2017-2018学年北京西城育才中学高二上学期期中考试数学(理)试题

2017—2018学年度第一学期 北京育才学校高二数学（理科）
期中考试试卷
一、选择题（每小题5分，8道题，共40分） 1．抛物线2x my =的焦点坐标为（ ）．
A ．1,04m ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．0,4m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
D ．0,4m ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】解：抛物线2x my =焦点在y 轴上，坐标为0,4m ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
故选B ．
2．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为（ ）． A ．250x y --= B ．210x y --=
C ．20x y --=
D ．40x y +-=
【答案】D
【解析】解：圆2222
244a a x ax y ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭
2
22
224a a x y ⎛⎫-+=
- ⎪⎝⎭
， 圆心,02a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径r = 圆心与切点的距离d r =半径， ∴2
22131224a a ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭
，
解出：4a =，
圆心与切点连线的斜率110
132
k -==-， ∴直线l 斜率21
1
1k k =-
=-， 且直线l 过(3,1)点， ∴1(3)y x -=--， 整理得40x y +-=． 故选D ．
3．若双曲线2
2
1y x k
+=的离心率是2，则实数k =（ ）
． A ．3 B ．3- C ．1
3
D ．13
-
【答案】A
【解析】解：双曲线22
1y x k
+=，2
1a =，2b k =，
∴2221c a b k =+=+，2c
e a
=， ∴3k =． 故选A ．
4．“3x >”是“24x >”的（ ）． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：设集合{}|3A x x =>， 集合{}
{2|4|2B x x x x =>=<-或}2x >， ∴A B ⊆，
∴A 是B 的充分不必要条件．
故选B ．
5．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）．
A ．
B ．
C ．20π
D ．200π
【答案】C
【解析】解：设球的半径为r ，
2r
r ， 球的表面积2252
4π4π50π4
S r ⨯==⨯
=． 故选C ．
6．一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（ ）．
A ．24π，12π
B ．15π，12π
C ．24π，36π
D ．以上都不
正确 【答案】A
【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，
表面积2ππS r rl =+ 23ππ35=+⨯⨯
24π=．
体积1
3V Sh =
21
π33
=⨯⨯12π=．
故选A ．
7．下列说法不正确的是（ ）． A ．αβ∥，a a αβ⊂⇒∥
B ．αβ∥，a γ
α=，b a b γβ=⇒∥
C ．夹在平行平面间的平行线段相等
D ．若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行
【答案】D
【解析】解：D 错误，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平形于这个平面，也可能与此平面相交． 故选D ．
8．AB 为过椭圆22
221x y a b
+=中心的弦，(,0)F c 为椭圆的右焦点，则AFB △面积的最大值是
（ ）．
A ．bc
B ．ab
C ．ac
D ．2b
【答案】A
【解析】解：ABF △面积为AOF 与BOF △面积之和， 设A 到x 轴的距离为h ，
∵AB 过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离为h ， 且AOF BOF S S =△△，
∴1
222ABF ADF S S c h ch ==⨯⨯⨯=△，
∵h 最大值为b ， ∴max ABF S bc =△．
故选A ．
二、填空题（每小题5分，6道题，共30分） 9．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是__________． 【答案】x ∃∈R ，20x ≤
【解析】解：全称命题的否定将“∀”改为“∃”．
10．已知点(2,1)A ，抛物线24y x =的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得||||PA PF +最小，则最小值为__________；此时P 点的坐标为__________．
【答案】3；1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】解：由抛物线定义，
到P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离， 设点P 到准线1x =-的距离为PQ ， 则所求的||||PA PF +最小值， 即为||||PA PQ +的最小值，
当P 、A 、Q 三点共线时，||||PA PQ +最小，
∴||||PA PQ +最小值为A 到准线l 的距离此时最小值为3，
P 的纵坐标为1，代入抛物线中，解出P 的横坐标为
14，得1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
11．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为__________．
【解析】解：设双曲线为22
221x y a b
-=，
则渐近线为b
y x a
=±，代入(4,，
∴
b a =， ∵22222219
88c a b a a a =+=+=，
∴c e a ===．
12，且一个内角为60︒的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为__________；体积为__________．
主视图
左视图
俯视图
【答案】4 【解析】解：几何体由两个相同的正四棱锥组成，
，一个内角为60︒的菱形， ∴菱形的边长为1， 且正四棱锥的底面边长为1， 侧面底边长为1，斜高为1，
∴几何体的表面积为1
81142
⨯⨯⨯=，
体积1
23V Sh =⨯
11123=⨯⨯
=．
13．下列说法中正确的是__________．
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件；
