2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为2
3
3
2
2
23()()()[()]24
b b a b a b a ab b a b a -=-++=-++ ，所以
33a b a b >⇔> ，即“a b >”是“33a b >”的充要条件，选C.
2．函数41
2
x x
y +=的图像的对称性为（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y x
=对称 【答案】B
【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．
【详解】解：因为4141
()22222
x x x x x x x f x -+==+=+，所以
()222(2)x x x x f x f x ---=+=+=，
所以函数()f x 是偶函数，即函数图象关于y 轴对称． 故选：B ．
3．已知全集U =R 及集合2128,4a A a
a -⎧⎫
=≤<∈⎨⎬⎩⎭
Z ，{}
23100B b b b b =+->∈R ，，则A B 的元素个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算求出A B ，然后即可得出
A
B 的元素个数．
【详解】解：
2128,4a A a a -⎧⎫
=≤<∈⎨⎬⎩⎭
Z ，{}
23100B b b b b =+->∈R ，
{|223A a a ∴=--<，}{|14a Z a a ∈=-<，}{0a Z ∈=，1，2，3，4}，{|5
B b b =<-或2}b >，且U =R ，
∴{|52}B b b =-，{0,1,2}A B =，
∴A
B 的元素个数为：3．
故选：B ．
4．已知函数2x y x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，则1x 、
2x 、3x 的大小关系为（ ）
A ．123x x x <<
B ．213x x x <<
C ．231x x x <<
D ．132x x x <<
【答案】D
【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数2x
y =，ln y x =，
lg y x =和函数y x =-的图像，根据图象即可判断1x 、2x 、3x 的大小关系．
【详解】已知函数2x
y x =+，ln y x x =+，lg y x x =+的零点依次为1x 、2x 、3x ，
即111202x x
y x x =+=⇒=-1，
2222ln 0ln y x x x x =+=⇒=-， 3333lg 0lg y x x x x =+=⇒=-，
在同一坐标系中画出函数2x
y =，ln y x =，lg y x =和函数y x =-的图像，
由图可知：132x x x <<． 故选：D
5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是
A ．)+∞
B ．[2,)+∞
C ．(0,2]+
D ．[1]-⋃
【答案】A
【详解】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，所
以0x
时，2()f x x =-，所以()f x 在R 上单调递增，且2())f x f =．对任意的
[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，即())f x t f +≥恒成立．因为()
f x
在R 上单调递增，所以任意的[,2]x t t ∈+，x t +≥
恒成立．即1)t x ≥恒成
立，当[,2]x t t ∈+时，max
1)1)(2)x t ⎡⎤=+⎣⎦
，所以只需1)(2)t t ≥+，
解得t ≥A 正确．
【解析】奇函数的奇偶性和单调性，利用单调性比较大小求最值
二、填空题
6．已知集合{1,1,2}A =-，{
}
2
0B x x x =+=，则A B =__________．
【答案】{}1-
【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{1A =-，1，2}，{1B =-，0}，
{1}A
B ∴=-．
故答案为：{}1-．
7．不等式
301
x
x +≤-的解集为______. 【答案】[)3,1-
【分析】解分式不等式
301
x
x +≤-即可得出该不等式的解集. 【详解】解不等式
301x x +≤-得31x -≤<，因此，不等式301
x
x +≤-的解集为[)3,1-.
故答案为：[)3,1-.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 8．函数4()f x x x =+
，1,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域为__________． 【答案】174,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.
【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，在(]2,4上单调递减，
所以()()min 24f x f ==，
又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫
⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
，且
11
17822
2f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，
所以()max 17
2
f x =
， 所以()f x 的值域为174,
2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
故答案为：174,
2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 9．计算：7log 222220
log 2log 3log 579
+-+=__________． 【答案】4
【分析】根据对数的运算法则和性质求解出结果. 【详解】原式22
2220
log log 3log 529
+-=+ 222099log 2log 422245⎛⎫⨯ ⎪=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
故答案为：4.
