内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

2018 年一般高等学校招生全国一致考试
（包头市第一次模拟考试）
理科数学
一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个
选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.
1. 设复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由题意复数满足，则，因此，应选 A．
2. 已知全集，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意，
则，应选 D．
3. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】 C
【解析】设竹子自上而下各节的容积分别为，且为等差数列，
依照题意得，
即，解得，即最上面一节的容积为升，应选 C．
4. 若，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意，作出拘束条件所表示的平面地区，以下列图，
目标函数，可化为，
由图可知，当直线过点时，获取目标函数的最小值，
由，解得，则目标函数的最小值为，应选D．
5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】由题意，二项式的张开式为，
因此，
令，则
因此，应选 B．
6. 某多面体的三视图以下列图，则该多面体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】由题意知，依照给定的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面为等腰直角三角
形，且腰长为，侧棱长为的直三棱柱，右侧为一个底面为等腰直角三角形，且腰长为，高为的三棱锥，因此该几何体的体积为，应选 C．
7. 若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（）
A. 大于
B. 等于
C. 小于
D. 不能够确定，与，的详尽值有关
【答案】 B
【解析】由双曲线的方程，得其一条渐近线的方程为，
因此，且，因此，
因此，应选 B．
8. 执行以下列图的程序框图，若是输入的，则输出的（）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】模拟执行程序，可得，
执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
此时不满足条件，退出循环，输出的值，应选 B ．
点睛：算法时新课程的新增加的内容，也必然是新高考的一个热点，应高度重视，程序填
空与选择是重要的观察和命题方式，这种试题观察的重点有：①条件分支结构；②循环结
构的增加循环条件；③变量的赋值；④变量的输出等，其中前两点是考试的重点，此种题
型的易忽略点是：不能够正确理解流程图的含义而以致错误．
9.现有张牌（ 1）、（ 2）、（3）、（ 4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英
文字母。

现在规定：当牌的一面为字母时，它的另一面必定写数字 . 你的任务是：为检验下面的
张牌可否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）
A. 翻且只翻（1）（4）
B. 翻且只翻（2）（ 4）
C. 翻且只翻（1）（ 3）
D. 翻且只翻（2）（3）
【答案】 A
【解析】由题意，当牌的一面为字母时，它的另一面必定写数字，
则必定翻看（1）可否正确，这样（3）就不用翻看了，后边不能够
是，要查（ 4），
因此为了检验如图的中可否违反规定的写法，翻看（1）（ 4）两种牌即可，应选 A．
点睛：本题观察了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在获取一个新结论前，合情推理能帮助猜想和发现结论，在证明一个数学结论从前，合情推理常常能为证明供应思路与方向．合情推理仅是“吻合情理”的推理，它获取的结论不用然正确．而演绎推理获取的结论必然正确( 前提和推理形式都正确的前提下) ．
10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成周围体，则在周围体中，给出以下结论：
①平面；②；③平面；④；⑤平面平面. 其中正确结论的序号是（）
A. ①②③⑤
B.②③④⑤
C.①②④⑤
D.②④⑤
【答案】 C
【解析】以下列图，因为分别为的中点，因此，
因为，因此折叠后，
因此平面，因此①正确的；
由平面，平面，因此，因此②正确的；
由平面，依照过一点有且只有一条直线垂直于一个平面，
因此平面是不正确的，因此③不正确；
由，可得平面，又平面，
因此，因此④正确的；
由平面，又平面，因此平面平面，
因此⑤是正确的，
综上可知，正确的结论序号为①②④⑤，应选C．
11. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由函数，
可得，
因此函数为奇函数，
又，因为，因此，
因此函数为单调递加函数，
因为，即，
因此，解得，应选D．
点睛：本题观察了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇
偶性和函数的单调性，转变成不等式是解答的重点，重视观察了解析问题和解
答问题的能力，对于解函数不等式：第一依照函数的单调性和奇偶性把不等式转变成
的形式，尔后依照函数的单调性去掉“”，转变成详尽的不等式( 组) ，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．
12. 已知是圆的直径，是圆的弦上一动点，，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】以所在的直线为轴，线段的垂直均分线为轴，建立平面直角坐标系，
设点，则，
