【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第十四章 14.1 整式的乘法例题与讲解 新人

14.1 整式的乘法
1．同底数幂的乘法
(1)法则：同底数幂相乘，底数不变
．．，指数相加．
．．．
(2)符号表示：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有同样的性质，即a m·a n·…·a r ＝a m＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整数)．
②法则可逆用，即a m＋n＝a m·a n(m，n都是正整数)．
谈重点同底数幂的特征“同底数幂”是指底数相同的幂，等号左边符合几个同底数幂相乘，等号右边，即结果为一个幂．注意不要忽视指数为1的因式．
【例1】计算：
(1)103×106；
(2)(－2)5×(－2)2；
(3)a n＋2·a n＋1·a；
(4)(x＋y)2(x＋y)3.
分析：(1)中的两个幂的底数是10；(2)中的两个底数都是－2；(3)中的三个幂的底数都是a；这三道题可以直接用同底数幂的运算性质计算．(4)要把x＋y看作一个整体，再运用同底数幂的乘法法则．
解：(1)103×106＝103＋6＝109；
(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；
(3)a n＋2·a n＋1·a
＝a n＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；
(4)(x＋y)2(x＋y)3
＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.
2．幂的乘方
(1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(2)符号表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．
(3)拓展：①法则可推广为[(a m)n]p＝a mnp(m，n，p都是正整数)
②法则可逆用：
a mn＝(a m)n＝(a n)m(m，n都是正整数)
警误区幂的乘方的理解 不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．
【例2】 计算： (1)(102)3
；(2)(a m )3
； (3)[(－x )3]2
；(4)[(y －x )4]2
.
分析：解决本题的关键是要分清底数、指数是什么，然后再运用法则进行计算，如(2)中的底数是a ，(3)中的底数是－x ，(4)中的底数是y －x .
解：(1)(102)3
＝102×3
＝106
；
(2)(a m )3＝a 3m
； (3)[(－x )3]2
＝(－x )
3×2
＝x 6
； (4)[(y －x )4]2＝(y －x )4×2
＝(y －x )8
.
(1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． (2)符号表示：(ab )n ＝a n b n
(n 为正整数)．
(3)拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：(abc )n ＝a n b n
.a ，b ，c 可以是任意数，也可以是幂的形式．
②法则可逆用：a n b n ＝(ab )n
.(n 为正整数)．
警误区积的乘方的易错点 运用积的乘方法则易出现的错误有：(1)漏乘因式；(2)当每个因式再乘方时，应该用幂的乘方的运算性质，指数相乘，而结果算式为指数相加；(3)系数计算错误．
【例3】 计算： (1)(－xy )3
；(2)(x 2
y )2
； (3)(2×102)2
；(4)(－23
ab 2)2.
解：(1)(－xy )3
＝(－1)3x 3y 3
＝－x 3y 3
； (2)(x 2
y )2
＝(x 2)2
·y 2
＝x 4y 2
； (3)(2×102)2
＝22
×(102)2
＝4×104
； (4)(－23ab 2)2＝(－23)2a 2(b 2)2＝49a 2b 4
.
4．单项式乘以单项式
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式
里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
谈重点单项式乘以单项式要注意的三点运用单项式与单项式相乘时要注意：(1)在计算时，应先确定积的符号；(2)注意按运算顺序进行；(3)不要丢掉只有一个单项式里含有的字母．
【例4】下列计算正确的是( )．
A．3x3·2x2y＝6x5B．2a2·3a3＝6a5
C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y D．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y
解析：A结果漏掉了字母“y”，C结果应为－40x5y，D结果应为6x3y2.
答案：B
5．单项式与多项式相乘
法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
单项式与多项式乘法法则的理解单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用，将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘．所以熟练掌握同底数幂乘法和单项式乘以单项式，是学好单项式乘以单项式的基础和关键．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以此来检验运算中是否漏乘．
【例5】计算：
(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．
解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)
＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2
＝－6a3b2＋3a2b2－6ab；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.
