黑龙江省安达市吉星岗镇第一中学2019-2020学年中考数学模拟试卷

黑龙江省安达市吉星岗镇第一中学2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，点B 的坐标为（0，），将该三
角形沿x 轴向右平移得到Rt △O′A′B′，此时点B′的坐标为（OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为（ ）
A.4
B.3 D.1
2．如图，在四边形中，
分别是
，
，
，
边上的点，某同学探索出如下结论，其
中不正确．．．
的是（ ）
A.当是各边中点且时，四边形为菱形
B.当是各边中点且
时，四边形
为矩形
C.当不是各边中点时，四边形不可能为菱形
D.当
不是各边中点时，四边形
可以为平行四边形
3．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y
-⋅+的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4 （ ） A ．16的平方根 B ．16的算术平方根 C ．±4 D ．±2 5．用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于( )
A ．16π
B ．4
C ．6
D ．8
6．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（ ） A ．平移
B ．旋转
C ．轴对称
D ．位似
7．下列命题是真命题的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．在平面直角坐标系中，已知两点()75A ，
，()43B ，，先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的1
2
，得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ）
A.()4,3
B.()4,3或()4,3--
C.()4,3--
D.()3,2或()3,2--
9．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ） A ．十二边形
B ．十边形
C ．八边形
D ．六边形
10．下列事件属于必然事件的是（ ） A ．乘车到十字路口，遇到红灯
B ．在装有4个红球，6个篮球的暗箱里，一次摸3个球，摸到篮球
C ．某学校有学生367人，至少有两人的生日相同
D ．明年沙糖桔的价格在每公斤6元以上
11．下表是摄氏温度和华氏温度之间的对应表，则字母a 的值是( )
12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，直线l 从点D 出发，沿射线DA 方向以每秒1个单位的速度平移运动，至直线经过B 点时停止运动．若直线l ∥AC ，与DA （或AB ）交于点M ，与DC （或CB ）交于点N ．设直线l 运动时间为t （秒），△DMN 的面积为y ，则y 关于t 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，平面直角坐标系中，点A （0，-2），B （-1，0），C （-5，0），点D 从点B 出发，沿x 轴负方向运动到点C ，E 为AD 上方一点，若在运动过程中始终保持△AED ～△AOB ，则点E 运动的路径长为_______________
14．点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____．
15．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．
16．因式分解：3327a a -=____.
17．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝30°，AB ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得△CDE ，则图中线段AB 扫过的阴影部分的面积为_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，弧ABC 所在圆的圆心P 的坐标为(3，4)，弧ABC 与x 轴交于点(1，0)，则⊙P 与x 轴的另一交点坐标是_____．
三、解答题
19．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE ＝AB ，过点E 作射线EF ．
（1）若∠DAB ＝60°，EF ∥AB 交BC 于点H ，请在图1中补全图形，并判断四边形ABHE 的形状； （2）如图2，若∠DAB ＝90°，EF 与AB 相交，在EF 上取一点G ，使得∠EGB ＝∠EAB ，连接AG ，请在图2中补全图形，并证明点A ，E ，B ，G 在同一个圆上；
（3）如图3，若∠DAB ＝α（0°＜α＜90°），EF 与AB 相交，在EF 上取一点G ，使得∠EGB ＝∠EAB ，连接AG ．请在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹），直接写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）．
20．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，D 为⊙O 上一点（点D 不与A 、B 重合），连接BD 并延长，交AC 于点C ，连接AD. (1)若8BD =，且3
tan 4
ABD ∠=
，求BC ； (2)过点A 作DAC ∠的平分线交⊙O 于点E ，连接BE 交AD 于点F ，连接DE ，求证：
2
2DE AD AF
=⋅.