因此
则，
又因为，且在弦上一动点，因此，
其中当取的中点时获取最小值，因此，应选D．
点睛：本题观察了平面向量的数量积与应用问题，解答的重点是建立合适的直角坐标系，
表示出向量的坐标，再利用圆的性质求解，重视观察了学生解析问题和解答问题的
能力，对于平面向量的运算问题，平时有两种方法：一是建立平面的基底，利用基底运算；二是建立合适的平面直角坐标系，转变成坐标运算即可．
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13.某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲最少有首被播放的概率是
__________．
【答案】
【解析】由题得所有基本事件为：（甲乙），（甲丙）（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），则甲、乙 2 首歌曲最少有1 首被播放得基本事件有（甲乙），（甲丙）（甲丁），（乙丙），（乙丁）因此甲、乙 2 首歌曲最少有1 首被播放
的概率是
14. 设函数，，为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则__________．
【答案】
【解析】函数，为图象的对称轴，
为的零点，
因此，
因此且，
两式相减，
在依照的最小正周期，可得，
因此，再把代入，可得，令，可得．
15. 设数列的前项和为，若，，，则__________．【答案】 66
【解析】由，即，因此，
又，因此，则．
点睛：本题观察了数列的递推关系和数列的与关系式的应用，其中解答中依照题设条
件，利用，把条件转变是解答的重点，重视观察了学生解析问
题和解答问题的能力．
16. 在平面直角坐标系中，双曲线的左支与焦点为的抛物线
交于，两点.若，则该双曲线的离心率为__________．【答案】
【解析】把代入双曲线，
可得，因此，
因为，因此，
因此，因此，则．
点睛：本题观察了抛物线与双曲线的定义、标准方程及其性质，以及直线与圆锥曲线的位
置关系的应用，对于直线与圆锥曲线问题，经过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方
程组，应用一元二次方程根与系数的关系，获取“”
目标函数的解析式，应用确定函数的性质
求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，以致错漏百出，本题能较好的观察考生的逻辑思想能力、运算求解能力、解析问题解决问题的能力等．
三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必做题，每个试题考生都必定作答. 第 22， 23 题为选考题，考生依照要求作答 .
（一）必考题：共60 分
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（ 1）；（2）.
【解析】试题解析：（ 1）已知条件是边角关系，且左侧是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角”，即，只要交织相乘，再由两角和与差的正
弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；（2）由（1）可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．
试题解析：（ 1）由正弦定理得
整理得
又∴，即
（2）由余弦定理可知①
由（ 1）可知，即②
再由③ ，由①②③ 联立求得
又∴
考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．
18. 如图，四棱锥中，底面，，
，，为线段上一点，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值 .
【答案】（ 1）见解析；（ 2） .
【解析】试题解析：（ 1）由已知，取的中点，连接，，获取，利用线面平
行的判判定理，即可获取平面.
（2）建立空间直角坐标系，求解平面平面和平面的法向量，利用向量夹角公式，
即可求解二面角的大小．
试题解析：
（1）由已知得，
取的中点，连接，，
由为的中点知，，
又，故，
因此四边形为平行四边形，于是，
平面，平面
因此平面.
（2）取的中点，连接. 由得，进而
且
以为坐标原点，的方向为由题意知，，，，
，
.
轴正方向，建立以下列图的空间直角坐标系
，，
.
，，.
设即设则于是为平面的法向量，则
，可取.
为平面的法向量，
，即，可取
，
，
.
.
因此二面角的正弦值为.
19. 某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种
小麦的生长指标值，由测量结果得以下频数分布表：
生长指
标值分
组
频数
. 从试验田中抽取株小麦，测量这些
（1）在相应地址上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表）；
（3）由直方图能够以为，这种小麦的生长指标值遵从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①利用该正态分布，求；
②若从试验田中抽取株小麦，记表示这株小麦中生长指标值位于区间的小麦株数，利用①的结果，求.
附：.
若，则，
.
【答案】（ 1）见解析；（ 2）平均数200，方差 150；（ 3）① 0.6826 ；② 68.26.
【解析】试题解析：（ 1）依照题设中的数据，即可画出频率分布直方图；
（2）利用平均数和方差的计算公式，即可求得平均数，．
.
（3）①由（ 1）知，进而
②由①知，随机变量遵从二项分布，利用公式即可求解希望．
试题解析：
（1）画图 .
（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
.
（3）①由（1）知，进而
.
②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间
的概率为，
依题意知，
因此.
