河南省平顶山市2020-2021学年九年级数学下册锐角三角函数单元测试题(北师大版)

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绝密★启用前 2020-2021学年锐角三角函数单元测试题（北师大版）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
1. 如图1，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′ 处，BC ′ 交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( )
1 2 3 4
A.△ABE ∼△CBD
B.∠EBD =∠EDB
C.AD =BC ′
D.sin ∠ABE
=AE
ED
2. 如图2，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在
AD 边上的点F 处，若AB =4，BC =5，则tan ∠AFE 的值为( ) A.4
3
B.3
4
C.35
D.45
3. 已知cos α=3
4，则锐角α的取值范围是（ ） A.0∘<α<30∘
B.30∘<α<45∘
C.45∘<α<60∘
D.60∘<α<90∘
4. 已知α为锐角，且sin (α+10∘)=1
2，则α等于( ) A.50∘
B.40∘
C.30∘
D.20∘
5. 若α为锐角，且tan α=53
，则有（ ） A.0∘
<α<30∘
B.30∘<α<45∘
C.45∘<α<60∘
D.60∘<α<90∘
6. 若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α<β，则sin α<sin β；②若α<β，则cos α<cos β；③若α<β，则tan α<tan β；④若α+β＝90∘，则sin α＝cos β．其中正确的是（ ） A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
7. 在△ABC 中，∠C =90∘
，sin A =2
5，则sin B 的值是( ) A.2
3
B.2
5
C.
√21
5
D.4
5
8. 如图3，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i =1:0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD =45m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28∘，居民楼
AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为( ) （参考数据：sin 28∘≈0.47，cos 28∘≈0.88，tan 28∘≈0.53) A.76.9m
B.82.1m
C.94.8m
D.112.6m
9. 小明同学在校外实践活动中对一座大桥开展测量活动．如图4，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝m ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（ ） A.m sin α+m sin β
B.m cos α+m cos β
C.m tan α+m tan β
D.m
tan α+m
tan β
10. 如图5，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”．摩天轮是一个圆形，直径AB 垂直水平地面于点C ，最低点B 离地面的距离BC 为1.6米．某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D 仰
着头看见摩天轮的圆心时，仰角为37∘，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D′，当洋洋坐的桥厢F 与圆心O 在同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为42∘，已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A 离地面的距离AC 约是（ ） （参考数据：sin 37∘≈0.60，tan 37∘≈0.75，sin 42∘≈0.67，tan 42∘≈0.90）
5 6 7 8
A.118.8米
B.127.6米
C.134.4米
D.140.2米
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ， ）
11. 如图6，△ABC 的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan ∠BAC =________． 12. 计算：tan 260+2cos 45
2sin 260−cos 60=________．
13. 如图7，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90∘，顶点A 、B 分别在反比例函数y =1x (x >0)与y =m x
(x <0)的图象上，
已知sin ∠ABO =
√5
5
，则m 的值为________． 14. 如图8，一个小球由地面沿着坡度为i =2:3的坡面向上前进了13m ，则此时小球前进的水平距离是________.
15. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A 出发，沿北偏西60∘方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏东45∘方向，则码头A 与小岛C 的距离为________海里（结果保留根号）．
三、解答题（本题共计 9 小题，共计75分，）
16.(8分) 如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD=5，AB=8，sin D=4
5
，求AF的长．
17.(9分) 速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD // EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1:1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1:√3．
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米处(EB＝10)是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：√3≈1.73）
18. （8分）如图1是一款可调节儿童书桌椅，图2是它的示意图，座位DE宽度为40cm，其竖直高度CD为30cm，O为桌面板AB的中点，某儿童坐在座位上眼睛F距离水平地面的高度为100cm．研究表明：当桌面板与竖直方向夹角∠AOC＝80∘，视线FO与桌面板所呈锐角∠FOA＝30∘时最舒适，问此时OD高度应调节为多少？（参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36，sin80∘≈0.98，cos80∘≈0.17，tan80∘≈5.67，结果精确到1cm）
19. （8分）2019年4月18日，台湾省花莲县发生里氏6.7级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑
物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距6米，探测线与地面的夹角分
别为30∘和60∘，如图所示，试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据
√
2≈1.41，√3≈1.73）
20.(8分) 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的
夹角为120∘时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，
如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30∘．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120∘，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
21. （8分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14∘，求电梯AB的坡度与长度．（参考数据：sin14∘≈0.24，tan14∘≈0.25，cos14∘≈0.97）
22.(9分) 为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，南昌市在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆AM与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE // AB，摄像头EF⊥DE于点E，已知AC=5.5米，CD=3米，EF=0.4米，∠CDE=162∘．
(1)求∠MCD的度数；(2)求摄像头下端点F到地面AB的距离．
（参考数据：sin72∘≈0.95，cos72∘≈0.31，tan72∘≈3.08，sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32）
23. （8分）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30∘，沿坡面向下走到
坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45∘，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1:
√
3，（即tan∠DEM＝1:√3），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）．
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24. （9分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34∘，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60∘，求炎帝塑像DE的高度．
(精确到1m．参考数据：sin34∘≈0.56，cos34∘≈0.83，tan34∘≈0.67，√3≈1.73)
参考答案与试题解析
2020-2021学年锐角三角函数单元测试题（北师大版）
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C 10.【答案】B
二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）
11.【答案】1
3
12.【答案】3+√2
13.【答案】−4
14.【答案】3√13m
15.【答案】(10+10√3)
三、解答题（本题共计 9 小题，共计75分）
16.
