集成运放组成的运算电路典型例题

【例6-1】试用你所学过的基本电路将一个正弦波电压转换成二倍频的三角波电压。

要求用方框图说明转换思路，并在各方框内分别写出电路的名称。

【相关知识】
波形变换，各种运算电路。

【解题思路】
利用集成运放所组成的各种基本电路可以实现多种波形变换；例如，利用积分运算电路可将方波变为三角波，利用微分运算电路可将三角波变为方波，利用乘方运算电路可将正弦波实现二倍频，利用电压比较器可将正弦波变为方波。

【解题过程】
先通过乘方运算电路实现正弦波的二倍频，再经过零比较器变为方波，最后经积分运算电路变为三角波，方框图如图（a）所示。

【其它解题方法】
先通过零比较器将正弦波变为方波，再经积分运算电路变为三角波，最后经绝对值运算电路（精密整流
电路）实现二倍频，方框图如图（b）所示。

实际上，还可以有其它方案，如比较器采用滞回比较器等。

【例6-2】电路如图(a)所示。

设为A理想的运算放大器，稳压管DZ的稳定电压等于5V。

（1）若输入信号的波形如图(b)所示，试画出输出电压的波形。

（2）试说明本电路中稳压管的作用。

?图(a)??????????????????????????? 图(b)
【相关知识】
反相输入比例器、稳压管、运放。

【解题思路】
（1）当稳压管截止时，电路为反相比例器。

（2）当稳压管导通后，输出电压被限制在稳压管的稳定电压。

【解题过程】
（1）? 当时，稳压管截止，电路的电压增益
故输出电压
当时，稳压管导通，电路的输出电压被限制在，即。

根据以上分析，可画出的波形如图(c)所示。

图(c)
（2）由以上的分析可知，当输入信号较小时，电路能线性放大；当输入信号较大时稳压管起限幅的作用。

【例6-3】在图(a)示电路中，已知, ，，设A为理想运算放大器，其输出电压最大值为，试分别求出当电位器的滑动端移到最上端、中间位置和最下端时的输出电压的值。

图(a)
【相关知识】
反相输入比例器。

【解题思路】
当时电路工作闭环状态；当时电路工作开环状态。

【解题过程】
（1）当的滑动端上移到最上端时，电路为典型的反相输入比例放大电路。

输出电压
（2）当的滑动端处在中间位置时，画出输出端等效电路及电流的参考方向如图(b)所示。

图中。

图(b)
由图可知? ????????????????????????????????????
以上各式联立求解得?
代入有关数据得???????
（3）当的滑动端处于最下端时，电路因负反馈消失而工作在开环状态。

此时，反相输入端电位高于同相输入端电位，运放处于负饱和状态。

输出电压。

【例6-4】电压－电流转换电路如图所示，已知集成运放为理想运放，R2＝R3＝R4＝R7＝R，R5＝2R。

求解i L与u I之间的函数关系。

【相关知识】
集成运放工作在线性区的特点，“虚短”和“虚断”的分析方法，基本运算电路的识别。

【解题思路】
（1）由图判断出集成运放A1和A2分别引入的局部电压反馈为负反馈。

（2）识别集成运放A1和A2分别组成的基本运算电路类型。

（3）根据运算电路类型以及“虚短”和“虚断”的分析方法分别求解u O1以及u O2的表达式，从而得到i L与u I之间的函数关系。

【解题过程】
以u I和u O为输入信号，A1、R1、R2和R3组成加减运算电路，，其输出电压
以u O1为输入信号，A2、R4和R5组成反相比例运算电路，其输出电压
负载电流
因此?????????????????
可见，通过本电路将输入电压转换成与之具有稳定关系的负载电流。

【方法总结】
由集成运放组成的多级放大电路的解题方法总结：
（1）首先判断各个集成运放分别引入的局部电压反馈的极性。

（2）若引入的反馈为负反馈，则识别各个集成运放所组成的基本运算电路类型。

根据运算电路类型以及“虚短”和“虚断”的分析方法逐级求解输出电压的表达式。

【例6-5】在图(a)所示电路中，设电路的输入波形如图(b)所示，且在时,。

（1）试在理想的情况下，画出输出电压的波形。

（2）若，运放的电源电压为15V , 画出在上述输入下的输出电压的波形。

图(a)????????????????????????????????????? 图(b)
【相关知识】
积分器、运放的传输特性。

【解题思路】
当积分器的输出电压小于运放的最大输出电压时，运放工作于线性状态；当积分器的输出电压等于运放的最大输出电压之后，运放进入饱和状态，只要输入电压极性不变，输出电压不会变化。

