江苏省常州市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷

江苏省常州市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)
第(1)题
已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是
( )
A
．B．C．D．
第(2)题
已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则
双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
第(3)题
已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，
则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．
A．①②都正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①②都错误
第(4)题
已知为奇函数，则（）
A．3B．C．0D．
第(5)题
已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（）
A
．B．C．D．
第(6)题
已知集合，，则（）
A．B．C．D．
第(7)题
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C
．D．
第(8)题
某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)
第(1)题
下列结论正确的有（）
A．若随机变量，，则
B ．若随机变量，则
C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．的第百分位数为
第(2)题
为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：
．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（）
A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值
B．优等品有45件
代替）
C．质量的众数在区间内D．质量的中位数在区间内
第(3)题
已知函数，则（）
A．恒成立
B．是上的减函数
C
．在得到极大值
D．只有一个零点
三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)
第(1)题
已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭
圆交于B，C两点，M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为_________；若，则直线的方程为_________．
第(2)题
已知函数，则___________．
第(3)题
已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.
四、解答题（本题包含5小题，共77分。

解答下列各题时，应写出必要的文字说明、表达式和重要步骤。

只写出最后答案的不得分。

有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。

请将解答过程书写在答题纸相应位置） (共5题)
第(1)题
已知函数，.
（Ⅰ）若直线与曲线相切，求的值；
（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
第(2)题
已知四面体.
(1)证明：;
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
第(3)题
如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．
第(4)题
在数列中，，，.
（1）求的通项公式；
（2），是数列的前项和，，求证：．
第(5)题
温度作为环境因子，在种子的发芽过程中起着重要的作用．某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x（℃）之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：
第n次12345环境平均温度x/℃1819202122
种子发芽率y62%69%71%72%76% (1)根据散点图可以发现，变量y与x之间呈线性相关关系．如果在第6次实验时将环境平均温度控制在，试根据回归方程估计这次实验该植物种子的发芽率；
(2)若从这5次实验中任意抽取3次，设种子发芽率超过70%的次数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：线性回归方程中，，．。