扭转变形-材力

20
A
B
C
M BC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
11
例1. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入 功率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别 为NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。
M A 40kN ·m 10kN ·m 10kN ·m
o
10kN ·m 10kN ·m 40kN ·m 20kN ·m A
B
CD
o
A BC
D
+ 向 按右手法则确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法则确定
T / kN m
20 10
T图
T / kN m
20
T图
A
B
C
D
A
B
C
D
10
20
20
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
13
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法则确定
T图
T /kN·m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
问题
轮在轴上的位置 对扭矩有何影响？
14
练习：试作扭矩图
23
讨论 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面模量
实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
II
p r
ppDD44
3322
(1(1aa4
)4
)
a=d/D=0
Ip
p D4
32
Wp
p D3 ( 1 a 4)
16
Wp
pD3
16
24
研究思路：
变形几何条件
+
材料物理关系
+
静力平衡关系
g rd /dx ---(1)
解: 1) 画扭矩图。
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
2) 按强度设计，有：
t max
T Wp
p
T D
3/16
[t
]
MB MC
B
C
T /kN·m
C B
1.64
MA
MD
A
D
2.18
AD 3.28
16 T
D3
max
p [t ]
3
16 3280
p 40106
N-m-Pa单位制
75103m 75mm
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转
动角df，原来的矩形ABCD变成平行四边形ABCD。
T
r
A
C
g
d
C O
Bg
D df r
D
dx
g是微元的直角改变量，即
半径r各处的剪应变。因为
CC= gdx=rd , 故有：
g rd / dx
d/dx ,称为单位长度扭转角
对半径为r的其它各处，可
电机每秒输入功： 外力偶每秒作功：
W Pk 1000(N m)
W 力偶矩 转角
Me
2π
n 60
P(千瓦)
P(kW)
Me
9.55 n(转 / 分)
9.55 n(r / min)
(kN m)
6
2．扭转内力：扭矩
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
Me
Me
假想切面
取左边部分
[t]=0.5~0.6[s] [t]与[s]之关系：
[t]=0.8~1.0[s]
(钢材，延性)
(铸铁，脆性) 32 返回主目录
2.刚度条件
扭另，单 （转一即位 弧圆方还统度轴 面 须一转必 ， 满为 换须 轴 足为/满 类 刚角m足零度，强件条）则度若件有条变。：件形q ，过max以大，保GT则证I p不不能破18p正坏0o常；工[q作]
作类似的分析。
17
1. 变形几何条件
T
A gr B gr
rr
C
d
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，
作类似的分析。 同样有：
CC= gdx=rd
即得变形几何条件为：
g rd / dx --(1)
剪应变g的大小与半径
r成正比。与单位扭转 角d/dx成正比。
18
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
tr
Gg r
Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
tmax
tr
dA
r
o
tr
T
取微面积如图，有：
rt rdA T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA T
dx A
21
3. 力的平衡关系
令：
IP r 2dA
A
最后得到：
AC
TAB l AB + T BC lBC
GIp AB
GIp BC
0 .183 rad
31
3.5 圆轴扭转的强度条件与刚度条件
1.强度条件 拉压 扭转强度条件
sys/n (延)
tys/n (延)
smax=[s]=
tma=x [t]=
sb/n (脆)
tb/n (脆)
s max FN / A [s ] t max T /Wp [t ]
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIp 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIp
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
33
3.扭转圆轴的设计
强度条件：
t max
T /Wp
y
Me
作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
SMx=0
z
变形前
AB x
Me
变形后
变形特征：相对扭转角 AB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
4
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3.1 扭转的概念与实例
5
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3.2 扭矩与扭矩图
1．外力偶矩的计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
35
2) 按刚度设计，有：
q max
T GIp
180o
p
T
GpD4 / 32
180o
p
[q
]
则有： 4 D
32
T 180°
max
Gp 2[q ]
4
32 3280 180
80109 p 2 1
69.9 103 m 70 mm N-m-Pa单位制
同时满足强度与刚度要求，则应取取大者
D 75mm
BA g
AB
C
g
D
d C
d
AOB
B
d L DL
T
T
dx
0
dx
GIp
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
T/GIp=const. , 故有：
AB
T
L/
GIp
GI p 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。 若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 29
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
tr
Gr
d
dx
Tr
IP
--(4)
Ip称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。
求Ip，Wp ?