【解题过程】
（1）由图 (a)可知，该电路为运放组成的积分电路，所以输出电压
当时, 已知
当时???
当时
当时???????
同理，当
当时???????
当
当时???
画出输出电压的波形如图(c)所示。

图(c)
（2）若时
当时?????
已知运放的电源电压为15V，那么，电路的输出电压的最大值。

但，这是不可能的，故电路在某个时刻已处于饱和状态。

当时,令
解上式得
???????????????????????????????
当时，令
解得
同理，当时，令
解之得
当?????? 可求得
画出输出电压的波形如图(d)所示。

???????????? 图（d）
【常见的错误】
当积分器的输出电压等于运放的最大输出输出电压之后，运放将处于饱和状态。

这一点往往被忽视。

【例6-6】如图所示的理想运放电路，可输出对“地”对称的输出电压和。

设，。

（1）试求/。

（2）若电源电压用15V，，电路能否正常工作
（1）运放特性。

（2）反相输入比例运算电路。

【解题思路】
分析各运放组成哪种单元电路，根据各单元电路输出与输入关系，推导出总的输出电压的关系式。

【解题过程】
（1）由图可知，运放A1和A2分别组成反相输入比例运算电路。

故
（2）若电源电压用15V，那么，运放的最大输出电压，当时，，。

运放A1和A2的输出电压均小于电源电压，这说明两个运放都工作在线性区，故电路能正常工作。

【例6-7】电路如图所示，设运放均有理想的特性，写出输出电压与输入电压、的关系式。

【相关知识】
运放组成的运算电路。

【解题思路】
分析各运放组成哪种单元电路，根据各单元电路输出与输入关系，推导出总的输出电压的关系式。

由图可知，运放A1、A2组成电压跟随器。

?????
? ，
运放A4组成反相输入比例运算电路
运放A3组成差分比例运算电路
以上各式联立求解得：
【例6-8】在图示电路中，假设A为理想运放，电容初始电压为零。

现加入U I1＝1V、U I2＝－2V、U I3＝－3V的直流电压。

试计算输出电压U O从0V上升到10V所需的时间。

【相关知识】
???? ??加法器、积分器。

【解题思路】
?????? 先根据电容两端电压与电容电流的表达式推导输出电压与电容电流的关系，再利用运放输入端“虚短”、“虚断”的结论推导各个输入电压与电容电流的关系，从而可得到输出电压与积分时间的关系式。

根据电容两端电压与电容电流的关系式?
得
而?
故
??
????????????????????
当从0V上升到10V，则
【例6-9】在实际应用电路中，为了提高反相输入比例运算电路的输入电阻，常用图示电路的T型电阻网络代替一个反馈电阻。

设，。

（1）求
（2）若用一个电阻替换图中的T型电阻网络，为了得到同样的电压增益，应选多大的阻值
反相输入比例器。

【解题思路】
根据运放输入端“虚短”、“虚断”的结论推导输入电压与输出电压之间的关系式。

【解题过程】
（1）为分析方便，标出各支路的电路参考方向如图所示。

因为电路的同相输入端接地。

所以??
???????????????????????????????????????????? ①
???????????????????????????????????????????? ②
???????????????????????? ????????????????????③
? ??????????????????????????????????????????④由③式得
?????????
代入②式得
?????????????????????????????????????? ⑤由①、④、⑤式得
?????????
故
代入有关数据得
（2）若用一个反馈电阻代替T型电阻网络，那么
为了得到同样的增益，应选电阻
由此可见，若用一个反馈电阻代替T型电阻网络时，的阻值远大于T型电阻网络中的元件阻值。

【例6-10】理想运放电路如图所示，试求输出电压与输入电压的关系式。

【相关知识】
??? ??加法器、减法器。

【解题思路】
由图可知，本电路为多输入的减法运算电路，利用叠加原理求解比较方便。

【解题过程】
当时
当时???????????????????????????????
利用叠加原理可求得上式中，运放同相输入端电压???????????
于是得输出电压
【例6-11】电路如图(a)所示。

设运放均为理想运放。

（1）为使电路完成微分运算，分别标出集成运放A1、A2的同相输入端和反相输入端；
（2）求解输出电压和输入电压的运算关系
图(a)???????????? ????????????????????????图(b)
【相关知识】
负反馈，运算电路的基本特点，积分运算电路，微分运算电路，在反馈通路采用运算电路来实现其逆运算的方法。

