CAE动力分析基础
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，即数学模型。
采用合理的方法求解，并通过实验来验证所得解的正确性。
分析模型类型
连续系统模型
无限自由度
单自由度 (SDOF)
离散系统模型
三自由度 (MDOF) 多自由度 (3DOF)
m
u(t )
c
k
a u(t )
速度 v u (t ) ，加速度 ma(t ) 惯性力： 粘性阻尼力： 弹性力： 外载： 圆频率： n
② 临界阻尼
c =1，即c ccr 2mn ccr
此时运动方程的解为
、c
均为系统实际阻尼的反映，
ccr 为指标性参量，是决定振动能
否发生临界阻尼值。
u(t ) ( A Bt )e
-nt
结论：临界阻尼情况下，为非周期单调衰减运动，系统的运动
也是衰减的非往复运动。
（2）有阻尼自由振动分析
（1）无阻尼自由振动分析
对于需要用角位移作为独立坐标来描述振动状态的角振动问题，可用同样的
方法，并得到相似的结论。
a. 扭转振动
k n I
b. 作微幅摆动的摆
轴的扭转刚度 盘的转动惯量
k
I
a
Ga n Io
Tn 2
系统对悬挂点O 的转动惯量
静平衡位置
A
G
b. 作微幅摆动的摆
u(t ) U sin(nt )
2
其中 振幅
结论：
U = u (0) (
1
u (0)
n
)2 )
无阻尼单自由度的自由振动为简谐振动；
其振动圆频率与系统固有的 与初始条件无关；
初相位 arctan (
nu (0)
u (0)
k , m 有关，
其振幅和初相位由初始条件决定。
单自由度阻尼自由振动
微分方程（运动方程）
（2）有阻尼自由振动分析
• 解方程
该微分方程的解的形式为
u(t ) BeSt
， B, S为待定常数。将此解代入方程得微分方程
的特征方程式
S 2 2n S n 2 0
S1,2 n n 2 1
此特征方程的根是
（2）有阻尼自由振动分析
( 1)
时间t
这是一种衰减运动，一段时间后振动就停止了，因此齐次解也称为系统的瞬态解。
② 稳态解
up
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
c arctan k 2m
此特解是与激励力同频率的简谐振动； 与初始条件无关的非衰减振动，因此又称稳态解。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
考虑无阻尼的简谐振动，即
0 ，有
时间t
p/k up sin （t -） 2 1
当
1 ，即外载荷频率 n 时，u p 趋向于无穷大。 n
从物理意义上看，这种状态称为共振，如图所示，共振响应能破坏结构。 动力分析的典型责任就是确保共振条件受到控制或不会出现。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
综上，得到弱阻尼下简谐振动的通解
u u0 u p Ae
n t
sin(d t )
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
自由振动部分，瞬态响应解， A，取决于初始条件
强迫振动部分，稳态响应解， 幅值和相位取决于系统动力 特性与激励力
ma(t ) cv(t ) ku (t) p(t) mu (t ) cu (t ) ku (t ) p(t )
动力分析 的目标
p(t ) 0 ,自由振动 p(t ) 0 ,强迫振动
求解运动方程 得到
u(t ), v(t ), a(t ), (t ), (t ) 等
输入
Excitation/ Dynamic Load
系统
输出
Response
1 动力问题的基本特性
• 包含时间变量
边界条件 初始条件
输入（激励、外载荷）随时间变化 输出（响应）也随时间变化
大小、方向、作用点 位移、速度、加速度、 反力、应力、应变等
• 惯性力的存在
（Inertial force）
结构的质量大 小与分布情况
上式的解由微分方程理论知，
u(t ) u0 u p
其中，
u0 up
齐次解 u(t ) 2 u(t ) n u(t ) 0
2
非齐次解
① 齐次解
由前面有阻尼自由振动分析可知，方程