6．多项式与多项式相乘
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.
警误区多项式乘以多项式的注意点
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多
项式的项数之积；(3)相乘后，若有同类项应该合并．
【例6】计算：
(1)(5a－2b)(2a＋b)；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)．
解：(1)(5a－2b)(2a＋b)
＝5a·2a＋5a·b－2b·2a－2b·b
＝10a2＋5ab－4ab－2b2
＝10a2＋ab－2b2；
(2)(a2－a＋1)(a＋1)
＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1
＝a3＋a2－a2－a＋a＋1
＝a3＋1.
(1)法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
(2)符号表示
a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)．
(3)注意
①应用法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后按同底数幂相除的法则计算；
②运算时要注意运算顺序，同时还要注意指数为“1”的情况，如：m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m ＝m5－0.
(4)0次幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．
谈重点同底数幂的除法法则的理解运用同底数幂相除应注意：(1)适用X围：两个幂的底数相同，且是相除的关系，被除式的指数大于或等于除式的指数，且底数不能为0；(2)底数可以是数，也可以是单项式或多项式；(3)该法则对于三个或三个以上的同底数幂相除仍然成立．
【例7】计算：(1)a4÷a2；(2)(－x)5÷x3；
(3)x n＋3÷x n；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．
解：(1)a4÷a2＝a4－2＝a2；
(2)(－x)5÷x3＝－x5÷x3＝－x5－3＝－x2；
(3)x
n ＋3
÷x n ＝x
n ＋3－n
＝x 3
；
(4)(x ＋1)4
÷(x ＋1)＝(x ＋1)4－1
＝(x ＋1)3
.
8．单项式除以单项式 (1)法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
(2)步骤
①系数相除；②同底数幂相除；③对于只在被除式里含有的字母的处理(连同指数作为商的一个因式)．
单项式除以单项式的结果仍为单项式． 【例8】 计算：(1)(－a 2bc 2
)÷(－25ac 2)；
(2)(6×108
)÷(3×105
)； (3)(6x 2y 3)2
÷(－3xy 2)2
. 解：(1)(－a 2bc 2
)÷(－25ac 2)
＝[(－12)×(－52)]a 2－1bc 2－2
＝54ab ；
(2)(6×108
)÷(3×105
) ＝(6÷3)×10
8－5＝2×103
；
(3)(6x 2y 3)2
÷(－3xy 2)2
＝36x 4y 6
÷9x 2y 4
＝(36÷9)x 4－2y 6－4
＝4x 2y 2.
9．多项式除以单项式 (1)法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． (2)注意
①多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决；②运算时不能漏项；③运算时注意符号的变化．
警误区多项式除以单项式的注意点 (1)要注意商的符号，应弄清多项式中每一项的符号，相除时要带着符号与单项式相除；(2)多项式除以单项式的结果是一个多项式，多项式除以单项式是单项式乘以多项式的逆运算，可以用其进行检验．
【例9】 计算：(1)(6c 2
d －c 3d 3
)÷(－2c 2
d )；
(2)(24m 3n －16m 2n 2＋mn 3
)÷(－8m )． 解：(1)(6c 2
d －c 3d 3
)÷(－2c 2
d ) ＝(6c 2
d )÷(－2c 2
d )－(c 3d 3
)÷(－2c 2
d ) ＝－3＋12
cd 2
；
(2)(24m 3
n －16m 2n 2
＋mn 3
)÷(－8m )
＝(24m 3
n )÷(－8m )－(16m 2n 2
)÷(－8m )＋(mn 3
)÷(－8m ) ＝－3m 2n ＋2mn 2
－18
n 3.