【解题思路】
（1）根据集成运放在组成运算电路时的基本特点即引入深度电压负反馈，标出A1、A2的同相输入端和反相输入端，使其引入负反馈。

（2）先分析与之间的积分运算关系，然后根据“虚短”、“虚断”方法求解与之间的微分运算关系。

【解题过程】
（1）由图可知，以u O作为输入，以u O2作为输出，A2、R3和C组成积分运算电路，因而必须引入负反馈，A2的两个输入端应上为“－”下为“＋”。

利用瞬时极性法确定各点的应有的瞬时极性，就可得到A1的同相输入端和反相输入端。

设u I对“地”为“＋”，则为使A1引入负反馈，u O2的电位应为“－”，即R1的电流等于R2的电流；而为使u O2的电位为“－”，u O的电位必须为“＋”。

因此，u O与u I同相，即A1的输入端上为“＋”、下为“－”。

电路的各点电位和电流的瞬时极性、A1和A2的同相输入端和反相输入端如图(b)所标注。

（2）A2的输出电压
即????????????????? ?????????????（1）
由于A1两个输入端为“虚地”，即，，即
将上式代入式（1）可得输出电压
【例6-12】电路如图所示，图中运放性能理想，输入电压。

试求输出信号与输入信号的关系式。

【相关知识】
??? 乘法器、反相比例器、负反馈。

【解题思路】
根据乘法器、反相输入比例器单元电路的函数关系，以及运放输入端“虚短”、“虚断”的结论和二极管的单向导电性，推导输入电压与输出电压之间的关系式。

【解题过程】
由于输入电压，运放的输出极性为负，二极管导通，整个电路构成电压并联负反馈。

设运放的输出电压为。

由图可知
由以上两式可得?????????????????????????????? ?
【例6-13】电路如图所示，假设运放为理想器件，试写出电路输出信号与输入信号的关系式并说明电路功能。

【相关知识】
乘法器、积分器。

【解题思路】
根据乘法器、积分器单元电路的函数关系，以及运放输入端“虚短”、“虚断”的结论推导输入电压与输出电压之间的关系式。

【解题过程】
设输入级乘法器输出电压为u O1，积分器（A1）输出信号为u O2，运放A2反馈回路的乘法器输出为u O3。

则
???? 因为
所以
即?
故
??? 由上式可知，本电路实现了均方根运算。

【例6-14】图(a)所示为除法运算电路。

模拟乘法器的相乘因子k=。

（1）分别标出在u I2>0和u I2<0两种情况下集成运放的同相输入端和反相输入端；
（2）设电路中集成运放两个输入端接法正确，试分别求出在u I2>0和u I2<0两种情况下u O与u I1、u I2的运算关系式。

图(a)
【相关知识】
负反馈，运算电路的基本特点，模拟乘法器。

【解题思路】
（1）根据集成运放在组成运算电路时的基本特点即引入深度电压负反馈，标出A1、A2的同相输入端和反相输入端。

在图示电路中，若设输入电压u I1对“地”为“＋”，在R上获得的反馈电压对“地”也为“＋”，则表明引入的是负反馈；而为使反馈电压对“地”为“＋”，模拟乘法器的输出电压应大于零。

根据以上原则，可推论出在u I2>0和u I2<0两种情况下如何连接集成运放的同相输入端和反相输入端。

（2）根据模拟乘法器的特点，先分析与和之间的运算关系，然后根据“虚短”、“虚断”方法求解与和之间的运算关系。

【解题过程】
（1）由于u I1>0时要求，已知，因而u I2>0时，要求；故集成运放的输入端上为“＋”、下为“－”，如图（b）所示。

同理，由于u I1>0时要求，已知，因而u I2<0时，要求；故集成运放的输入端上为“－”、下为“＋”，如图（c）所示。

由此可见，当u I2极性不同时，集成运放两个输入端的接法也将不同；换言之，若接错，则电路将引入正反馈而不成其为运算电路。

（2）集成运放具有“虚短”和“虚断”的特点。

在图（b）所示电路中，集成运放两个输入端的电位u N= u P= u I1，因而模拟乘法器的输出电压
故??????????
图（c）所示电路的分析过程与上述相同，因此运算关系式同上。

【例6-15】反相输入比例运算放大电路如图(a)所示，已知集成运放的开环增益A od＝2000，输入电阻r id＝10 k?，电阻R f＝100k?，R1＝10k?，R2＝R1//R f。

问：
（1）的实际值是多少和理想条件（A od＝∞，r id＝∞）下的值比，相对误差是多少
（2）如果要求误差在％以下，集成运放的A od至少应为多少设R1、R f不变。

图(a)
【相关知识】
（1）运放的低频等效电路。

（2）非理想运放电路的分析方法。

【解题思路】
???? 根据非理想运放的低频等效模型对电路进行分析。

【解题过程】
(1) 根据题意，画出运放的低频等效电路，如图(b)所示。

由图可知：
图(b)?
以上各式联立求解得
在理想条件下
相对误差为
（2）若要求，则将数据代入上式，得
A od≥31000 ?。