21．如图1，反比例函数
k
y
x
=(k>0)图象经过等边△OAB的一个顶点B，点A坐标为（2，0），过点B作
BM⊥x轴，垂足为M．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若将△ABM沿直线AB翻折，得到△ABM'，判断该反比例函数图象是从点M'的上方经过，还是从点M'的下方经过，又或是恰好经过点M'，并说明理由；
（3）如图2，在x轴上取一点A1，以AA1为边长作等边△AA1B1，恰好使点B1落在该反比例函数图象上，连接BB1，求△ABB1的面积．
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA．
（1）求证：∠PAC＝∠ABC；
（2）若∠PAC＝30°，AC＝3，求劣弧AC的长．
23．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向，求海轮行驶的路程AB（结保留根号）．
24．如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）
（1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF；
（2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF．
25．先化简，再求值：2(2x2y－xy2)－(4x2y－xy2)，其中x＝－4，
1
2
y=．
【参考答案】***
一、选择题
13．
5
．
14．（﹣3，5）．
15．－4＜x＜2
16．3a(a+3)(a-3)
17
18．(5，0)
三、解答题
19．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先判断出四边形ABHE是平行四边形，即可得出结论；
（2）先构造出△ABG≌△AEG'，进而AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，即可判断出△AGG'是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先构造出△ABG≌△AEG'，进而AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，即可判断出△AGG'是等腰三角形，最后用三角函数即可得出结论．
【详解】
（1）四边形ABHE的形状：菱形，理由：如图1，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∵EF ∥AB ，
∴四边形ABHE 是平行四边形， ∵AE=AB ， ∴▱ABHE 是菱形；
（2）补全图形如图2所示，
AG ， 理由：在EF 上截取EG'=BG ，连接AG'，
∵∠EGB=∠EAB ， ∴∠ABG=∠AEG'， 在△ABG 和△AEG'中，
AB AE ABG AEG BG EG ＝＝＝⎧⎪
∠∠'⎨⎪'⎩
， ∴△ABG ≌△AEG'， ∴AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，
∴∠GAG'=∠BAG+∠BAG'=∠EAG'+∠BAG'=∠BAD=90°， ∴
， ∴
， 即：
AG ； （3）2sin
2
EG BG AG α
=+，
如图3，作△AEB 的外接圆，此圆与EF 的交点为点
G ，在EF 上截取EG'=BG ，连接AG'，
∵∠EGB=∠EAB ， ∴∠ABG=∠AEG'， 在△ABG 和△AEG'中，
AB AE ABG AEG BG EG ＝＝＝⎧⎪
∠∠'⎨⎪'⎩
， ∴△ABG ≌△AEG'， ∴AG=AG'，∠BAG=∠EAG'，
∴∠GAG'=∠BAG+∠BAG'=∠EAG'+∠BAG'=∠BAD=α，
过点A 作AH ⊥GG'， ∴∠HAG=
12∠GAG'=2
α
，GG'=2HG 在Rt △HAG 中，HG=AG×sin 2
α
，
∴EG=EG'+2GH=BG+2AG•sin 2
α
，
即：EG=BG+2AG•sin 2
α
．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰直角三角形的判定，锐角三角函数，构造全等三角形是解本题的关键． 20．（1）25
2
BC =；（2）见解析. 【解析】 【分析】
(1)由AB 是直径得90ADB ∠=︒，在直角三角形ABD 中可求出AD=6，在直角三角形ACD 中可求出
9
2
CD =
,从而可求出BC 的长； （2）延长AE 交BC 于点G ，证明AEF ∆∽ADG ∆得AE AG AD AF ⋅=⋅即可证得结论. 【详解】
（1）∵AB 为⊙O 的直径， ∴90ADB ∠=︒. ∵8BD =，3
tan 4
AD ABD BD ∠==， ∴6AD =. ∵AC 为⊙O 切线， ∴90BAC ∠=︒,
∴90BAD CAD ∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒, ∴CAD ABD ∠=∠, ∴tan tan CAD ABD ∠=∠， ∴
CD AD AD BD =,即6
68
CD =, ∴9
2
CD =
, ∴252
BC BD CD =+=
； （2）延长AE 交BC 于点G ，
∵AB 为⊙O 的直径,90AEB ∠=°,
∴90CAG BAG BAG ABE ∠+∠=∠+∠=︒, ∴CAG ABE ∠=∠.
又∵AG 平分DAC ∠, DE =DE, ∴CAG GAD DBE ∠=∠=∠, ∴ABE DBE ∠=∠，DE EA =. 又∵90BEG BEA ∠=∠=︒，BE BE =, ∴BEG ∆≌BEA ∆. ∴AE EG =.
∵EAF DAG ∠=∠，90AEF ADG ∠=∠=︒, ∴AEF ∆∽ADG ∆.
∴
AE AF
AD AG
=，即AE AG AD AF ⋅=⋅ ∵2AG DE =，AE DE =
∴22DE AD AF =⋅. 【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质.