10．整式乘法中的化简求值
整式乘法运算中的化简求值题的主要步骤有：(1)按照题目规定的运算顺序，对原式进行化简；(2)将对应的字母数值代入化简后的结果进行计算；(3)注意代入时，不要代错，在求值时，式子的运算符号和顺序都不变．
11．幂的运算法则的逆向运用
幂的运算法则是以等式形式出现的，受思维定势的影响，习惯于从左边到右边运用它，而忽视从右边到左边的应用，即逆向运用运算法则．其实，有些问题如果逆向运用幂的运算性质，解题会更加简捷．(1)a
m ＋n
＝a m ·a n (m ，n 都是正整数)．(2)a mn ＝(a m )n
(m ，n 都是正整
数)．(3)a n b n
＝(ab )n
(n 为正整数)．
12．整式的混合运算
在学习了整式的加减、乘除，乘法公式以后，就可以进行整式的混合运算了．整式的混合运算用到的知识点比较多，除了整式加减、乘除，乘法公式，还要用到去括号、乘法分配律等．
谈重点整式的混合运算的认识
进行整式的混合运算首先要注意弄清运算顺序，先算什么再算什么，然后注意每一步运算所用到的法则、公式等要准确无误．
【例10】 当y ＝－16时，求代数式y (y 2－6y ＋9)－y (y 2
－8y －15)＋2y (3－y )的值．
解：y (y 2
－6y ＋9)－y (y 2
－8y －15)＋2y (3－y ) ＝y 3
－6y 2
＋9y －y 3
＋8y 2
＋15y ＋6y －2y 2
＝30y ，
当y ＝－1
6
时，
原式＝30y ＝30×(－1
6
)＝－5.
【例11－1】 计算：(－310)2 014·(313)2 014
.
解：(－310)2 014·(313)2 014
＝(－310×103)2 014
＝(－1)
2 014
＝1.
【例11－2】 已知：3m
＝6,9n
＝2，求32m ＋4n
的值．
解：3
2m ＋4n
＝32m ·34n ＝(3m )2·(32n )2
＝(3m )2
·(9n )2
＝62
×22
＝36×4＝144.
【例12】 先化简，再求值：
[(x ＋y )(x －y )－(x －y )2
＋2y (x －y )]÷(－2y )，其中，x ＝－12
，y ＝2.
解：原式＝[x 2
－y 2
－(x 2
－2xy ＋y 2
)＋2xy －2y 2
]÷(－2y )＝(x 2
－y 2
－x 2
＋2xy －y 2
＋2xy －2y 2
)÷(－2y )
＝(－4y 2
＋4xy )÷(－2y )＝2y －2x ， 当x ＝－1
2
，y ＝2时，
原式＝2y －2x ＝2×2－2×(－1
2
)＝4－(－1)＝5.
13．整式乘法中的开放型问题
结论开放与探索：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，甚至探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力．
14．与整式除法有关的求值问题
这类与整式的除法有关的求值问题，采用传统的方法很难求解，此时需根据题目的特点灵活变形采用整体代入法求解．首先应认真观察题目的特点，或者先将求值的式子化简再求值，或者同时将已知式和求值式化简．
【例13】 若a ，b ，k 均为整数且满足等式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2
＋kx ＋36，写出两个符合条件的k 的值．
解：因为(x ＋a )(x ＋b )＝x 2
＋kx ＋36，所以x 2
＋(a ＋b )x ＋ab ＝x 2
＋kx ＋36，根据等式
的对应项的系数相等可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝a ＋b ，ab ＝36.
又因为a ，b ，k 均为整数，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，
所以a ，b 对应的值共有10对，从而求出a ＋b 的值，即k 的值有10个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写出其中的两个即可．
【例14】 已知x 2－5x ＋1＝0，求x 2
＋1x
2的值．
解：将x ＝0代入x 2－5x ＋1得该式子的值不等于0，故x 2－5x ＋1＝0中的x ≠0，则x 2
－5x ＋1＝0两边都除以x 得，x ＋1
x
－5＝0，
即x ＋1x ＝5，又x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，将x ＋1x ＝5代入可得x 2＋1x
2＝52
－2＝23.。