玩数学题一例

a 2 2SAOB aபைடு நூலகம் 2SAOB 0.
a 是大于 1 的实数，
由 (2SAOB )2 4 1 2SAOB 0 及 SAOB 0 ，得
SAOB 2 ，此时， a b 2. （余略）
解法 8：同解法 5，得 a b . a 1
2
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当且仅当
1 1 ，即 a b 2 时，取“ ”.（余略） a b 解法 3：同解法 1，得 1 1 1. a b 由二元算术—几何均值不等式，得
SAOB
SAOB
1 1 1 a 1 a2 OA OB ab a (a 1), 2 2 2 a 1 2 a 1
1 2a (a 1) a 2 1 a(a 2) S 'AOB . 2 (a 1)2 2(a 1) 2
当 1 a 2 时， S 'AOB 0; 当 a 2 时， S 'AOB 0. 因此， SAOB 在区间（1，2） 上单调递减， 在区间 (2, ) 上单调递增， 当 a 2 时，SAOB 取得最小值 2. （余略） 解法 9：同解法 4，得 ab a b. 由韦达定理,可构造关于 t 的一元二次方程 t 2 abt ab 0.
由 (a b)2 4 1 (a b） (a b)(a b 4) 0 及 a b 2 ，得
1 1 1 1 1 1 OA OB ab 2, 2 2 2 1 1 2 1 1 2 ab a b 2
当且仅当
1 1 ，即 a b 2 时，取“ ”.（余略） a b 解法 4：同解法 1，得 1 1 1. a b ab a b. 由二元算术—几何均值不等式，得
a, b 是此方程的二实根，
由 (ab)2 4ab ab(ab 4) 0 及 ab 1 ，得
ab 4 ，当且仅当 a b 2 时，取“ ”.
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SAOB
1 1 1 a 1 [(a 1) 1]2 OA OB ab a 2 2 2 a 1 2 a 1 1 1 1 1 [(a 1) ] 1 (a 1) 2, 2 a 1 a 1
当且仅当 a 1
1 ，即 a 2 时，取“ ”.（余略） a 1 解法 6：同解法 5，得 a b . a 1
当
1 1 1 1 ，即 a 2 时， 取得最大值 ， SAOB 取得最小值 2.（余略） a 2 2 S AOB
解法 7：同解法 5，得 a b . a 1
SAOB
1 1 1 a 1 a2 OA OB ab a , 2 2 2 a 1 2 a 1
1 1 OA OB ab 2, 当且仅当 a b 2 时，取“ ”.（余略） 2 2 解法 10：同解法 4，得 ab a b. SAOB
由韦达定理,可构造关于 t 的一元二次方程 x2 (a b) x (a b) 0.
a, b 是此方程的二实根，
x y 解法 1：设直线 AB 的方程为 1(a 1, b 1). a b
直线 AB 过点 P(1,1) ，
1 1 1. a b 由二元算术—几何均值不等式，得
SAOB
1 1 1 1 1 OA OB ab ab 2 2 2 a b
2
1b a b a 1 1 2, 2a b a b
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玩数学题一例
题目：如图，过点 P(1,1) 作直线 AB ，分别与 x 轴的正半轴， y 的 正半轴交于 A, B 两点.当直线 AB 在什么位置时，AOB 的面积最小，最 小面积是多少？
y B P
O
A
x
（人教版 A 版《数学选修 2-2》第一章“导数及其应用”复习参 考题 A 组第 8 题）
当且仅当
b a ，即 a b 2 时，取“ ”. a b 故当直线 AB 的横、纵截距都是 2 时， AOB 的面积最小，最小面积是 2. 解法 2：同解法 1，得 1 1 1. a b 由二元算术—几何均值不等式，得
SAOB
2 1 1 1 1 1 1 1 1 OA OB ab ab ab 2 2, 2 2 2 a b 2 a b
SAOB 1 1 1 1 1 OA OB ab (a b) 2 2 2 a b
1b a b a 1 1 2, 2a b a b
当且仅当
b a ，即 a b 2 时，取“ ”.（余略） a b 解法 5：同解法 1，得 1 1 1. a b a b . a 1 由二元算术—几何均值不等式，得
解数学题的最高境界是玩数学题； 解数学题，试试就可能成功！2
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SAOB
1 1 1 a 1 a2 OA OB ab a , 2 2 2 a 1 2 a 1
2

1 SAOB
2(a 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 . 2 a a a a 2 2