10．用“二分法”求方程340x x +-=在区间(1,2)内的实根，首先取区间中点 1.5x =进行判断，那么下一个取的点是x =__________．
【答案】1.25
【分析】分别代入1x =， 1.5x =计算得340x x +-<和340x x +->，所以可得方程340x x +-=在区间(1,1.5)内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为1.25. 【详解】当1x =时，3411420x x +-=+-=-<， 1.5x =时，
334 1.5 1.540.8750x x +-=+-=>，所以方程340x x +-=在区间(1,1.5)内有实
根，所以下一个取的点是1.25. 故答案为：1.25
11．已知条件:211p k x k -≤≤-，:33q x -≤<，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为_________． 【答案】(,2]-∞-
【分析】根据集合的包含关系得到关于k 的不等式组解出即可． 【详解】∴[)[]3,321,1k k -⊆--，
∴321
31k k
-≥-⎧⎨
≤-⎩，解得2k ≤-，
故答案为：(],2-∞-．
【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，
q 对的集合与p 对应集合互不包含．
12．不等式|2||1|5x x ++-≤的解集为__________． 【答案】[3,2]-
【分析】分1≥x ，2x <-，2
1x 三种情况讨论，即可求出结果．
【详解】当1≥x 时，原不等式可化为215x +≤，解得2x ≤，所以2x ≤； 当2x <-时，原不等式可化为215x --≤，解得3x ≥-，所以3x ≥-； 当2
1x 时，原不等式可化为35≤，显然不成立；
综上，原不等式的解集为[3,2]-． 故答案为：[3,2]-．
13．已知函数()3x f x a =+的反函数为1()y f x -=，若函数1()y f x -=的图像过点
(3,2)，则实数a 的值为__________．
【答案】-6 【分析】由1
()y f
x -=的图象过点(3,2)得函数()y f x =的图象过点(2,3)，把点(2,3)
代入()y f x =的解析式求得a 的值． 【详解】解：
1()y f x -=的图象过点(3,2)，
∴函数()y f x =的图象过点(2,3)，
又()3x
f x a =+， 233a ∴+=，即6a =-．
故答案为：6-．
14．已知集合A ={13x x m m -<+，其中,x m ∈Z ，且0m >}，B ={1
23
x x m +<，其中,x m ∈Z ，且0m >}，则A B 的元素个数为__________．（用含正整数m 的式
子表示） 【答案】2m
【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算求出A B ，根据x ，m Z ∈且0
m >即可得出A
B 的元素个数．
【详解】解：A ={13x x m m -<+，其中,x m ∈Z ，且0m >}，B ={1
23
x x m +<，其中,x m ∈Z ，且0m >}，
所以11
{|2,,,0}33A x x m x m Z m =-<<+∈>，
11
{|22,,,0}33
B x m x m x m Z m =--<<-∈>，
∴11{|2,,,0}33
A B x x m x m Z m =-<<-∈>，
x ，m Z ∈，且0m >，{0A
B ∴=，1，2，⋯，21}m -，
A
B ∴元素的个数为：2m ．
故答案为：2m
15．已知函数22
30()30
x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()2
3(2)0f a f a -+>，则实数a 的取值范围为________．
【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞
【分析】先根据已知条件判断出()f x 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于a 的不等式，由此求解出a 的取值范围.
【详解】当0x >时，()()()()2
20,33x f x x x x x f x -<-=⋅---=--=-， 当0x <时，()()()()2
20,33x f x x x x x f x ->-=-+⋅-=-=-， 且()00f =，
所以()f x 是定义在R 上的奇函数， 因为2
3y x x =+的对称轴为3
2
x =-
，所以()f x 在()0,+∞上单调递增， 由()f x 为奇函数可知()f x 在R 上单调递增，
因为()
2
3(2)0f a f a -+>，所以(
)
()2
32f a f a ->-，
所以232a a ->-，所以3a <-或1a >，即a 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞， 故答案为：()(),31,-∞-⋃+∞.
