高考数学考前冲刺复习_第一部分 数学思想方法 第1讲 函数与方程、数形结合思想
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第1部分 数学思想方法
易得直线 y＝b 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，
不符合题意；②当4m－m2＜m，即 m＞0，
m＞3
时，函数
f(x)的图
象如图 2 所示，则存在实数 b 满足 4m－m2＜b≤m，使得直
线 y＝b 与函数 f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意，综
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
4．已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( C )
A.1
B.2
C. 2
D.
2 2
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第1部分 数学思想方法
[解析] 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示， 设O→C＝c，O→A＝a，O→B＝b，C→A＝a－c，C→B＝b－c， 即A→C⊥B→C.又O→A⊥O→B，所以 O，A，C，B 四点共圆．
形作为目的的解决问题的
数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助 于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机 结合
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考山东卷)已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m， 其中 m＞0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的 根，则 m 的取值范围是_(_3_，__＋__∞_)． 【解析】 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m，当 x＞m 时， f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m，4m－m2)； 当 x≤m 时，函数 f(x)的图象与直线 x＝m 的交点为 Q(m，m)． ①当m4m＞－0，m2≥m，即 0＜m≤3 时，函数 f(x)的图象如图 1 所示，
数形式，利用函数的有关性质，使问 对方程(组)进行研究，以
方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相
成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在
动中求静，研究运动中的等量关系
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考山东卷) 已知双曲线 E：xa22－by22＝1(a＞0， b＞0)．若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点 为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是___2_____． 【解析】 如图，由题意知|AB|＝2ab2，|BC|＝2c. 又 2|AB|＝3|BC|， 所以 2×2ab2＝3×2c，即 2b2＝3ac， 所以 2(c2－a2)＝3ac，两边同除以 a2，并整理得 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2(负值舍去)．
12a4－12a6.设 y＝12a4－12a6(a＞0)，
则 y′＝48a3－3a5.令 y′＞0，得 0＜a＜4；令 y′＜0，得 a＞4.
故函数 y 在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可
知当 a＝4 时，y 取得最大值，即体积 V 取得最大值，
此时 h＝
12－a22＝2，故选 C.
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
3．(2016·山西第二次四校联考)已知函数 f(x)满足：①定义域
为 R；②∀x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)；③当 x∈[－1，1]时，
f(x)＝－|x|＋1.则方程 f(x)＝12log2|x|在区间[－3，5]内解的个
数是( A )
A．5
B．6
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考全国卷丙)设函数 f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1＜xln－x1＜x； (3)设 c＞1，证明当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.
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第1部分 数学思想方法
【解】 (1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1， 令 f′(x)＝0 解得 x＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞1 时，f′(x)＜0， f(x)单调递减． (2)证明：由(1)知 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 最大值为 f(1)＝0. 所以当 x≠1 时，ln x＜x－1. 故当 x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln 1x＜1x－1，即 1＜xln－x1＜x.
2．已知正四棱锥 S-ABCD 中，SA＝2 3，那么当该棱锥的体
积最大时，它的高为( C )
A．1
B． 3
C．2
D．3
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第1部分 数学思想方法
[解析] 设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a(a＞0)，
则高 h＝ SA2－ 22a2＝ 12－a22，
所以体积 V＝13a2h＝13
的最大值是( B )
A.443
B.449
37＋6 3 C. 4
37＋2 33 D. 4
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第1部分 数学思想方法
【解析】 建立平面直角坐标系如图所
示，则 B(－ 3，0)，C( 3，0)，A(0，3)， 则点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－3)2＝1.设
P(x，y)，M(x0，y0)，则 x＝2x0－ 3，
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] (1)本题利用数形结合思想，把|B→M|2 的值转化为
点 B 到圆x－ 232＋y－232＝14的距离的平方．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何 结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率； ②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考 虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离 心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类 是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双 曲线中 a，b，c 的关系式，求值试题就是建立关于 a，b，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于 a，b，c 的不等式．
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，
a10＝8，则 a100＝( C )
A．100
B．99
C．98
D．97
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，因为{an}为等差数列，且 S9＝9a5＝27，所以 a5＝3.又 a10＝8，解得 5d＝a10－a5＝5， 所以 d＝1，所以 a100＝a5＋95d＝98.