③“22=0a b +，则a ，b 全为0” 的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠” ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真； ⑤“p ⌝为假命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件． 【答案】②④⑤
【解析】解：①逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题真假，错误． ②由“a b >”可推出，“a c b c +>+”，“a c b c +>+”也可推出，“a b >”，正确． ③原命题的逆否命题为“若a 、b 不全为0，则220a b +≠”，错误．
④否命题与逆命题真假性相同，正确．
⑤“p ⌝”为假命题，那么p 为真命题，可推出p q ∨，反之不成立，正确．
14．下列命题正确的是__________．
①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线； ②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；
③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行； ④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行． 【答案】①
【解析】解：①正确． ②错，可能两个平面相交．
③错，当一条直线与平面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行． ④错，两直线可能相交．
⑤错，只能作出一个符合要求的平面．
三、解答题（6道题，共80分）
15．（13
分）已知命题:|4|6p x -≤，2:2(1)(1)0(0)q x x a a a -++->≥． （1）分别写出p 真、q 真时不等式的解集．
（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）p 真时，解集为[2,10]-
q 真时，解集为(,1)(1,)a a -∞-++∞
（2）(,3)-∞
【解析】（1）p 真时：|4|6x -≤
646x --≤≤ 210x -≤≤．
q 真时：22(1)(1)0x x a a -++-≥
[(1)][(1)]0x a x a -+--≥
1x a -≤或1x a +≥．
（2）由题知，p ⌝为真时，2x <-或10x >， ∴12110a a --⎧⎨+⎩
≥≤，
解出3a ≤．
16．（13分）正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，若AD BC ⊥． （1）若底面边长为a ，侧棱长为b ，求该正三棱柱的表面积、体积． （2）求证：1A B ∥平面1ADC ．
B 1
A 1
C 1
C
B
A
D
【答案】（1
）23S ab =+
，2V b = （2）略
【解析】（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，
2
ABC S =
△，
正三棱柱面积2
23S ab =+⨯
2
3ab =
+，
体积2
ABC V S h b =⨯△． （2）证明：连接1A C ，交1AC 于O 点，连接OC ， ∵在1ACB △中，O ，D 分别为1A C ，BC 中点， ∴1OD A B ∥， ∴OD ⊂平面1ADC ， 1A B ⊄平面1ADC ，
∴1A B ∥平面1ADC ．
A
B
D C
C 1
A 1
B 1
O
17．（13分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切． （1）求圆C 的标准方程．
（2）求直线:210L x y -+=与圆C 相交的弦长． 【答案】（1）22(2)4x y -+=
（2
【解析】解：（1）设圆222()()24x a y b -+-==， 圆心(,)a b 到直线3440x y ++=
的距离2d ==，
∵圆心在x 轴正半轴上，0b =， 代入解出2a =或14
3
-
（舍）， ∴圆为22(2)4x y -+=． （2）圆心(2,0)到直线L
距离d
弦长L ==
．
18．（13分）四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是平行四边形，E 是PD 中点，过EAB 的平面与PC 交于F ．
（1） 求证：CD ∥平面EAB ． （2）求证：F 是PC 中点．
A
D C F
E P
【答案】见解析
【解析】解：证明：∵在平行四边形ABCD 中，CD AB ∥， ∵AB ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， ∴CD ∥平面PAB ． （2）证明：设平面PDC 平面PAB =直线l ，
则AB l ∥，EF l ∥， ∴AB EF ∥， ∴AB EF ∥，
∵在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴EF CD ∥， 又∵E 是PD 中点，
1
2
PE PF PD PC ==， ∴F 是PC 中点． 19．（14分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，试求拱桥所在抛物线的方程．
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
【答案】（1）2104x y =- （2）可以安全通过
【解析】解（1）在xOy 中，抛物线过(0,0)点，开口向下，过(26,6.5)，设抛物线为22(0)y ax a =<代入点，
解出1
104
a -=
， ∴抛物线为2
1104
y x =-， 即2104x y =-．
（2）当2x =时，126
y =-， ∵16.560.526
-=>
， ∴木排可安全通过此桥．
20．（14分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，
且过点．
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）M 、N 、P 、Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ，2F ，且这条直线互相垂直，求证：
11
||||
MN PQ +为定值． 【答案】（1）22
184
x y +=
（2）见解析
【解析】解：（1）已知c e a =
=， ∴2222
22112
b a
c e a a -==-=， ∴222a b =，
椭圆C 为22
2212x y b b
+=，代入，
解出24b =，28a =，
∴椭圆C 为22
184
x y +=．
（2）∵椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，
设直线:(2)MN y k x =+， ∵直线MN 与PQ 互相垂直， 直线1
:(2)PQ y x k
=--，
设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 2
2
(2)18
4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴2222(21)8880k x k x k +++-=，
∴2122821k x x k -+=+，21228821
k x x k -=+，
∴||MN ，
同理||PQ =，
∴
11
||||
MN PQ +
222==
为定值．。