u(t ) 2 u(t ) n2u(t ) 0 的解为
u0 Aent sin(d t )
LT-1
T-1 T-1 MLT-2 ML-1
m/s
rad Rad/s Hz deg N N*s/m L：长度，M：质量，T：时间，-：无量纲
总结回顾：
1. 动力问题的基本特性
p(t ), ma
2. 基本研究方法与分析模型
3. 运动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) p sin t
N
有限元模型 做自由振动 分析？ Y 自由振动分析 结果满意？ Y N N
选择合适的分析方法，计算结构
的响应
做强迫响应 分析？
Y 强迫响应分析 结果满意？ Y 结束 N
评价结果
7 动力分析中的单位
物理量 长度 质量 时间 量纲 L M T 国际单位 m kg s
速度
角度 圆频率 频率 相位角 力 粘性阻尼系数
③ 欠阻尼
1,即c
ccr
A= u (0) (
2 1
u (0) nu (0)
此时运动方程的解为
d
)2
u(t ) ( A1 cos d t A2 sin d t)ent
式中
d u (0) arctan ( ) u (0) nu (0)
d n 1 2
n
a. 扭转振动
（2）有阻尼自由振动分析
• 运动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) 0
或 设
c k u (t ) u (t ) u (t ) 0 m m
k 1 c c n , m 2 mk ccr
2
2
:
阻尼比或阻尼因子
则可以得到
u(t ) 2nu(t ) n u(t ) 0
u(t ) u0 u p
4. 运动方程求解 P 0orP 0, c 0orc 0
5. 动力分析类型 实特征值分析、频响分析、瞬态响应分析
6. 动力分析过程
7. 动力分析中的单位
算例
F（t）
左图表示计算飞行器内部受到激励力作用的响应时所用
模型之一。若激励力 F 24sin15t N，初始条件为
A1 u (0), A2
u (0) nu (0)
d
或
u(t ) Ae
nt
sin(d t )
（2）有阻尼自由振动分析
③ 欠阻尼
1,即c
ccr
A
u(t ) Aent sin(d t )
结论：
欠阻尼情况下振幅以指数规律衰减
T1
衰减受阻尼影响，阻尼越大振幅衰减
sin （t -）
n
n =
k m
,
1 c c 2 mk 2mn
,
d n 1
2
,
meq keq ceq
5 动力分析类型
计算结构的基本动力特性，分析的 结果为结构的固有频率和振型
• 实特征值分析：无阻尼自由振动分析
• 线性频率响应分析：线弹性结构的稳态响应分析，外载为频率的函
数
• 线性瞬态响应分析：线弹性结构的瞬态响应，外载为时间的函数。
动力环境
6 动力分析过程
执行动力分析的基本步骤总结如下： 定义动力环境（外载） 建立合适的有限元模型
x(0) 0, x(0) 100mm / s ，设备质量 m 20kg ，
k 8000 N / m, c 130 N s / m 。
求该设备的响应历程。
x
m
k c
u u0 u p Ae
n t
sin(d t )
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
外载荷 P(t ) p sin t 作用下，系统的运动方程为
mu(t ) cu(t ) ku(t ) p sin t
或
为外载荷频率，与
n无关
p 2 u (t ) 2 u (t ) n u (t ) sin t m
频率比
n
4 运动方程求解
（1）无阻尼自由振动分析
无阻尼自由振动分析中，单自由度系统运动方程简化为
n =
或
k m
mu(t ) ku(t ) 0
则
2 u(t ) n u(t ) 0
k u (t ) u (t ) 0 m
该二阶常系数线性齐次方程有通解
u(t ) A cos nt B sin nt
载荷类型
Periodic
冲击载荷（Impulsive Load）
简谐振动（Simple Harmonic）
任意周期（Arbitrary periodic）
随机载荷（Random Load）
