内蒙古巴彦淖尔市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析

内蒙古巴彦淖尔市2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞- D ．()2,0-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简复数2
(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】
()
22(2)44m i m mi -=--Q 表示的点在第一象限，
2
40
40m m ->⎧∴->⎨⎩
，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．
【点睛】
本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和
()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及
()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．
2．己知1F ，2F 是椭圆22
11612x y +=的左右两个焦点，若P 是椭圆上一点且23=PF ，则在12F PF ∆中
12cos F PF ∠=（ ）
A ．
35
B ．
45
C ．
12
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据椭圆方程求出a 、c ，即可求出1PF 、12F F ，再根据余弦定理计算可得； 【详解】
解：因为22
11612
x y +=，所以4a =，2c =，2124F F c ==
又因为23=PF ，2128PF PF a +==，所以15=PF ，
在12F PF ∆中，由余弦定理12211212222
cos 2F F PF F PF PF PF P F =∠+-⋅⋅，即
2212243c 5o 2s 35F PF =+-∠⨯⨯，1235
cos F PF ∴=
∠， 故选：A 【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质及余弦定理解三角形，属于基础题.
3．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ） A ．0a ≠且0b ≠ B ．a ，b 不全为0 C ．a ，b 中至少有一个为0 D ．a ，b 中只有一个为0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】
根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B. 【点睛】
本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.
4．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35
- B ．
35
C ．
45
D ．45
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由三角函数的定义可求出cos α的值. 【详解】
由三角函数的定义可得()22
3
cos 534α==--+，故选A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 5．定义在上的函数
满足
,
,且
时,
,则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】试题分析：由于
，因此函数为奇函数，
，故函数的周期为4，
，即
，
，
，
故答案为C
考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算
6．设()1
1
2
2
031a 3,1,242
-
==-=⎰b x dx c ln ,则（ ）
A ．a<b 〈c
B ．b<a<c
C ．c 〈a 〈b
D ．c<b 〈a
【答案】D 【解析】
分析：先对a,b,c,进行化简，然后进行比较即可. 详解：31033111,()|,ln 234322
a b x x c =
=-==，又 22111
ln 2ln 1,,234e c a b a b
<=⇒<==
⇒>
故c b a <<， 故选D.
点睛：考查对指数幂的化简运算，定积分计算，比较大小则通常进行估算值的大小，属于中档题. 7．随机变量(100,)X B p ~，且()20E X =，则(21)D X -=（ ） A ．64 B ．128
C ．256
D ．32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得p 的值，进而求得方差DX ，然后利用方差的公式，求得
()21D X -的值.
【详解】
随机变量X 服从二项分布，且()20E X np ==，所以0.2p =，则()1000.20.816D X =⨯⨯=，因此
()21464D X DX -==.故选A.
本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题. 8．设，
，则“
”是“
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
利用特殊值来得出“”与“
”的充分必要性关系。

