2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版单元测试(含答案解析)113840

2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版单元测试
考试总分：100 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1. 如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边AD 上，若EF =BE ，则下列结论：①BE ⊥EF ；②∠AFE −∠AEB =45∘；③2AF +FD =√2AE ；④AE −CE =√2AF ；⑤DF =√2CE ．其中结论正确的序号是 （ ）A.①②③④
B.②③④⑤
C.①③⑤
D.①②③④⑤
2. 下列说法正确的是（ ）A.已知线段AB ＝2，点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，则AC ＝−1B.相似三角形的面积之比等于它们的相似比
C.对角线相等且垂直的四边形是正方形
D.方程x 2+3x +4＝0有两个实数解
3. 在下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A.3、4、5、6
B.4、8、3、5
C.5、15、2、6
D.8、4、1、3
4. 若2x =5y(x,y≠0),则下列式子中错误的是（ ）ABCD E AC F AD EF =BE BE ⊥EF ∠AFE−∠AEB =45∘2AF+FD =AE 2–√AE−CE =AF 2–√DF =CE
2–√AB2C AB (AC >BC)AC −1
+3x+4x 203456
4835
51526
84132x =5y
(x,y
A.xy =52
B.yx =25
C.x +yx =75
D.x −yy =32 5. 如图，△OAB ∼△OCD ，OA:OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是( )A.OBCD =32B.αβ=32C.S 1S 2=32D.C 1C 2=32 6. 如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是( )A.△ABC ∼△A ′B ′C ′
B.点C ，点O ，点C ′三点在同一直线上
C.AO:AA ′＝1:2
D.AB//A ′B ′
7. 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同一时刻测得一栋高楼的影长为90m ，则这栋高楼的高度为( )
A.54m =x y 52=y x 25=x+y x 75=x−y y 32
△OAB ∼△OCD OA :OC =3:2∠A =α∠C =β△OAB △OCD S 1S 2△OAB △OCD C 1C 2()
=OB CD 32=αβ32=S 1S 232=C 1C 232
O △ABC 2△A ′B ′C ′()
△ABC ∼△A ′B ′C ′
C O C ′
AO :AA ′1:2
AB//A ′B ′ 1.8m 3m 90m 54m
B.135m
C.150m
D.162m
8. 如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB =3OB′，则△
A′B′C′与△ABC 的面积比为( )A.1:3
B.1:4
C.1:8
D.1:9
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
9. 已知△ABC ∽△DEF ，S △ABC :S △DEF =1:6，△ABC 的周长为15cm ，△DEF 的周长为________．
10. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标
系，△ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O 为位似中
心，画△A 1B 1C 1使它与△ABC 的相似比为2，则点B 的对应点B 1的坐标是
________．
11. 一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的
影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为________米．
12. 如图，△OAB 和△OCD 位似，位似中心是原点O ，B 点坐标是(6,2)，△OAB 和△OCD 的相似比为2:1，则点D 的坐标为________．
54m 135m
150m
162m O △ABC
三、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）
13. 如图所示，Rt△ABC∼Rt△DFE，CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线，已
知AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm．
（1）求CM和EN的长；
（2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？
14. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试
(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，P为AC上一点，当AP的长为________
时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
理解运用
(2)如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB=2，AC=4，且线段AD的长度为正整数，过
点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用
(3)如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90∘，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90∘，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
图3
15. 如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN ，量得其影长MF 为0.5米，量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB 的高吗？
16. 如图1，在Rt △AOB 中， ∠AOB =90∘，∠OAB =30∘，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30∘．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度(90∘<α<180∘)
得到△OC ′D ′，C ，D 两点的对应点分别为点C ′，D ′，连结AC ′，BD ′，取AC ′的中点M ，连结OM ．
(1)如图2，当C ′D ′//AB 时， α=________，此时OM 和BD ′之间的位置关系为________；
(2)画图探究线段OM 和BD ′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
参考答案与试题解析
2022-2023学年全国初中九年级上数学人教版单元测试
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
1.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
平行线分线段成比例
正方形的性质
【解析】
【解答】
解：∵是在正方形ABCD中，E在对角线AC上 ,
又∵EF=BE ,
∴BE⊥EF,
∠AFE−∠AEB=45°，
2AF+FD=√2AE,
AE−CE=√2AF,
DF=√2CE.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
黄金分割
根的判别式
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
比例线段
【解析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】
解：A、3×6≠5×4，故选项错误；
B、3×8≠5×4，故选项错误；
C、2×15=6×5，故选项正确；
D、1×8≠4×3，故选项错误．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
比例的性质
【解析】
根据比例的性质，可得答案．
【解答】
解：A.原式两边都除以2y，故A正确；
B.原式两边都除以5x，故B正确；
C.yx=25，x+yx=75，故C正确；
D.xy=52，x−yy=5−22=32，故D错误；
故选D．
5.
