11矩阵、行列式与算法初步a

第十一章 矩阵、行列式与算法初步
基本要求
（1）理解矩阵和行列式的意义（矩阵是一个数表，行列式是表示特殊算式的记号），会用矩阵的记号表示线性方程组。

掌握二阶、三阶行列式展开的对角线法则，以及三阶行列式按照某一行（列）展开的方法，知道矩阵相等、矩阵加减、数与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘的意义以及行列式的加法、数乘等运算法则。

（2）掌握二元、三元线性方程组的公式解法（用行列式表示），会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。

（3）通过对具体问题的过程与步骤的分析，了解算法的含义，体会算法的思想和特点；理解算法的三个主要逻辑结构——顺序结构、条件结构、循环结构；会用程序框图表达简单的算法问题。

11.1 矩阵与行列式
知识梳理
1. 由n m ⨯个数),,2,1,,2,1(n j m i R a ij ==∈排成的m 行、n 列的矩形数表叫做
矩阵⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211，其中ij a （n j m i 2,1,,2,1==）叫做矩阵第i 行第j 列的元素。

当行数与列数相等时，称该矩阵为方阵。

把对角线元素为1，其余元素均为零的方
矩阵叫做单位矩阵。

2. 通过对线性方程组所对应的增广矩阵进行适当的矩阵变换可以得到线性方程组的解。

矩阵变换主要有以下三种：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。

*
3. 矩阵的运算: （1） 矩阵相等；
（2） 实数与矩阵的乘积； （3） 矩阵的加法和减法运算；
（4） 矩阵的乘法（只有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时，矩阵之积AB 才有
意义，一般BA AB ≠） 4. 二阶行列式：
2
2
11b a b a ，用来表示算式1221b a b a -，即；
2
2
11b a b a =1221b a b a -（二
阶行列式的展开式），其计算结果叫做行列式的值，2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素。

5.三阶行列式：3
3
3
222
1
11
c b a c b a c b a ，用来表示算式 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++，即：
3
3
3
2221
11c b a c b a c b a =231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++（三阶行列式的展开式），其计算结果叫做行列式的值，)3,2,1(,,=i c b a i i i 都叫做行列式的元素。

6.三阶行列式的两种展开方法：
a) 按对角线展开； b) 按一行或一列展开。

7.二元一次方程组的解： 方程组⎩⎨
⎧=+=+2
221
11c y b x a c y b x a ，记：2
2
112
2
112
211,,c a c a D b c b c D b a b a D y x =
=
=
当0≠D 时，方程组有唯一解⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧==D
D y D D x y x
；当0=D 时，若0==y
x D D ，则方程组有无穷
多解；当0=D 时，若y x D D ,中至少有一个不为零时，则方程组无解。

8.三元一次方程组的解：
方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++3
33322221111d c y b x a d c y b x a d y c y b x a ，记：
3
3
3
222
1113
3
3
222
1113
3
3
222
1113
3
3
222
111
,,,d b a d b a d b a D c d a c d a c d a D c b d c b d c b d D c b a c b a c b a D z y x ====
当0≠D 时，方程组有唯一解⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧===D D z D D y D D x z y x ；当0=D 时，方程组无解或有无穷多解。

9．如果按逆时针方向排列的三点C B A ,,的坐标分别为),(),,(),,(332211y x y x y x ，那么
ABC ∆的面积等于11121
33
22
11y x y x y x ，若没有给出三点C B A ,,的排列顺序，则取1
112
1
33
22
11y x y x y x 的绝对值。

典型例题
【例1】展开并化简下列行列式
（1）6.0sin sin 3cos 52
-θθθ （2）1
1100
1c b a （3）1
1)
1lg()1lg(22----+x x x x
解：（1）原式=3sin 3cos 32
2
-=θ-θ- （2）原式=c b a -+ （3）原式=0
【例2】（1）已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=412503A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=122112B ，若B X A =-32，则
=X 。

（2）已知()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==4321,4321B A ，则=AB ，BA = 。

（3）已知⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=61015,422435,7685C B A ，则()=C AB ，()BC A = 。

（4）三阶行列式3
5
1
243
5
12---中元素2-的代数余子式的值是 。

解：（1）⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=37023313
8X （2）()30=AB ，⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=161284129638642
43
21BA
（3）()=C AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛292
17321，()BC A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛29217321 （4）5
11
2--
=11-
说明：（1）矩阵乘法只有当A 的列数与B 的行数相等时，矩阵之积AB 才有意义，一般BA AB ≠；
（2）要注意区分余子式、代数余子式、代数余子式的值的区别。

【例3】解关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨
⎧=++=+m
my x m y mx 21
，并讨论解的情况。

