高中数学等比数列教案苏教版必修5

课题: §2.3等比数列
（第1课时）2.3.1等比数列的概念
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力．
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．
●教学重点 等比数列的定义
●教学难点 灵活应用定义式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列．
课本P45页的3个例子： ①2311110101010222,,(),(),
.⨯⨯⨯ ②2336360936093609,.,.,.,
.⨯⨯⨯ ③2510000 1.05,10000 1.05,,10000 1.05⨯⨯⨯．
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
0n n a q(q )a -=≠． 2．例题分析
例1．判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
（３）1，21-，41，81-，16
1. 例2．求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，a ，８；
（２）4-，b ，c ，2
1． ●课堂练习1 课本P 47 练习1、2、3
例3．（１）在等比数列{}n a 中，是否有2112n n n a a a (n )-+=≥？ （２）如果数列{}n a 中，对于任意的正整数()2n n ≥，都有2112n n n a a a (n )-+=≥，那么{}n a 一定是等比数列吗？
● 课堂练习2 课本P 47 练习4、5
Ⅳ.课时小结 等比数列的概念．
Ⅴ.课后作业
补充练习 已知数列{}n a 满足：35n lg a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列
【板书设计】
【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第2课时）2.3.2等比数列的通项公式
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能： 理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．
●教学重点 等比数列的通项公式
●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈．
Ⅱ.讲授新课
1.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ．
推导过程：
2.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n
2．例题分析
例1．在等比数列{}n a 中，
（1）已知132a ,q ==-，求6a ；
（２）已知3620160a ,a ==，求n a ．
例2．在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． Ⅲ.课堂练习1 课本P 49 练习1、2
●补充练习
1.（1）一个等比数列的第9项是49，公比是13
-，求它的第1项．
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
2．成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上139,,后又成等比数列，求这三个数.
课堂练习2 课本P 49 练习 3
Ⅳ.课时小结 等比数列的通项公式及推导过程．
Ⅴ.课后作业 课本P 49习题 1、2
【板书设计】
【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第3课时）2.3.2等比数列的通项公式
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：等比数列的通项公式及应用；
过程与方法：探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．
●教学重点 等比数列的通项公式及应用
●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：1）等差数列的定义： 12*n n a a d(n ,n N )--=≥∈．
2）等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ．
3）等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n ．
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列的性质 在等比数列{}n a 中，对于*k,l,m,n N ∈，
若m n k l +=+，则m n k l a a a a =．（可让学生推导）
2．例题分析
例1．已知等比数列{}n a 的通项公式为32n n a =⨯，求首项1a 和公比q ．
例2．已知数列{}n a 是等比数列，
（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？
（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
探究：课本48P 页——等比数列通项与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列{}n a 的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，它的图象是分布在曲线1(0)x a y q q q
=>上的一些孤立的点． ①当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；
②当10,01a q <<<，等比数列{}n a 是递增数列；
③当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；
④当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递减数列；
⑤当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数列．
●补充例题
1．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．
（1）求证{1}n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．
2．在等比数列{}n a 中，已知47512a a =-，38124a a +=，且公比为整数，求10a ．
Ⅲ.课堂练习 课本49P 练习4、5
Ⅳ.课时小结 等比数列的通项公式、等比数列的性质． Ⅴ.课后作业 课本49P 习题3、4、6题
【板书设计】
【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第4课时）2.3.2 等比数列的通项公式
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识．
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣．
●教学重点等比中项的理解与应用
●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
1
0n n a q(q )a -=≠． 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n ．
3．{}n a 成等比数列⇔1n n
a q a +=（0n N ,q +∈≠）． 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项： 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G,b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.
即G =a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a,G,b
成等比数列，则2G b G ab G a G
=⇒=⇒= 反之，若2G ab =，则G
b a G =，即a,G,b 成等比数列．∴a,G,b 成等比数列⇔20G ab(a b )=⋅≠．
拓展探究：若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅、n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
也是等比数列．
2．例题分析
例1．（1）求45和80的等比中项；
（2）已知两个数96k ,k +-的等比中项是2k ，求k 的值．
例2．等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 例3．若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则n ∶m 的值为
________．
Ⅲ.课堂练习课本49
P习题8、9
Ⅳ.课时小结等比数列的等比中项与综合应用．
Ⅴ.课后作业课本P60习题2.4A组的3、5题．
Ⅴ.课后作业课本49
P习题3、4、6题．
【板书设计】
【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第1课时）2.3.3等比数列的前n项和
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题．
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神．
●教学重点等比数列的前n项和公式推导
●教学难点灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
●创设情境
●提出问题 “国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
●分析问题 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和．下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式．
1．等比数列的前n 项和公式：
()()111111n n na q S a (q )q q =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩或()()11111n n na q S a a q )q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩
公式的推导
●解决问题 有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题．
由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12
⨯--=6421-．6421-这个数很大，超过了191.8410⨯．国王不能实现他的诺言．
2．例题讲解
例1．在等比数列{}n a 中，
（１）已知14a =-，12q =，求10S ；
（２）已知11a =，243k a =，3q =，求k S ．
例2．在等比数列{}n a 中，2
63,2763==S S ，求n a ． Ⅲ.课堂练习 课本52P 练习1、2、3
●补充例题与习题 课本56P 习题5、6
Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式：当1q =时，1na S n =；
当1≠q 时，q
q
a a S n
n --=11 或q
q a S n n --=1)
1(1．
Ⅴ.课后作业 课本55P 习题 第2题 【板书设计】 【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第2课时）2.3.3等比数列的前n 项和
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式
●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
等比数列的前n
项和公式：当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1 ① 或
q
q a a S n n --=
11 ②
当1q =时，1na S n =．
Ⅱ.讲授新课 1．例题分析
例1．求数列2
11+，4
12+，8
13+，．．．的前n 项和．
补充例题
1．已知数列{}n a 中，1132n n n a ,a a +==+，求a n ．
2．{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列
232k k k k k S ,S S ,S S (k N )+--∈是否仍成等比数列？
Ⅲ.课堂练习 课本52P 练习4
补充例题与习题 已知{}n a 为等比数列，且n S a =，2n S b =，（0ab ≠），求n S 3．
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业 课本56P 习题 8 【板书设计】 【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第3课时）2.3.3等比数列的前n 项和
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单应用问题；提高分析、解决问题能力．
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过应用题的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式及应用．
●教学难点 灵活使用公式解决实际问题． ●教学过程 Ⅰ.复习导入 等比数列的前n
项和公式：当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1 ① 或
q
q a a S n n --=
11 ②
当1q =时，1na S n =．
Ⅱ.讲授新课 1．例题分析
例1．水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
例2．某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款； （２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
Ⅲ.课堂练习 课本53P 练习1、2、3 补充例题与习题 课本56P 习题 3、4 Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业 课本56P 习题 7 【板书设计】 【教学反思】
课题: §2.3等比数列
（第4课时）2.3.3等比数列的前n 项和
授课类型：习题课
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式及前n 项和公式解决有关等比数列的q n a a S n n ,,,,1中知道三个数求另外两个数的一些简单应用问题；提高分析、解决问题能力．
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、
分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过应用题的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式及应用．
●教学难点 灵活使用公式解决实际问题． ●教学过程 Ⅰ.复习导入 等比数列的前n
项和公式：当1≠q 时，q
q a S n n --=1)
1(1 ① 或
q
q a a S n n --=
11 ②
当1q =时，1na S n =．
Ⅱ.讲授新课 1．例题分析
例1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n ．
例2．一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数．
例3．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，求18a 的值及这个数列的前n 项和n S .
例4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
例5．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和S n 满足关系式
13233n n tS (t )S t --+=（t 为常数，且0t >，234n ,,,
=）．
（1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）设{}n a 的公比为f (t )，作数列{}n b ，使得
()1111234n n b ,b f n ,,,
b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，求{}n b 的通项公式．
（3）求和：122334212221n n n n b b b b b b b b b b -+-+-+-． Ⅲ.课堂练习 课本53P 练习1、2、3 补充例题与习题 课本56P 习题 3、4 Ⅳ.课后作业 课本56P 习题 7 【板书设计】 【教学反思】
课题：数列专题复习 （第1课时）通项公式
●教学目标
1．知识与技能目标 数列通项公式的求法． 2．过程与能力目标
（1）熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系.
（2）掌握数列通项公式的求法．
●教学重点 掌握数列通项公式的求法． ●教学难点 根据数列的递推关系求通项． ●教学过程 一．基本概念
数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以
用一个公式来表示，这个
公式就叫做这个数列的通项公式．
二．数列的通项公式的求法
题型一 已知数列的前几项，求数列的通项公式．
例1． 根据数列的前几项，写出下列个数列的一个通项公式： 1．;,7
2,114,21,54 --
2．0.9,0.99,0.999,0.9999,…； 3．1,0,1,0,1,0,…．
题型二 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2． 写出下面各数列一个通项公式． （1）111112
n
n a a ,a (n )+==+≥。

