()
1212121232222,22,0222F M F N a y a y a y y a F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 故1
2FM F N +与12F F 共线。

…………13分
21．解：（1）∵以点),(n n n y x P 为圆心的⊙n P 与X 轴都相切，∴⊙n P 的半径2n n n r y x ==…………2分
又∵⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，∴|⊙n P ⊙1+n P |1n n r r +=+
∴222111()()()n n n n n n x x y y y y +++-+-=+
即222111()44n n n n n n x x y y x x +++-==
∵n n x x <+1，∴1111122, ()n n n n n n x x x x n N x x *+++-=⇒-=∈ ∴1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以111x =为首项，公差为2的等差数列。

…………6分 （2）由（1）得
1112(1)2121n n n n x x n =+-=-⇒=- 又224n n n S r y x πππ=== 22(21)n n S x n π
π==- …………9分
123222111 []13(21)
1111 <()13557(23)(21)
11111111 [1(1)]2335572321
313 []22(21)n n
T S S S S n n n n n n πππππ∴=++=+++-++++⨯⨯--=+-+-+-++---=-<- …………13分。