第1部分 数学思想方法
第1讲 函数与方程、数形结合思想
一 函数与方程思想
第1部分 数学思想方法
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的 方程思想的实质就是将所
非数学特征，用联系和变化的观点提 求的量设成未知数，根据
出数学对象，抽象其数学特征，建立 题中的等量关系，列方程
各变量之间固有的函数关系，通过函 (组)，通过解方程(组)或
上，m 的取值范围为(3，＋∞)．
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点： (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问 题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一 定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结 合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．
故当 0＜x＜1 时，g(x)＞0.
所以当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 本题第(3)问证明的关键是构造函数 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，利用导数判定 g(x)的单调性，从而证 明不等式成立．
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.
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第1部分 数学思想方法
课时作业
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第1部分 数学思想方法
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
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y＝2y0，代入圆的方程得x0－ 232＋y0－322＝14， 所以点 M 的轨迹方程为x－ 232＋y－232＝14，
它表示以 23，32为圆心，以12为半径的圆，
所以|B→M|max＝
23＋
32＋32－02＋12＝72，所以|B→M|2max＝449.
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第1部分 数学思想方法
二 数形结合思想
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第1部分 数学思想方法
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范
数之间的关系，把数转化为形， 性及严密性来阐明形的某
即以形作为手段，数作为目的的 些属性，即以数作为手段，
解决数学问题的数学思想
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第1部分 数学思想方法
(3)证明：由题设 c＞1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
c－1
则
g′(x)＝c－1－cxln
c，令
g′(x)＝0，解得
ln x0＝
ln ln c
c
.
当 x＜x0 时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞x0 时，g′(x)＜0，
g(x)单调递减．
由(2)知 1＜cl－n c1＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝0，
C．7
D．8
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第1部分 数学思想方法
[解析] 画出 y1＝f(x)，y2＝12log2|x|的图 象如图所示，由图象可得所求解的个 数为 5.
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，
平面 ABC 内的动点 P，M 满足|A→P|＝1，P→M＝M→C，则|B→M|2
第1部分 数学思想方法
易得直线 y＝b 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，
不符合题意；②当4m－m2＜m，即 m＞0，
m＞3
时，函数
f(x)的图
象如图 2 所示，则存在实数 b 满足 4m－m2＜b≤m，使得直
线 y＝b 与函数 f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意，综
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
4．已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( C )
A.1
B.2
C. 2
D.
2 2
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第1部分 数学思想方法
[解析] 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示， 设O→C＝c，O→A＝a，O→B＝b，C→A＝a－c，C→B＝b－c， 即A→C⊥B→C.又O→A⊥O→B，所以 O，A，C，B 四点共圆．
形作为目的的解决问题的
数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助 于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机 结合
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考山东卷)已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m， 其中 m＞0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的 根，则 m 的取值范围是_(_3_，__＋__∞_)． 【解析】 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x＞m，当 x＞m 时， f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m，4m－m2)； 当 x≤m 时，函数 f(x)的图象与直线 x＝m 的交点为 Q(m，m)． ①当m4m＞－0，m2≥m，即 0＜m≤3 时，函数 f(x)的图象如图 1 所示，
数形式，利用函数的有关性质，使问 对方程(组)进行研究，以
方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相
成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在
动中求静，研究运动中的等量关系
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考山东卷) 已知双曲线 E：xa22－by22＝1(a＞0， b＞0)．若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点 为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是___2_____． 【解析】 如图，由题意知|AB|＝2ab2，|BC|＝2c. 又 2|AB|＝3|BC|， 所以 2×2ab2＝3×2c，即 2b2＝3ac， 所以 2(c2－a2)＝3ac，两边同除以 a2，并整理得 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2(负值舍去)．
12a4－12a6.设 y＝12a4－12a6(a＞0)，
则 y′＝48a3－3a5.令 y′＞0，得 0＜a＜4；令 y′＜0，得 a＞4.
故函数 y 在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可
知当 a＝4 时，y 取得最大值，即体积 V 取得最大值，
此时 h＝
12－a22＝2，故选 C.