20. 已知，是椭圆：的左右两个焦点，，长轴长为，又，分别是椭圆上位于轴上方的两点，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形的面积.
【答案】（ 1）；（ 2）.
【解析】试题解析：（ 1）由题意，求得的值，进而由，获取的值，即可求得椭
圆的方程；
（2）设，，由，得，设直线的方程为，
代入椭圆方程得，求得，求得的值，进而求解四边形的面积．
试题解析：
（1）由题意知，，因此，.
因此，椭圆的方程为.
（2）设，，又，，
因此，，
由，得，.
延长交椭圆于，
因为，因此，且.
因此线段为的中位线，即为线段的中点，
因此.
设直线的方程为，
代入椭圆方程得，，即.
因此，，
消去，得，依题意取.
.
点睛：本题主要观察椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的地址关系, 解答此类题目，平时利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，经过联立直线方程与椭圆（圆锥曲
线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，获取“”
目标函数的解析式，应用确
定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，以致错漏百出，本题能较好的观察考生的逻辑思想能力、运算求解能力、解析问题解决问题的能力等．
21. 已知函数，.
（1）若时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（ 1）最小值；（2）见解析；（3）.
【解析】试题解析：（ 1）当时，，求出函数的导数，获取极值点，尔后
判断函数的单调性，求解函数的最小值；
（2）由，得，当时，函数在上最多有一个零点，当时，，，即可获取结论；
（3）由（ 2）知，当时，在上最多有一个零点，当，函数，得
，令，利用的取值，获取函数在上单调递减；在上单调递加，要使函数在上有两个零点，只要要函数的极小值，即，进而求解实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时，，
因此.
令，得，当时，；
当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递加，
因此当时，有最小值.
（2）由，得，
因此当时，，
函数在上单调递减，因此当时，在上最多有一个零点 .
因为当时，，，
因此当时，函数在上有零点 .
综上，当时，函数有且只有一个零点 .
（3）由（ 2）知，当时，在上最多有一个零点 .
因为有两个零点，因此.
由，得.
令，
因为，，因此在上只有一个零点，
设这个零点为，
当时，，；
当时，，；
因此函数在上单调递减；在上单调递加 .
要使函数在上有两个零点，只要要函数的极小值，即. 因为，
因此
，
可得，
又因为在上是增函数，且，
因此，，
由，得，
因此，即.
以下考据当时，函数有两个零点 .
当时，，，
因此.
因为，且，
因此函数在上有一个零点 .
又因为（因） .
且，因此在上有一个零点 .
因此当时，函数在内有两个零点 .
综上，实数的取值范围是.
点睛：本题主要观察导数在函数中的应用，函数的证明和函数的零点问题，观察了分类谈论
思想和转变与化归思想，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值 )最有效的工具，对导数
的应用的观察主要从以下几个角度进行：(1) 观察导数的几何意义，常常与解析几何、圆等
知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3) 利用导数求函数的最值(极值 ) ，解决函数的恒建立与有解问题；(4) 观察数形结合思想的应用．（二）选考题：共10 分. 请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，若是多做，则按所做的第
一题记分 .
22. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数） . 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若时，求与的交点坐标；
（2）若上的点到距离的最大值为，求 .
【答案】（ 1），；（ 2）或.
【解析】试题解析：（1）依照参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，求得曲线的直
角坐标方程，联立方程组，即可求解交点的坐标；
（2）由曲线的参数方程，设上的点，求得点到的距离，依照三角函数的
图象与性质，得出的最大值，进而的值．
试题解析：
（1）曲线的一般方程为，
当时，直线的一般方程为，
由，解得，或，
进而与的交点坐标为，.
（2）直线的一般方程为，
设的参数方程为（为参数），
则上的点到的距离为
.
当时，的最大值为，
由题设得，因此，
当时，的最大值为，
由题设得，因此，
综上，或.
23.[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包括，求的取值范围 .
【答案】（ 1）；（ 2）.
【解析】试题解析：（ 1）代入时，不等式等价于，分类讨论即可求解不等式的解集；
（2）由题意的解集包括，等价于时，，求得函数
的最大值，列出不等式，即可求解实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时，不等式等价于，①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，得；
当时，①式化为，得.
因此的解集为.
（2）当时，，
因此的解集包括，等价于时.
又在上的最大值为.
因此，即，得.
因此的取值范围为.。