【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如()()()()
0f g x f h x +>的不等式的思路：
（1）利用奇偶性将不等式变形为()()()()
f g x f h x >-；、 （2）根据单调性得到()g x 与()h x -的大小关系；
（3）结合函数定义域以及()g x 与()h x -的大小关系，求解出x 的取值范围即为不等式解集.
三、解答题
16．已知,a b 是任意实数，求证：4433a b a b ab ++≥，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析；当且仅当a b =时，等号成立．
【分析】做差，然后因式分解，再进行配方，最后与0比较大小即可证明. 【详解】因为(
)()()()44
3
3
4
343a b
a b ab a
a b b ab +-+=-+-
()
3333()()()a a b b b a a b a b =-+-=--()2
2222213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故(
)()44
3
3
0a b
a b ab +-+≥，即4
433a
b a b ab ++≥．
当且仅当a b =时，等号成立．
17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．
【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为
1200
x
m ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫
=++-
⎪⎝⎭
，再由基本不等式可得答案. 【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200
x
m ， 人行通道占地面积为
()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫
=++-=++ ⎪⎝⎭
，
由均值不等式，得27200720084828482244896m S x x x x
=+
+≥⋅=⨯+=， 当且仅当72008x x
=
，即30m x =时，2
min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2． 18．已知函数23
1
x y x -=
+．
（1）作出这个函数的大致图像； （2）讨论关于x 的方程
23
1
x t x -=+的根的个数． 【答案】（1）作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由函数图象的平移与翻折变换可得23
||1
x y x -=+的图象；
（2）对t 分类，数形结合得答案． 【详解】解：（1）因235
211
x y x x -=
=-++ 故先将函数5
y x
=-
的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数521y x =-
+的图像，最后将函数521
y x =-+图像x 轴下方部分翻折到x 轴上方，便得到函数23
1
x y x -=
+的大致图像．
（2）当0t <时，方程
23
1
x t x -=+根的个数为0； 当0t =，或2t =时，方程
23
1
x t x -=+根的个数为1；
当02t <<，或2t >时，方程
23
1
x t x -=+根的个数为2． 19．已知函数()1
6
1x f x a a
+=-
+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；
（2）若不等式()33x
tf x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）3a =；(1,1)-； （2）15
[
,)2
+∞. 【分析】（1）根据()00f =解得3a =，并检验3a =时，满足题意，得出函数解析式，求解值域；
（2）根据函数值域，将问题转化()
313331x x
x t +≥-⋅-，故()
max
313331x x x
t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，利用换元法求解最值即可得解.
【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133
x f x +=-
+
231
13131
x x x
-=-=++ ()()3131
3131
x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，
故3a =，据此()()
1301x
f x f x +=
>-，()()1,1f x ∈-，
即值域为()1,1- （2）()2131x f x =-
+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
为正数， 所以()
313331x x x t +≥-⋅-，故()
max 313331x x
x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣
⎦，
令[]31,2,8x
m m -=∈，则(
)
()31
33231
x x
x m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为
152，∴实数t 范围是15,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值.