2 基本研究方法与分析模型
结构动力学的基本研究方法是：
确定外激励的性质、大小与变化规律，确定初始条件。
将实际结构简化成分析模型，建立起响应的运动方程（振动微分方程）
幅值A
up
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
实际工程问题
把复杂系统简化成简单的当量系统，应用已有的理论来求解。
当量单自由度系统的运动方程为 mequ(t ) cequห้องสมุดไป่ตู้t ) kequ(t ) peq (t )
偏心质量引起的强 迫振动问题，如飞 行器结构的旋转部 件（涡轮喷气发动 机等）
A u (0), B u (0)
其中 A, B 为积分常数，由系统初始条件决定。
由于 u(0), u (0) 已知，可得到
代入通解中，得
n
（1）无阻尼自由振动分析
u (t ) u (0) cos nt u (0)
n =
n
sin nt
k m
• 因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动， 故有
（弧度）
cv(t ) ku (t ) P(t )
1 2 周期： Tn f n n
k m
n 固有频率：f n 2 （Hz）
3 运动方程
• 质量、能量消耗（阻尼）、阻力（弹簧）及外载是动力系统 的4个基本成分。
• 定义动力系统在每一时刻平衡条件的运动方程为：
m
u(t )
c
k
c0 c0 c0 c0
越快，振动耗散得也越快 有阻尼固有频率 d 和无阻尼固有频率 n 几乎相等，因此，用求解无阻尼固有频率的
方式来决定系统的动力特性，阻尼可在分析的其他阶段（如频率响应分析、瞬态响应
等）考虑进去。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
• 动力载荷的类型决定数学求解方法，从数值分析的角度来看，最简单的载荷形 式是简谐（如正弦）载荷。
第四讲 结构动力分析基础
-------《CAE技术基础》
结构动力学问题
• （1）响应分析（Response Analysis） • （2）系统辨识（System Identification） • （3）载荷辨识（Load Identification） • （4）振动控制（Vibration Control）
采用合理的方法求解，并通过实验来验证所得解的正确性。
分析模型类型
连续系统模型
无限自由度
单自由度 (SDOF)
离散系统模型
三自由度 (MDOF) 多自由度 (3DOF)
m
u(t )
c
k
a u(t )
速度 v u (t ) ，加速度 ma(t ) 惯性力： 粘性阻尼力： 弹性力： 外载： 圆频率： n
② 临界阻尼
c =1，即c ccr 2mn ccr
此时运动方程的解为
、c
均为系统实际阻尼的反映，
ccr 为指标性参量，是决定振动能
否发生临界阻尼值。
u(t ) ( A Bt )e
-nt
结论：临界阻尼情况下，为非周期单调衰减运动，系统的运动
也是衰减的非往复运动。
（2）有阻尼自由振动分析
（1）无阻尼自由振动分析
对于需要用角位移作为独立坐标来描述振动状态的角振动问题，可用同样的
方法，并得到相似的结论。
a. 扭转振动
k n I
b. 作微幅摆动的摆
轴的扭转刚度 盘的转动惯量
k
I
a
Ga n Io
Tn 2
系统对悬挂点O 的转动惯量
静平衡位置
A
G
b. 作微幅摆动的摆
u(t ) U sin(nt )
2
其中 振幅
结论：
U = u (0) (
1
u (0)
n
)2 )
无阻尼单自由度的自由振动为简谐振动；
其振动圆频率与系统固有的 与初始条件无关；
初相位 arctan (
nu (0)
u (0)
k , m 有关，
其振幅和初相位由初始条件决定。
单自由度阻尼自由振动
微分方程（运动方程）
（2）有阻尼自由振动分析
• 解方程
该微分方程的解的形式为
u(t ) BeSt
， B, S为待定常数。将此解代入方程得微分方程
的特征方程式
S 2 2n S n 2 0
S1,2 n n 2 1
此特征方程的根是
（2）有阻尼自由振动分析
( 1)
时间t
这是一种衰减运动，一段时间后振动就停止了，因此齐次解也称为系统的瞬态解。