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
3．(2016·山西第二次四校联考)已知函数 f(x)满足：①定义域
为 R；②∀x∈R，都有 f(x＋2)＝f(x)；③当 x∈[－1，1]时，
f(x)＝－|x|＋1.则方程 f(x)＝12log2|x|在区间[－3，5]内解的个
数是( A )
A．5
B．6
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考全国卷丙)设函数 f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1＜xln－x1＜x； (3)设 c＞1，证明当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.
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第1部分 数学思想方法
【解】 (1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1， 令 f′(x)＝0 解得 x＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞1 时，f′(x)＜0， f(x)单调递减． (2)证明：由(1)知 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 最大值为 f(1)＝0. 所以当 x≠1 时，ln x＜x－1. 故当 x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln 1x＜1x－1，即 1＜xln－x1＜x.
2．已知正四棱锥 S-ABCD 中，SA＝2 3，那么当该棱锥的体
积最大时，它的高为( C )
A．1
B． 3
C．2
D．3
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第1部分 数学思想方法
[解析] 设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a(a＞0)，
则高 h＝ SA2－ 22a2＝ 12－a22，
所以体积 V＝13a2h＝13
的最大值是( B )
A.443
B.449
37＋6 3 C. 4
37＋2 33 D. 4
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第1部分 数学思想方法
【解析】 建立平面直角坐标系如图所
示，则 B(－ 3，0)，C( 3，0)，A(0，3)， 则点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－3)2＝1.设
P(x，y)，M(x0，y0)，则 x＝2x0－ 3，
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] (1)本题利用数形结合思想，把|B→M|2 的值转化为
点 B 到圆x－ 232＋y－232＝14的距离的平方．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何 结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率； ②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考 虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离 心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类 是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双 曲线中 a，b，c 的关系式，求值试题就是建立关于 a，b，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于 a，b，c 的不等式．
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，
a10＝8，则 a100＝( C )
A．100
B．99
C．98
D．97
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，因为{an}为等差数列，且 S9＝9a5＝27，所以 a5＝3.又 a10＝8，解得 5d＝a10－a5＝5， 所以 d＝1，所以 a100＝a5＋95d＝98.
第1部分 数学思想方法
第1讲 函数与方程、数形结合思想
一 函数与方程思想
第1部分 数学思想方法
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的 方程思想的实质就是将所
非数学特征，用联系和变化的观点提 求的量设成未知数，根据
出数学对象，抽象其数学特征，建立 题中的等量关系，列方程
各变量之间固有的函数关系，通过函 (组)，通过解方程(组)或
上，m 的取值范围为(3，＋∞)．
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 利用数形结合探究方程解的问题应注意两点： (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问 题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一 定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结 合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．
故当 0＜x＜1 时，g(x)＞0.
所以当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.
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第1部分 数学思想方法
[名师点评] 本题第(3)问证明的关键是构造函数 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，利用导数判定 g(x)的单调性，从而证 明不等式成立．
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第1部分 数学思想方法
[变式训练]
当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.
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y＝2y0，代入圆的方程得x0－ 232＋y0－322＝14， 所以点 M 的轨迹方程为x－ 232＋y－232＝14，
它表示以 23，32为圆心，以12为半径的圆，
所以|B→M|max＝
23＋
32＋32－02＋12＝72，所以|B→M|2max＝449.
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二 数形结合思想
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以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范
数之间的关系，把数转化为形， 性及严密性来阐明形的某
即以形作为手段，数作为目的的 些属性，即以数作为手段，
解决数学问题的数学思想
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第1部分 数学思想方法
(3)证明：由题设 c＞1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
c－1
则
g′(x)＝c－1－cxln
c，令
g′(x)＝0，解得
ln x0＝
ln ln c
c
.
当 x＜x0 时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞x0 时，g′(x)＜0，
g(x)单调递减．
由(2)知 1＜cl－n c1＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝0，
C．7
D．8
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[解析] 画出 y1＝f(x)，y2＝12log2|x|的图 象如图所示，由图象可得所求解的个 数为 5.
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第1部分 数学思想方法
(2016·高考四川卷)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，
平面 ABC 内的动点 P，M 满足|A→P|＝1，P→M＝M→C，则|B→M|2