（2）11=a ，)2(221
1
≥+=
--n a a a n n n 。

（3）11=a ，)2(21≥+=-n n a a n n 。

（4）11=a ，)1(1
1≥+=+n a n n
a n n 。

随堂练习：
1．111,23(1)n n a a a n +==+≥； 2．11=a ，)1(331≥+=
+n a a a n
n
n ； 3．*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ 4．11=a ，)1(21≥⋅=+n a a n n n 三．课堂小结：
1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法． 2．已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法．
四．课外作业：
课题：数列专题复习 （第2课时）数列求和
●教学目标
1．知识与技能目标 数列求和方法．
2．过程与能力目标 数列求和方法及其获取思路． ●教学重点 数列求和方法及其获取思路． ●教学难点 数列求和方法及其获取思路． ●教学过程
1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：
（1）121112n n
n n n
n n S a a a S n(a a )S a a a -=+++⎧⇒=+⎨=+++⎩
例1．求和：2222
2
2222222123101102938101
++++++++ 分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相
加法．
小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前n 项和.
2．错位相减法：等比数列前n 项和公式的推导方法：
（2）123112311)n n
n n n
n n S a a a a (q S a a qS a a a a ++=++++⎧⇒-=-⎨=++++⎩
例2．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n
3．分组法求和
例3．求数列11111234
2
4
8
16
,,,的前n 项和；
例4．设正项等比数列{}n a 的首项2
11=a ，前n 项和为n S ，且
0)12(21020103010=++-S S S
（1）求{}n a 的通项； （2）求{}n nS 的前n 项和n T 。

例5．求数列221 1 1 11n ,a,a a ,,a a a ,
-++++++
+的前n 项和
S n .
4．裂项法求和 例6．求和：111
11212312n +
++
+
+++++
+。

例7．
,⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前
n 项和.
三．课堂小结：
常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列求和公式; (2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组合数列求和； (5) 并项求和法: 将相邻n 项合并为一项求和； (6) 分部求和法：将一个数列分成n 部分求和；
(7) 裂项相消法：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.
四、课外作业：
1．求数列111246
4
8
16
+++前项和。

2．在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求
数列{b n }的前n 项的和.
3．在各项均为正数的等比数列中，若
103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.。