G d r 2dA T
dx A
tmax tr r
tor T
tmax在圆轴表面处，且 t max Tr / I P T /WP
Wp =Ip /r，称为 抗扭截面模量。
22
讨论 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
T
T
At
t dx
′
AA
c d′x
dy
dz
A的平衡
t(dxdz)dy=t (dydz)dx
t =t
27
习题： 6-2，6-3， 6-5
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28
3.4 圆轴扭转时的变形
单位扭转角为：
d / dx T / GI p
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
T
r
A g
f24 f22
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B 1000 C
t max 1
T1 WP1
T1
pD13 [1 a 4 ]
16
150103 16
243p
[1
(18
/
24)4
]
80.8MPa
T /N·m
150 A
100
B
C
30
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f24 f22
BC段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B 1000 C
t max 2
T2 WP 2
pD23
T2 [1
d
]
16
D2
100103 16
223p [1 (18 / 22)
4
]
86.7MPa
3) 计算扭转角AC
T /N·m
150 100
A
B
C
故 tmax=86.7MPa
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
NA n
9.55 400 5.46kN m 700
MB
MC
9.55
NB n
9.55
120 700
1.64kN m
MD
9.55
ND n
9.55 160 700
2.18kN m
12
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
MB T1
9
3. 扭矩方程 扭矩图
n Me
T T (x)
表示扭矩变化规律的图线
Me x
xn
T
x
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截10面）
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
TAB
o
A
B
BC段：TBC
T / kN m
TAB 10kN m
10
x C
20kN m
B
T3 MD
MB MC T2
D
B
C
T /kN·m
C B
1.64
T图
2.18 AD 3.28
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
求各截面内力：
BC段 CA段
T1 1.64kN m T2 3.28kN m
AD段 T3 2.18kN m
2） 截面任一处
tr=T•r/Ip
截面外圆周处（表面）
tmax=T/Wp
实 心
tmax tr
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
tr
心
圆
o
轴
d
D
26
扩展——剪应力互等定理
在轴内任一点A处取一微单元，左右两面为横截面 ，上下两面为过轴线的径向截面。
剪应力互等定理：
物体内任一点处 二相互垂直的截面上 ，剪应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离二截面的交线。
第3章 圆轴的扭转
1
工程构件分类:
杆
杆的基 (轴) 扭转
剪切 (梁)
弯曲
2
第三章 圆轴的扭转
3.1 扭转的概念与实例 3.2 扭矩、扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力 3.4 圆轴扭转时的变形 3.5 圆轴扭转时的强度条件与刚度条件
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3.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
A
gr o
C
d
B
gr
t
r
C D
O
T D
最大剪应力在圆轴 表面处。dx
tr
Gg r
Gr d
dx
--(3)
圆轴几何尺寸及Me给定，
d/dx为常数；G是材料常数
截面上任一点的剪应力与该点
到轴心的距离r成正比；
剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
20
3. 力的平衡关系
[t ]
刚度条件：
q max
T GI p
180 o
p
[q ]
二者 均须 满足
极惯 性矩
Ip
pD 4
32
抗扭截 面模量
Wp
p D3
16
扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核； 确定许用载荷（扭矩）； 设计轴的几何尺寸。
34
例3. 实心圆轴如图，已知MB=MC =1.64kN·m， MD=2.18kN·m 材料G=80GPa，[t]=40MPa ， [q]=1/m，试设计轴的直径。
tr
Ggr
Gr
d
dx
G
d
dx
r 2dA T
A
---(2) ---(3)
圆轴扭转剪应力公式：
且由(2)、(4)可知 单位长度扭转角为
tr
T• r
Ip
---(4)
d /dx T /GIp ---(5)
25
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
极惯性矩: Ip r 2dA A
抗扭截面模量 Wp =Ip /r
dA
dr
r
o
讨论内径d，外径D的空心圆
截面，取微面积
d
dA=2prdr, 则有：
D
极惯 性矩
a=d/D
I p
2p
D/2
r 3dr
d/2
p
(D4 32
d
4)
pD 4
32
(1 a
4)
抗扭截面模量： Wp Ip /( D / 2) pD 3(1a 4 ) / 16
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。
在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg --(2)
t
t ys
G是tg曲线的斜率，如图，
称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
tr
Gg r
Gr
d