21．（1）k ；（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过；理由见解析；（3）△ABB 1的面积为
【解析】 【分析】
（1）由△OAB 为等边三角形及OA ＝2，可得出OM ，BM 的长，进而可得出点B 的坐标，由点B 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 的值；
（2）过点M′作M′C⊥x 轴，垂足为点C ，由折叠的性质，可知：AM′＝AM ＝1，∠BAM′＝∠BAM ＝60°，在Rt △ACM′中，通过解直角三角形可求出AC ，CM′的长，进而可得出OC 的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数图象与直线CM′交点的纵坐标，将其与点M′的纵坐标比较后即可得出结论；
（3）过点B 1作B 1D ⊥x 轴，垂足为点D ，设AA 1＝a ，则AD ＝
12a ，B 1D ，OD ＝2＋12a ，进而可得出点B 1的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a 的值，进而可得出MD ，B 1D ，AD 的长，再结合S △ABB1＝S 梯形BMDB1−S △BMA −S △ADB1即可求出△ABB 1的面积． 【详解】
（1）∵△OAB 为等边三角形，OA ＝2，
∴OM ＝
12OA ＝1，BM ＝2
OA
∴点B 的坐标为（1 ∵反比例函数(0)k
y x x
=>图象经过点B ，
∴k
（2）该反比例函数图象是从点M'的下方经过，理由如下： 过点M′作M′C⊥x 轴，垂足为点C ，如图1所示．
由折叠的性质，可知：AM′＝AM ＝1，∠BAM′＝∠BAM ＝60°， ∴∠M′AC＝180°﹣∠BAM ﹣∠BAM′＝60°．
在Rt △ACM′中，AM′＝1，∠ACM′＝90°，∠M′AC＝60°， ∴∠AM′C＝30°，
∴AC ＝
12AM′＝12 ∴OC ＝OA+AC ＝
5
2
，
∴点M′的坐标为（
52，2
）．
当x ＝
52时，y ==，
∴该反比例函数图象是从点M'的下方经过．
（3）过点B 1作B 1D ⊥x 轴，垂足为点D ，如图2所示．
设AA 1＝a ，则AD ＝
12a ，B 1D a ，OD ＝2+12a ，
∴点B 1的坐标为（2+
12a ，2
a ）．
∵点B 1在该反比例函数y =的图象上，
∴（2+
12a
解得：a 1＝﹣﹣2（舍去），a 2＝﹣2，
∴MD ＝AM+AD ，B 1D ＝
2
a ，AD ＝12a 1，
∴S △ABB1＝S 梯形BMDB1−S △BMA −S △ADB1 ＝
12（BM+B 1D ）•MD﹣12BM•AM﹣1
2
B 1D•AD， 111
11)222
=-⨯⨯，
=.
【点睛】
本题考查了等边三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、折叠的性质、解直角三角形以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质，找出点B的坐标；（2）通过解直角三角形，找出M′的坐标；（3）利用等边三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出AA1的长度．22．（1）详见解析；（2）π.
【解析】
【分析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，由此即可求得答案；
(2)连接OC，证明△AOC是等边三角形，继而根据弧长公式进行求解即可.
【详解】
(1)∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴∠BAP＝90°，
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠PAC＝∠B．
(2)连接OC，
∵∠PAC＝30°，
∴∠B＝∠PAC＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝3，
∴AC的长＝603
180
π
＝π.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23．海轮行驶的路程AB为(+海里．
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质分别求出CA 、CP ，根据正切的定义求出CB ，计算即可．
【详解】
在Rt △APC 中，∠APC ＝45°，
∴CA ＝CP ＝2
AP ＝ ， 在Rt △APC 中，tanB ＝
CP CB ，
则CB ＝tan CP B
=
∴AB ＝AC+CB ＝，
答：海轮行驶的路程AB 为(+ 海里．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BD 于点O ，作直线OE 交BC 于F ，连接DF ，线段DF 即为所求．
（2）作直线AC 交BE 的延长线于K ，作直线DK 交BA 于点F ，线段DF 即为所求．
【详解】
（1）如图1中，线段DF 即为所求．
（2）如图2中，线段DF 即为所求．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．【解析】
【分析】
根据乘法分配律去括号，合并同类项，代入求值即可
【详解】
解：原式＝4x2y－2xy2－4x2y＋xy2＝－xy2，
当x＝－4，
1
2
y=时，原式＝－(－4)×
2
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝1．
【点睛】
此题考查整式的加减-化简求值，掌握运算法则是解题关键。