② 稳态解
up
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
c arctan k 2m
此特解是与激励力同频率的简谐振动； 与初始条件无关的非衰减振动，因此又称稳态解。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
考虑无阻尼的简谐振动，即
0 ，有
时间t
p/k up sin （t -） 2 1
当
1 ，即外载荷频率 n 时，u p 趋向于无穷大。 n
从物理意义上看，这种状态称为共振，如图所示，共振响应能破坏结构。 动力分析的典型责任就是确保共振条件受到控制或不会出现。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
综上，得到弱阻尼下简谐振动的通解
u u0 u p Ae
n t
sin(d t )
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
自由振动部分，瞬态响应解， A，取决于初始条件
强迫振动部分，稳态响应解， 幅值和相位取决于系统动力 特性与激励力
ma(t ) cv(t ) ku (t) p(t) mu (t ) cu (t ) ku (t ) p(t )
动力分析 的目标
p(t ) 0 ,自由振动 p(t ) 0 ,强迫振动
求解运动方程 得到
u(t ), v(t ), a(t ), (t ), (t ) 等
输入
Excitation/ Dynamic Load
系统
输出
Response
1 动力问题的基本特性
• 包含时间变量
边界条件 初始条件
输入（激励、外载荷）随时间变化 输出（响应）也随时间变化
大小、方向、作用点 位移、速度、加速度、 反力、应力、应变等
• 惯性力的存在
（Inertial force）
结构的质量大 小与分布情况
上式的解由微分方程理论知，
u(t ) u0 u p
其中，
u0 up
齐次解 u(t ) 2 u(t ) n u(t ) 0
2
非齐次解
① 齐次解
由前面有阻尼自由振动分析可知，方程
u(t ) 2 u(t ) n2u(t ) 0 的解为
u0 Aent sin(d t )
LT-1
T-1 T-1 MLT-2 ML-1
m/s
rad Rad/s Hz deg N N*s/m L：长度，M：质量，T：时间，-：无量纲
总结回顾：
1. 动力问题的基本特性
p(t ), ma
2. 基本研究方法与分析模型
3. 运动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) p sin t
N
有限元模型 做自由振动 分析？ Y 自由振动分析 结果满意？ Y N N
选择合适的分析方法，计算结构
的响应
做强迫响应 分析？
Y 强迫响应分析 结果满意？ Y 结束 N
评价结果
7 动力分析中的单位
物理量 长度 质量 时间 量纲 L M T 国际单位 m kg s
速度
角度 圆频率 频率 相位角 力 粘性阻尼系数
③ 欠阻尼
1,即c
ccr
A= u (0) (
2 1
u (0) nu (0)
此时运动方程的解为
d
)2
u(t ) ( A1 cos d t A2 sin d t)ent
式中
d u (0) arctan ( ) u (0) nu (0)
d n 1 2
n
a. 扭转振动
（2）有阻尼自由振动分析
• 运动方程
mu(t ) cu(t ) ku(t ) 0
或 设
c k u (t ) u (t ) u (t ) 0 m m
k 1 c c n , m 2 mk ccr
2
2
:
阻尼比或阻尼因子
则可以得到
u(t ) 2nu(t ) n u(t ) 0
u(t ) u0 u p
4. 运动方程求解 P 0orP 0, c 0orc 0
5. 动力分析类型 实特征值分析、频响分析、瞬态响应分析
6. 动力分析过程
7. 动力分析中的单位
算例
F（t）
左图表示计算飞行器内部受到激励力作用的响应时所用
模型之一。若激励力 F 24sin15t N，初始条件为
A1 u (0), A2
u (0) nu (0)
