高考数学专题复习导练测第十二章第5讲复数理新人教A版

第5讲 复 数
一、选择题
1．复数2＋i
1－2i
的共轭复数是( )．
A ．－35i B.3
5i C ．－i D ．i
解析
2＋i
1－2i
＝－2i ＋1－2i
＝i ，∴2＋i
1－2i
的共轭复数为－i.
答案 C
2．复数i －2
1＋2i ＝( )．
A ．i
B ．－i
C ．－45－3
5i
D ．－45＋3
5i
解析 因为i －2
1＋2i ＝
－－＋
－
＝5i
5
＝i ，故选择A. 答案 A
3.在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2
z
＋z 2
对应的点位于
( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析 由题知，2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2
＝1－i ＋2i ＝1＋i ，
所以复数2z
＋z 2
对应的点为(1,1)，其位于第一象限．
答案 A
4．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．－1<a <1 B ．a >1 C ．a >0
D ．a <－1或a >1
解析 |z 1|＝a 2
＋4，|z 2|＝5，∴a 2
＋4<5，∴－1<a <1.故选A. 答案 A
5．方程x 2
＋6x ＋13＝0的一个根是 ( )．
A ．－3＋2i
B ．3＋2i
C ．－2＋3i
D ．2＋3i
解析 Δ＝62
－4×13＝－16，∴x ＝－6±4i 2＝－3±2i.
答案 A
6．设z 是复数，f (z )＝z n
(n ∈N *
)，对于虚数单位i ，则f (1＋i)取得最小正整数时，对应n 的值是( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 解析 f (1＋i)＝(1＋i)n ，则当f (1＋i)取得最小正整数时，n 为8. 答案 D
7．下面是关于复数z ＝2
－1＋i
的四个命题：
p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.
其中的真命题为
( )．
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
解析 z ＝2
－1＋i ＝
－1－
－1＋－1－
＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2
＝(－
1－i)2
＝(1＋i)2
＝2i ，p 2为真命题；z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C. 答案 C
8．已知复数z 满足z (1＋i)＝1＋a i(其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于
( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析 由条件可知：z ＝1＋a i
1＋i
＝
＋a
－＋
－
＝
a ＋12＋
a －1
2
i ；当
a ＋1
2
<0，且
a －1
2
>0
时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B. 答案 B
9．在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x ，x ∈R ，
－x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于
( )． A ．2＋i
B ．－2
C ．0
D ．2
解析 ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案 D
10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >1
2”是“点M 在第四象限”的
( )．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >1
2”是“点M 在第四象限”的充要条件．
答案 C 二、填空题
11．设i 为虚数单位，则(1＋i)5
的虚部为________．
解析 因为(1＋i)5
＝(1＋i)4
(1＋i)＝(2i)2
(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i ，所以它的虚部为－4. 答案 －4
12．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则复数z ＝________. 解析 ∵(2－i)z ＝1＋i ，∴z ＝1＋i
2－i ＝
＋＋－＋
＝
1＋3i 5＝15＋3
5
i. 答案 15＋35
i
13．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部是________．
解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2i
i ＝2＋3i ，即z ＝1＋3i.
答案 1
14．若复数(1＋a i)2
(i 为虚数单位，a ∈R)是纯虚数， 则复数1＋a i 的模是________．
解析 因为(1＋a i)2
＝1－a 2
＋2a i 是纯虚数，所以1－a 2
＝0，a 2
＝1，复数1＋a i 的模为1＋a 2
＝ 2. 答案 2
15．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2
z 1
的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________． 解析 ∵a ∈R ，z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ， ∴z 2z 1
＝a ＋2i
1－i
＝
a ＋
＋－＋
＝
a －2＋a ＋
2
＝
a －2
2
＋
a ＋2
2
i ，依题意
a ＋2
2
＝
2×
a －2
2
，解得a ＝6.
答案 6 16．若
a
1－i
＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 解析 ∵a ，b ∈R ，且a
1－i ＝1－b i ，
则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1－
b ，0＝1＋b .∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－1.
∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22
＋－2
＝ 5.
答案 5。