解：)1)(1(-+=m m D ，)1(-=m m D x ，)1)(12(-+=m m D y
（1） 当1±≠m 时，0≠D ，方程组有唯一解⎪⎩
⎪⎨
⎧++=
+=1121m m y m m x （2） 当1-=m 时，0=D ，02≠=x D ，无解
（3） 当1=m 时，0===y x D D D ，方程组有无穷多组解R t t
y t
x ∈⎩⎨
⎧-==,2
【例4】某公司研制生产的某种新型电子产品的成本y （万元）与生产数量x （百台）之间有一定的函数关系（成本函数），经预测可推算出这是一个二次函数，现根据实际测算有以下统计数据：
设每台电子产品的销售价格为2000元，目前最大的产量为1500台。

（1）求该电子产品的利润函数)(x Q ；（2）该电子产品的产销量在多少台范围内时，公司可以赢利？
解：（1）设成本函数为c bx ax y ++=2
，由条件⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c
b a 101001606361042464，则128-=D ，
6400,768,64-=-=-=c b a D D D ，可得50,6,2
1
===
c b a ，因此成本函数为5062
12
++=
x x y ，又当销量为x 百台时销售收入为x 20万元，则利润函数为 50142
1
)50621(20)(22-+-=++-=x x x x x x Q ，其中[]15,1∈x ，且*N x ∈
（2）令0)(>x Q 得05014212
>-+-x x ，80.2320.4<<x ，又根据公司的实际生产能
力，因此当产销量在420台至1500台时，公司可以盈利。

【备用题1】空间三点(0,2,3)(2,1,6)(1,1,5)A B C --，，。

（1）求以AB AC ，为邻边的平行四边形的面积；
（2）若有向量a 满足a AB a AC ⊥⊥，，且73a =，求向量a 的坐标；
（3）将行列式213132
i j k
---按第一行展开得到向量b ，试观察b 与（2）中a 的关系；并将
其抽象成一个一般结论，使上述结论为其特例；
（4）又若(1,1,2)AD =，试求以AB ，AC ，AD 为棱的平行六面体的体积；
（5）试求213
1
321
22
---的值，比较其与（4）中体积的关系，猜测更一般结论。

解：（1）(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，7S =（2）(7,7,7)a =或(7,7,7)a =--- （3）(7,7,7)b =，故b a =
一般地，向量111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==，，若向量1
1
12
2
2
i
j k
n x y z x y z =满足n a n b ⊥⊥， 则n 为以a b ，为邻边的平行四边形的面积
（4）因(7,7,7)
a =的同方向的单位向量为0a ，则平行六面体的高0h AD a =⋅= 则体积35V S h ==
（5）计算213
1
32351
2
2
---= 故一般地，以a b c ，，为邻边的平行六面体的体积1
112
223
3
3
x y z V x y z x y z = （其中111222333(,,)(,,)(,,)a x y z b x y z c x y z ===，，）
巩固练习
1. 若⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=357412A ，⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=580131B ，则=-B A ，B A 52+= 2.⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-1121211431132= 。

3.在三阶行列式0
876543
21中，5的余子式的值是 。

4.1
1
1
1cos 1sin 11
sin 1cos 1α+α
-α+α+=
5．函数1
1
cos sin 22x x y =
的最大值是
6．142
++x x 可用行列式表示为
7．（1）计算()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111132， ()132111-⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--
（2）设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-=100135)(2A A A f ，其中⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=3312A ，试求)(A f 8．(1)计算 1
11
3
334
7
9
， (2)根据（1）写出行列式的一个性质并加以证明。

9
．2
sin 2cos x x R x
∈当 时，函数的取值范围是 .
10．用行列式求解关于x y 和的方程组 ⎩
⎨⎧-=++=+1232
3m y mx m my x 。

11．把一个矩阵A 的行列互换所得到的矩阵成为矩阵A 的转置，记作A '.
例如：对于 A ,.a b a c A c d b d ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）若 1101,,A+B A B 2111A B ⎛⎫⎛⎫
'''== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
分别求（）
和+。

（2）观察（1）的结论，试推广转置矩阵的一个性质（不必证明）。

12．某蛋糕店可根据客户的预订制作C B A ,,三种不同规格的生日蛋糕，每种蛋糕的配料比
有一天该店要制作种蛋糕4个，种蛋糕6个，种蛋糕8个，试用矩阵求当天制作的
三种蛋糕的单个成本及所有蛋糕所需的总成本。

11.2 算法初步（一课时）
知识梳理
1. 算法的含义：对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法。