【详解】 若，则
，但
不成立； 若
，
，成立，但不成立。

因此，“”是“
”的既不充分也不必要条件，故选：D 。

【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。

9．已知函数f(x)在R 上可导，且f(x)＝x 2＋2xf′(2)，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝x 2＋8x B ．f(x)＝x 2－8x C ．f(x)＝x 2＋2x D ．f(x)＝x 2－2x
【答案】B 【解析】 【分析】
求函数()f x 在2x =处的导数即可求解. 【详解】
∵()()2
2'2f x x xf ＝＋，()()’22'2f x x f ∴＝＋．令2x =，得()()’242'2f f ＝＋，
()’24f ∴-＝.故()28f x x x -＝.
【点睛】
本题主要考查导数定义的运用.求解()f x 在2x =处的导数是解题的关键.
10．甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）． A ．24种
B ．48种
C ．72种
D ．120种
【解析】
由题意利用捆绑法求解，甲、乙两人必须相邻的方法数为24
24A A 48⋅=种．选B ．
11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为 A ．6 B ．8 C ．11 D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.
根据平面几何知识，可得当D ，M ，A 三点共线时|MA|+|MD|最小， 因此最小值为x A ﹣（﹣1）=5+1=6，
∵， ∴△MAF 周长的最小值为11， 故答案为：C ．
12．已知数列{}n a 是等比数列，若151,16,a a ==则3a 的值为（ ） A ．4 B ．4或-4 C ．2 D ．2或-2
【答案】A 【解析】 【分析】
设数列{a n }的公比为q ，由等比数列通项公式可得q 4＝16，由a 3＝a 1q 2，计算可得． 【详解】
因422
513116,4,4a a q q a a q =====
故选：A 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[]
40,60
元的学生人数为______．
【答案】330 【解析】 【分析】
由频率分布直方图得每天在校平均开销在[]
40,60元的学生的频率为0.66，由此能求出每天在校平均开销在[]
40,60元的学生人数． 【详解】
解：由频率分布直方图得：
每天在校平均开销在[]
40,60元的学生的频率为：
()10.010.024100.66-+⨯=，
∴每天在校平均开销在[]40,60元的学生人数为：
5000.66330⨯=．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．已知在平面内，点(,)a b 关于x 轴的对称点的坐标为(,)a b -.根据类比推理，在空间中，点(3,4,5)关于x 轴的对称点的坐标为__________．
【答案】()3-4-5，，
【解析】 【分析】
在空间中，点关于x 轴的对称点：x 轴不变，,y z 轴取相反数. 【详解】
在空间中，点关于x 轴的对称点：x 轴不变，,y z 轴取相反数.
点(3,4,5)关于x 轴的对称点的坐标为()3-4-5，， 故答案为：()3-4-5，，
【点睛】
本题考查了空间的对称问题，意在考查学生的空间想象能力. 15．在6
1
()x x
-的展开式中的常数项为_______. 【答案】20- 【解析】 【分析】
写出通项公式，给r 赋值即可得出． 【详解】
61()x x -的通项公式为：T r+1661
()r r r x x
-=-=ð（-1）r 6r ðx 6﹣2r ．
令6﹣2r ＝0 解得r ＝3，
∴（-1）33
6=-ð1，所以常数项为-1．
故答案为：-1． 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．
16．已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】(1,0) 【解析】
分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入2
4y ax =中，
解得：1a =，2
4y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,
12
p
p p ===， ∴焦点坐标为(1,0).
点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知正项数列{a n } 为等比数列，等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，a 1=b 2，a 1=b 1．
（1）求数列{a n }，{b n } 的通项公式；
（2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （n ∈N * ），求T n ；
（1）设,,n n n
a n c
b n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，是否存在正整数m ，使得
c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）．
【答案】（1）12,35n n n a b n -==-；（2）(38)28n
n T n =-⋅+；（1）存在，m=2．
【解析】
分析：（1）先根据已知条件列方程求出b 1=﹣2，d=1,得到等差数列{b n }的通项，再求出1,a q ，即得等比数列{a n }的通项.(2)利用错位相减法求T n .(1)对m 分类讨论，探究是否存在正整数m ，使得c m ·c m +1·c m +2+8=1（c m +c m +1+c m +2）．
详解：（1）等差数列{b n } 的前n 项和为S n （n ∈N * ），且满足：S 11=208，S 9﹣S 7=41，
即1379
79813208,
41S b S S b b ==⎧⎨-=+=⎩解得b 7=16，公差为1，
∴b 1=﹣2，b n =1n ﹣5，
∵a 1=b 2=1，a 1=b 1=4，数列{a n } 为等比数列， ∴a n =2n ﹣1，n ∈N*
（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =﹣2×1+1×2+…+（1n ﹣5）2n ﹣1，① ∴2T n =﹣2×2+1×22+…+（1n ﹣5）2n ，②
①﹣①得﹣T n =﹣2+1（2+22+…+2n ﹣1）﹣（1n ﹣5）2n =（8﹣1n ）2n ﹣8， ∴T n =（1n ﹣8）2n +8，n ∈N *
（1）∵设
1
2,
35,
n
n
n
c
n n
-
⎧
=⎨
-
⎩
为奇数，
为偶数
，
当m=1时，c1•c2•c1+8=1×1×4+8=12，1（c1+c2+c1）=18，不相等，
当m=2时，c2•c1•c4+8=1×4×7+8=16，1（c2+c1+c4）=16，成立，