【答案】
(1)证明：▱ 四边形ABCD是平行四边形，
▱ AB // CD，AD // BC，AD=BC，
▱ ∠D+∠C=180∘，∠ABF=∠BEC.
▱ ∠AFB+∠AFE=180∘，∠AFE=∠D，
▱ ∠C=∠AFB，
▱ △ABF∼△BEC.
(2)解：▱ AE⊥DC，AB // DC，
▱ ∠AED=∠BAE=90∘.
在Rt△ADE中，AE=AD⋅sin D=5×4
5
=4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
BE=√AE2+AB2=√42+82=4√5.
由(1)知，△ABF∼△BEC.
▱ BC=AD=5，
▱ AF
BC =AB
BE
，即AF
5
=
4√5
，
解得：AF=2√5．
17.
【答案】
如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
▱ 新坡面AC的坡度为1:√3，
▱ tan∠CAH=
√3
=√3
3
，
▱ ∠CAH＝30∘，即新坡面AC的坡角为30∘，
▱ AC＝2CH＝10米；
新的设计方案不能通过．
理由如下：▱ 坡面BC的坡度为1:1，
▱ BH＝CH＝5，
▱ tan∠CAH=√3
3
，
▱ AH=√3CH＝5√3，
▱ AB＝5√3−5，
▱ AE＝EB−AB＝10−(5√3−5)＝15−5√3≈6.35<7，
▱ 新的设计方案不能通过．
18.
【答案】
此时OD的高度应调节为56cm．
19.
【答案】
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生命所在点C 的深度约为5.2米．
20. 【答案】
如图③，在Rt △AOC 中，OA ＝24，∠OAC ＝30∘． ▱ OC =1
2
OA =1
2
×24＝12(cm)；
如图④，过点B′作B′D ⊥AC ，垂足为D ，过点O 作OE ⊥B′D ，垂足为E ， 由题意得，OA ＝OB′＝24，
当显示屏的边缘线OB ′与水平线的夹角仍保持120∘，看可得，∠AOB′＝150∘ ▱ ∠B′OE ＝60∘， ▱ ∠ACO ＝∠B′EO ＝90∘，
▱ 在Rt △△B′OE 中，B′E ＝OB′×sin 60∘＝12
√3
， 又
▱ OC
＝DE ＝12，
▱ B′D ＝B′E +DE ＝12+12√3， 即：点B′到AC 的距离为(12+12√3)cm ．
21. 【答案】
作BC ⊥PA 交PA 的延长线于点C ，作QD // PC 交BC 于点D ，
由题意可得，BC ＝9.9−2.4＝7.5米，QP ＝DC ＝1.5米，∠BQD ＝14∘， 则BD ＝BC −DC ＝7.5−1.5＝6米， ▱ tan ∠BQD =BD
QD ， ▱ tan 14∘
=66+ED ， 即0.25=66+ED ，
解得ED ＝18， ▱ AC ＝ED ＝18， ▱ BC ＝7.5，
▱ tan ∠BAC =BC
AC =5
12， 即电梯AB 的坡度是5:12，
▱ BC ＝7.5，AC ＝18，∠BCA ＝90∘， ▱ AB =√7.52+182=19.5（米）． 即电梯AB 的坡度是5:12，长度是19.5米．
22. 【答案】
解：(1)如图，延长ED ，AM 交于点P ，
▱ DE // AB ，MA ⊥AB ， ▱ EP ⊥MA ，即∠CPD =90∘， ▱ ∠CDE =162∘，
▱ ∠MCD =162∘−90∘=72∘.
(2)如图，在Rt △PCD 中，CD =3米，∠MCD =72∘， ▱ PC =CD ⋅cos ∠MCD =3×cos 72∘≈3×0.31=0.93米， ▱ AC =5.5米，EF =0.4米，
▱ PC +AC −EF =0.93+5.5−0.4=6.03米. 答：摄像头下端点F 到地面AB 的距离为6.03米． 23. 【答案】
条幅的长度是10√3米 24.
【答案】
解：▱ ∠ACE=90∘，∠CAE=34∘, CE=55(m)，▱ tan∠CAE=CE
AC
，
▱ AC=CE
tan34=55
0.67
≈82.1(m).
▱ AB=21(m)，
▱ BC=AC−AB≈61.1(m).
在Rt△BCD中，tan60∘=CD
BC
=√3，
▱ CD=√3BC≈1.73×61.1=105.7(m)，
▱ DE=CD−EC≈105.7−55≈51(m).
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
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