2. 两类算法问题：（1）数值性计算问题（2）非数值性计算问题。

3. 算法的一般特征：（1）有限性（2）确定性（3）可行性（4）每个算法必须有已知信息的输入和运算结果的输出。

4. 算法的结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构。

5． 程序框图：为了使算法的表述更简练，结构更清晰，常用含有算法内容的框和箭头构成
的图来表示算法，这种图叫做算法的程序框图。

典型例题
【例1】（1）下面对算法描述正确的一项是（ ）
（A ）算法只能用自然语言来描述 （B ）算法只能用图形方式来表示
(C) 同一问题可以有不同的算法 (D) 同一问题的算法不同，结果必然不同
（2）给出如下的程序框图，那么其循环体执行的次数是（ ）
（A ） 500 （B ）499 （C ） 1000
（D ）998
（3）给出四个问题：①输入一个数x ，输出它的相反数；②求面积
为6的正方形的周长；③求三个数a,b,c 中的最大数；④求函数
⎩⎨
⎧<+≥-=0
,20
,1)(x x x x x f 的函数值，其中不需要用条件语句来描述其算法的有 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （4）下列说法正确的是 （ ） （A ）算法就是某个问题的解题过程； （B ）算法执行后可以产生不同的结果；
（C ）解决某一个具体问题算法不同结果不同；
（D ）算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施。

解：（1）（C ） （2）（B ） （3）（B ） （4）（B ）
说明：选B ，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A ，算法不能等同于解法；选项C ，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造得有问题；选项D ，算法可以为很多次，但不可以无限次。

【例2】根据如图所示的程序框图，输出结果i = ．
解：根据如图所示的程序框图，所得的数据如下表
【例4】如图给出的是计算11
1
13519
S =+++
+的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( ) A ．10>i B ．10<i C ．9i > D ．9i <
解：A ．10>i
【例5】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ………（ ）
()A 3 ()B 6- ()C 10 ()D 15-
解：C
【备用题1】9.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出
的 P=____. 解：3
【备用题2】18、若框图所给的程序运行的结果为90S =，那么判断框中应填入的关于k 的 判断条件错误．．的是（ ） （A ）8k = （B ）8k ≤ （C ）9k < （D ）9k =
解：D
巩固练习1．任何一个算法都必须有的基本结构是
（ ）
(A) 顺序结构 (B) 条件结构
(C) 循环结构
(D) 三个都有
2．用二分法求方程2
30x x --=的近似根的算法中用到了哪些算法结构 （ ）
(A) 顺序结构 (B)条件结构 (C) 循环结构 (D) 以上三种结构
3．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说
根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有（ ） (A) 21 (B) 24 (C) 27 (D) 30 4．840和1764的最大公约数是
（ ）
（A ）84 （B ）12 （C ）168 （
D ）252
5．如图给出的是计算20
1
614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序
框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）
(A) i>10 (B) i<10 (C) i>20 (D) i<20
6．下面的程序框图（如图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是
（ ）
(A) m=0 (B) x=0 (C) x=1 (D) m=1
7．根据右面的程序框图，要使得输出的结果在区间[—1，0]，则输入x 的取值范围
是 。

第7题
第6
题
8．有程序框图如图，则该程序框图表示的算法的功能是 。

矩阵、行列式和算法单元测试题（二课时）
一、填空题
1．已知方程组系数行列式D=0是二元一次方程组无解的 条件
2． 规定矩阵3A A A A =⋅⋅,若矩阵3
1110101x ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则x 的值是
3．若关于x , y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫
⎪⎝⎭，
该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩
则mn 的值为
4．若在行列式3
12140
5
3
--a 中，元素a 的代数余子式的值是 . 5．若125
1201
3
1
x
x =，则实数x = . 6．已知函数2
1
21)(+--=
x
x e e x f ，其中x 满足
042
13≥---x
x ，则函数)(x f 的值域为
7．如图给出的是计算2011
151311+⋅⋅⋅+++
的值的一个程 序框图，其中判断框内应填入的条件 二、选择题
8．3=a 是方程组⎩
⎨⎧-=-+=++7)1(3032a y a x a y ax 无解的 （ ）
A ． 充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
三、解答题
9．设三角形的一个顶点为原点O ，已知点),(11y x P ，),(22y x Q ，试证明：OPQ ∆的面积为2
2
1121y x y x S =
的绝对值
10．已知等比数列{}n a 的首项11a =,公比为q ． (1)求行列式132
4
a a a a 的值； (2)讨论方程组13243
2
a x a y a x a y +=⎧⎨
+=-⎩解的情况.
11．定义矩阵方幂运算：设A 是一个n n ⨯ 的矩()
11k k A A
A A A k N +*
⎧=⎪⎨=⋅∈⎪⎩。

若1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 求（1）2A ，3
A ； （2）猜测(
)n
A n N *
∈，并用数学归纳法证明。