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】
解：∵△OAB ∼△OCD ，OA:OC =3:2，
∠A =α，∠C =β，
∴OBOD =32，A 错误；
∴S 1S 2=94，C 错误；
∴C 1C 2=32，D 正确；
不能得出αβ=32，B 错误.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
位似的性质
相似三角形的判定
作图-位似变换
【解析】
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】
解：∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，
∴△ABC ∼△A ′B ′C ′，A 正确；
∴点C ，点O ，点C ′三点在同一直线上，B 正确；
∴AO:OA ′=1:2，C 错误;
∴AB//A ′B ′，D 正确.
故选C ．7.
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】
解：设这栋高楼的高度为xm．
根据同一时刻物高与影长成正例，
得1.8:3=x:90，
解得x=54.
则这栋高楼的高度为54m．
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
位似变换
【解析】
根据位似变换的性质得到A′B′//AB，A′C′//AC，根据平行线的性质求出△A′B′C′与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．
【解答】
解：由位似变换的性质可知，A′B′//AB，A′C′//AC，
∴OA′OA=OB′OB=13，
∴A′C′AC=OA′OA=13，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1:3，
∴△A′B′C′与△ABC的面积比为1:9，
故选D．
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
9.
【答案】
15√6
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，求出周长比，根据题意计算即可．【解答】
解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC:S△DEF=1:6，
∴△ABC与△DEF的相似比为1:√6，
∴△ABC与△DEF的周长比为1:√6，
∵△ABC的周长为15cm，
∴△DEF的周长为15√6cm，
故答案为：15√6．
10.
【答案】
(4,2)或(−4,−2)
【考点】
作图-位似变换
【解析】
把A、B、C的横纵坐标分别乘以2或−2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．
【解答】
解：如图，如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所，点B的对应点B1的坐标为(4,2)或(−4,−2)．
故答案为(4,2)或(−4,−2)．
11.
【答案】
16．
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【解答】
∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90∘，
∵CD//OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CEDE=OAAB，1.62=OA20，
解得OA=16．
12.
【答案】
(3,1)
【考点】
坐标与图形性质
位似变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）
13.
【答案】
√AC2+CB2=√92+122=15，
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM=12AB=7.5，
∵Rt△ABC∼Rt△DFE，
∴DEAC=DFAB，即39=13=DF15，
∴DF=5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN=12DF=2.5；
（2）∵CMEN=7.52.5=31，相似比为ACDE=93=31，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
【考点】
相似三角形的性质
【解析】
（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】
√AC2+CB2=√92+122=15，解：（1）在Rt△ABC中，AB=
∵CM是斜边AB的中线，
∴CM=12AB=7.5，
∵Rt△ABC∼Rt△DFE，
∴DEAC=DFAB，即39=13=DF15，
∴DF=5，
∵EN为斜边DF上的中线，
∴EN=12DF=2.5；
（2）∵CMEN=7.52.5=31，相似比为ACDE=93=31，
∴相似三角形对应中线的比等于相似比．
14.
【答案】
3
(2)解：∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，
∴BD=CD．
∵AB//EC，
∴∠BAD=∠E.
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ADB≅△EDC(AAS)，
∴AD=DE，AB=EC=2.
∵AC=4，
∴4−2<2AD<4+2，
∴2<2AD<6，
∴1<AD<3.
∵AD为正整数，
∴AD=2，
∴AE=2AD=4.
(3)证明：如图，过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，
∵在等腰直线三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠CAB=∠DAE=90∘，∴∠FAC+∠DAC=90∘，∠BAF+∠FAC=90∘，
∴∠BAF=∠DAC，
在△ABF和△ACD中，
{∠BAF=∠DAC，∠BFA=∠CDA，AB=AC，
∴△ABF≅△ACD(AAS)，
∴BF=CD，
∵S△ABE=12BF⋅AE，S△ACD=12AD⋅CD，
又∵AE=AD，
∴S△ABE=S△ACD.