当m≥1且为奇数时，c m，c m+2为偶数，c m+1为奇数，
∴c m•c m+1•c m+2+8为偶数，1（c m+c m+1+c m+2）为奇数，不成立，
当m≥4且为偶数时，若c m•c m+1•c m+2+8=1（c m+c m+1+c m+2），
则（1m﹣5）•2m•（1m+1）+8=1（1m﹣5+2m+1m+1），
即（9m2﹣12m﹣8）2m=18m﹣20，（*）
∵（9m2﹣12m﹣8）2m≥（9m2﹣12m﹣8）24＞18m﹣20，
∴（*）不成立，综上所述m=2．
点睛：（1）本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，考查数列的综合应用，意在考查对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本运算能力.(2)本题的难点是第1问，关键是对m分m=1,m=2,m≥1且为奇数, m≥4且为偶数四种情况讨论.
18．A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率.
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=
+++.
【答案】（1）见解析；（2）（i）能，（ii）
10
P=.
【解析】 【分析】
（1）根据2×2列联表性质填即可；
（2）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论；
（3）根据排列组合的性质，随机抽取3人，即可求出至多有1位老师的概率． 【详解】 （1）
（2）（i ）因为2K 的观测值()
()()()()
2
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++
()2
1404050302011.66710.82860807070
⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii ）记5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 表示教师，从5人中任意取3人的情况有3
510C =种，其中至多有1位教师的情况有123
2337C C C +=种，
故所求的概率710
P =. 【点睛】
本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题
19．已知曲线22
:194x y C +=，直线32:2x t l y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点作与直线l 夹角为30°的直线，交于l 点A ，求||PA 的最大值与最小值.
【答案】（1）3cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），270x y +-=；（2）最小值为5，最大值为
5. 【解析】 【分析】 （1）令
cos ,sin 32
x y
θθ==，进而可求出曲线的参数方程；消去参数t ，整理即可.
（2）根据题意可知||PA 是点P 到直线l 的距离的两倍，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解.
【详解】
（1）曲线3cos :2sin x C y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线:270l x y +-= . （2）易知||PA 是点P 到直线l 的距离的两倍，所以：22||2|5sin()7|5
12PA θϕ=⋅=+++， 最小值为
45，最大值为245. 【点睛】 本题考查了参数方程与普通方程的相互转化、点到直线的距离公式、辅助角公式以三角函数的最值，属于基础题.
20．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.
【答案】 (1)
710(2)25
【解析】
试题分析：
试题解析：
（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到
的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3； 记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710
P A = （2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.
收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况.
故收视时间相差5分钟以上的概率42105P =
=. 21．已知二次函数()2f x ax bx c =++,且()10f -=,是否存在常数,,a b c ,使得不等式
()()2112
x f x x ≤≤
+对一切实数x 恒成立?并求出,,a b c 的值. 【答案】11,42a c b === 【解析】
【分析】
由()21()12
x f x x ≤≤+，令1x =可得()11f =，结合()10f -=，又利用()x f x ≤恒成立可得()214104
a a --≤⇒=，从而可得结果. 【详解】 存在常数,,a
b
c 使()21()12x f x x ≤≤
+恒成立， 因为()21()12
x f x x ≤≤
+， 所以()211(1)112f ≤≤+， 即()11f =，又
=0， 所以
，代人恒成立，
得恒成立， ()2014101140442a a a a a >⎧⎪⇒--≤⇒=⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
V
得
. 故，.
【点睛】 本题主要考查二次函数的解析式以及一元二次不等式恒成立问题，属于难题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.
22．已知函数3()3f x x x =-
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．
【答案】 (Ⅰ)增区间为（1，+∞），(-,1∞-)，减区间为（-1,1）；(Ⅱ) 最小值为18-，最大值为2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，然后解和的解集；
（Ⅱ）根据上一问的单调区间，确定函数的端点值域极值，其中最大值就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）根据题意，由于32()3'()333(1)(1)f x x x f x x x x =-∴=-=+-
因为'()f x >0,得到x>1,x<-1,故可知()f x 在(,1)-∞-上是增函数，()f x 在(1,)+∞上是增函数，而(1,1),x ∈-则'()0f x <，故()f x 在(1,1)-上是减函数
（Ⅱ）当3x =-时，()f x 在区间[-3,2]取到最小值为18-．
当12?x =-或时，()f x 在区间[-3,2]取到最大值为2.
考点：导数的基本运用。