d
或
u(t ) Ae
nt
sin(d t )
（2）有阻尼自由振动分析
③ 欠阻尼
1,即c
ccr
A
u(t ) Aent sin(d t )
结论：
欠阻尼情况下振幅以指数规律衰减
T1
衰减受阻尼影响，阻尼越大振幅衰减
sin （t -）
n
n =
k m
,
1 c c 2 mk 2mn
,
d n 1
2
,
meq keq ceq
5 动力分析类型
计算结构的基本动力特性，分析的 结果为结构的固有频率和振型
• 实特征值分析：无阻尼自由振动分析
• 线性频率响应分析：线弹性结构的稳态响应分析，外载为频率的函
数
• 线性瞬态响应分析：线弹性结构的瞬态响应，外载为时间的函数。
动力环境
6 动力分析过程
执行动力分析的基本步骤总结如下： 定义动力环境（外载） 建立合适的有限元模型
x(0) 0, x(0) 100mm / s ，设备质量 m 20kg ，
k 8000 N / m, c 130 N s / m 。
求该设备的响应历程。
x
m
k c
u u0 u p Ae
n t
sin(d t )
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
外载荷 P(t ) p sin t 作用下，系统的运动方程为
mu(t ) cu(t ) ku(t ) p sin t
或
为外载荷频率，与
n无关
p 2 u (t ) 2 u (t ) n u (t ) sin t m
频率比
n
4 运动方程求解
（1）无阻尼自由振动分析
无阻尼自由振动分析中，单自由度系统运动方程简化为
n =
或
k m
mu(t ) ku(t ) 0
则
2 u(t ) n u(t ) 0
k u (t ) u (t ) 0 m
该二阶常系数线性齐次方程有通解
u(t ) A cos nt B sin nt
载荷类型
Periodic
冲击载荷（Impulsive Load）
简谐振动（Simple Harmonic）
任意周期（Arbitrary periodic）
随机载荷（Random Load）
2 基本研究方法与分析模型
结构动力学的基本研究方法是：
确定外激励的性质、大小与变化规律，确定初始条件。
将实际结构简化成分析模型，建立起响应的运动方程（振动微分方程）
幅值A
up
p/k
2 2 (1- 2） +（2）
sin （t -）
实际工程问题
把复杂系统简化成简单的当量系统，应用已有的理论来求解。
当量单自由度系统的运动方程为 mequ(t ) cequห้องสมุดไป่ตู้t ) kequ(t ) peq (t )
偏心质量引起的强 迫振动问题，如飞 行器结构的旋转部 件（涡轮喷气发动 机等）
A u (0), B u (0)
其中 A, B 为积分常数，由系统初始条件决定。
由于 u(0), u (0) 已知，可得到
代入通解中，得
n
（1）无阻尼自由振动分析
u (t ) u (0) cos nt u (0)
n =
n
sin nt
k m
• 因为同频率简谐振动之和仍为同频率的简谐振动， 故有
（弧度）
cv(t ) ku (t ) P(t )
1 2 周期： Tn f n n
k m
n 固有频率：f n 2 （Hz）
3 运动方程
• 质量、能量消耗（阻尼）、阻力（弹簧）及外载是动力系统 的4个基本成分。
• 定义动力系统在每一时刻平衡条件的运动方程为：
m
u(t )
c
k
c0 c0 c0 c0
越快，振动耗散得也越快 有阻尼固有频率 d 和无阻尼固有频率 n 几乎相等，因此，用求解无阻尼固有频率的
方式来决定系统的动力特性，阻尼可在分析的其他阶段（如频率响应分析、瞬态响应
等）考虑进去。
（3）简谐载荷作用下的强迫振动
• 动力载荷的类型决定数学求解方法，从数值分析的角度来看，最简单的载荷形 式是简谐（如正弦）载荷。
第四讲 结构动力分析基础
-------《CAE技术基础》
结构动力学问题
• （1）响应分析（Response Analysis） • （2）系统辨识（System Identification） • （3）载荷辨识（Load Identification） • （4）振动控制（Vibration Control）