∵这两个三角形不全等，
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
【考点】
三角形的面积
全等三角形的性质与判定
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：如图1，
当AP=PC=3时，S△PAB=S△PBC，
∵△ABP与△PBC同底同高，面积相等，但不全等，
∴△ABP与△CBP为偏等积三角形.
故答案为：3．
(2)解：∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，
∴BD=CD．
∵AB//EC，
∴∠BAD=∠E.
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ADB≅△EDC(AAS)，
∴AD=DE，AB=EC=2.
∵AC=4，
∴4−2<2AD<4+2，
∴2<2AD<6，
∴1<AD<3.
∵AD为正整数，
∴AD=2，
∴AE=2AD=4.
(3)证明：如图，过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，
∵在等腰直线三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠CAB=∠DAE=90∘，∴∠FAC+∠DAC=90∘，∠BAF+∠FAC=90∘，
∴∠BAF=∠DAC，
在△ABF和△ACD中，
{∠BAF=∠DAC，∠BFA=∠CDA，AB=AC，
∴△ABF≅△ACD(AAS)，
∴BF=CD，
∵S△ABE=12BF⋅AE，S△ACD=12AD⋅CD，
又∵AE=AD，
∴S△ABE=S△ACD.
∵这两个三角形不全等，
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
15.
【答案】
解：过C点作CG⊥AB于点G，如图所示，
∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．
∵∠NMF=∠AGC=90∘，NF//AC，
∴∠NFM=∠ACG，
∴△NMF∼△AGC，
∴NMAG=MFGC，
∴AG=NM⋅GCMF=1×30.5=6，
∴AB=AG+GB=6+2=8（米），
故电线杆子的高为8米．
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，就可以构造出相似三角形了．
【解答】
解：过C点作CG⊥AB于点G，如图所示，
∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．
∵∠NMF=∠AGC=90∘，NF//AC，
∴∠NFM=∠ACG，
∴△NMF∼△AGC，
∴NMAG=MFGC，
∴AG=NM⋅GCMF=1×30.5=6，
∴AB=AG+GB=6+2=8（米），
故电线杆子的高为8米．
16.
【答案】
150∘,垂直
(2)OM⊥BD′，OM=√32BD′.
证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N.
∵AC ′的中点M ，
∴EM//OC ′，EM =12OC ′，
∴∠OEM +∠AOC ′=180∘.
∵∠AOB =∠C ′OD ′=90∘，
∴∠BOD ′+AOC ′=180∘，
∴∠OEM =∠BOD ′.
∵∠OAB =∠OC ′D ′=30∘，
∴ EOEM =12AO 12OC ′=AOOC ′=√3OB √3OD ′=OBOD ′，
∴EOOB =EMOD ′，
∴△EOM ∽△OBD ′，
∴∠AOM =∠2，OMBD ′=EOOB =AO2OB =√32，
即OM =√32BD ′，
∵∠AOB =90∘，
∴∠AOM +∠3=180∘−∠AOB =90∘，
∴∠2+∠3=90∘，
∴OM ⊥BD ′.
【考点】
旋转的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
【解答】
解：(1)∵C ′D ′//AB ，
∴∠ABD ′+∠C ′D ′B =180∘.
∵∠ABO =∠C ′D ′O =60∘，
∴∠OBD ′+∠BD ′O =60∘，
∴∠BOD ′=120∘，
∴∠BOC ′=360∘−90∘−120∘=150∘，
∴α=150∘，此时OM ⊥BD ′.
故答案为：150∘；垂直.
(2)OM ⊥BD ′，OM =√32BD ′.
证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N.
∵AC ′的中点M ，
∴EM//OC ′，EM =12OC ′，
∴∠OEM +∠AOC ′=180∘.
∵∠AOB =∠C ′OD ′=90∘，
∴∠BOD ′+AOC ′=180∘，
∴∠OEM =∠BOD ′.
∵∠OAB =∠OC ′D ′=30∘，
∴ EOEM =12AO 12OC ′=AOOC ′=√3OB √3OD ′=OBOD ′，∴EOOB =EMOD ′
，∴△EOM ∽△OBD ′，
∴∠AOM =∠2，OMBD ′
=EOOB =AO2OB =√32，即OM =√32BD ′，
∵∠AOB =90∘，∴∠AOM +∠3=180∘−∠AOB =90∘，
∴∠2+∠3=90∘，
∴OM ⊥BD ′.。