20．已知函数21
2
log (1)0()log (1)
0x x f x x x +≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩．
（1）判断函数()y f x =的奇偶性；
（2）对任意的实数x 、x ，且120x x +>，求证：()()120f x f x +>； （3）若关于x 的方程2
3
[()]()04
f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析：（3）3,1(3,)4a ⎛⎫
∈⋃+∞
⎪⎝⎭
． 【分析】（1）(0)0f =，然后分0x >、0x <两种情况讨论即可； （2）首先判断出()y f x =在R 上是增函数，然后可证明；
（3）令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，原方程有两个不相等的正根等价于：
关于t 的方程2
304t at a ⎛⎫
-+-
= ⎪⎝⎭
有两个不相等的正根，然后可建立不等式组求解. 【详解】（1）2(0)log (10)0f =+=． 当0x >时，0x -<，有
122
()log [1()]log (1)()f x x x f x -=--=-+=-，即
()()f x f x -=-．
当0x <时，0x ->，有
212
()log [1()]log (1)()f x x x f x -=+-=--=-，即
()()f x f x -=-．
综上，函数()y f x =在R 上是奇函数．
（2）因为函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，函数1u x =+在R 上也是增函数， 故函数2log (1)=+y x 在[0,)+∞上是增函数．
由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数．由奇函数的单调性知， 函数
12
log (1)y x =-在(,0)-∞上也是增函数，
从而函数()y f x =在R 上是增函数．
由120x x +>，得12x x >-，所以()()()122f x f x f x >-=-，
即()()120f x f x +>．
（3）由（1）知，函数()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为
23
[()]()04
f x af x a -+-
=． 令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>．
原方程有两个不相等的正根等价于：关于t 的方程2
304t at a ⎛
⎫
-+-
= ⎪⎝⎭
有两个不相等的正根，
即23401,343001,?3433
44a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫⎧∆=--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪
>⇔>⇔<<>⎨
⎨⎪⎪⎪⎪->>⎩⎪⎩
或 因此，实数a 的取值范围为3,1(3,)4⎛⎫
⋃+∞
⎪⎝⎭
． 21．对于定义在D 上的函数()y f x =，设区间[,]m n 是D 的一个子集，若存在
0(,)x m n ∈，使得函数()y f x =在区间[]0,m x 上是严格减函数，在区间[]0,x n 上是严
格增函数，则称函数()y f x =在区间[,]m n 上具有性质P ．
（1）若函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P ，写出实数a 、b 所满足的条件； （2）设c 是常数，若函数3
y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）20a b -<<；（2）()3,12c ∈．
【分析】（1）根据定义判断出2y ax bx =+为二次函数，然后根据()f x 的单调性和单调区间判断出2y ax bx =+的开口以及对称轴，由此得到,a b 满足的条件；
（2）先分析函数3
y x cx =-在区间[1,2]上为严格增函数和严格减函数时c 的取值，据
此分析出3
y x cx =-在区间[1,2]上先递减再递增时c 的取值范围，由此求解出c 的取
值范围.
【详解】（1）当函数2y ax bx =+在区间[0,1]上具有性质P 时，由其图象在R 上是抛物线，
故此抛物线的开口向上（即0a >），且对称轴是(0,1)2b
x a
=-∈； 于是，实数a ，b 所满足的条件为：20a b -<<．
（2）记3
()f x x cx =-．设1x ，2x 是区间[1,2]上任意给定的两个实数，
总有()()()()
2
2
12121122f x f x x x x x x x c -=-++-．
若3c ≤，当12x x <时，总有120x x -<且22
112211130x x x x c ++->++-=，
故()()120f x f x -<，因此3
y x cx =-在区间[1,2]上是严格增函数，不符合题目要求． 若12c ≥，当12x x <时，总有120x x -<且2222
11222222120x x x x c ++-<+⨯+-=，
故()()120f x f x ->，因此3
y x cx =-在区间[1,2]上是严格减函数，不符合题目要求．
若312c <<，当12x x <且12,x x ⎡∈⎢⎣时，总有120x x -<且
22
11220333
c c c x x x x c c ++-<++-=，
故()()120f x f x ->，因此3
y x cx =-在区间⎡⎢⎣上是严格减函数；
当12x x <且12,2x x ⎤
∈⎥⎦
时，总有120x x -<且22
11220333
c c c x x x x c c ++->=++-=，
故()()120f x f x -<，因此3
y x cx =-在区间2⎤
⎥⎦
上是严格增函数． 因此，当()3,12c ∈时，函数3
y x cx =-在区间[1,2]上具有性质P ．
【点睛】关键点点睛：本题属于函数的新定义问题，求解本题第二问的关键在于对于性质P 的理解，通过分析函数不具备性质P 的情况：严格单调递增、严格单调递减，借此分析出可能具备性质P 的情况，然后再进行验证即可.。