章定积分考研专题演示文稿

第四页，共140页。
2t
sin x dx
sin x cos x
1 t2
2dt
2t 1 t 2 1 t 2
1t2 1t2
2t
2t 1
t
2
2dt 1 t2
(t 1
4t 2)(t 1
dt 2) 1 t2
t 1 1 1
11
(1t2 2 t 1
2 2 t 1
)dt 2
1 ln(1 t 2 ) arctan t 1 ln | t 1 2 |
第八页，共140页。
注：
法一利用三角函数有理式的不定积分一般步骤，
思路简单但计算量太大；
法二利用了双弦函数的导数间关系，构思巧妙；
法三则利用了定积分的性质：
/ 2
f (sin x)dx
/ 2 f (cos x)dx(参见华上p230#7(1))
0
0
法三可推广：
计算 / 2
sin n x
92
第二十七页，共140页。
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'
1
1 sin 2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(上海大学01一（3）6分）
解：用N L公式：
I
1 dx [ 1 arctan(
0 1 sin 2 x
2
2 tan x)]0 0
上述解法是错误的。理由在于题目所给导数关系
0 1 cos2 x
第三十一页，共140页。
例9 定积分的计算
1 x(x ln(1 x2 )) dx。(山东大学00一（4））
1
1 x2
解：1 1
x(x
ln(1 1 x
2
x
2
))
dx
1
x2
dx
1
x ln(1 x2 ) dx
11 x 2
1 1 x 2
1 1
(1
1
1 x
2
)dx
ax b 形式,并令 ax b t
cx d
cx d
第十五页，共140页。
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
法三：用欧拉变换， 如果二次项系数小于0，令
ax2 bx c xt c (c 0) 如果二次项系数大于0，令
ax2 bx c ax t(参见华上p195 ~ 198)
dx或 / 2
cosn x dx
0 sin n x cosn x
0 sin n x cosn x
第九页，共140页。
练习： 4
(
sin
x
cos
x
)
2
dx
(东南大学01四(1)8分)
0 sin x cos x
4
(
sin
x
cos
x
)2
dx
4
sin x cos x d (sin x cos x)
2
2
2
1 ln | (tan x )2
2
2
2
tan
x 2
1
|]02
4
第六页，共140页。
法二：
sin x dx sin x cos x
1 2
(sin x cos x) (sin x cos x)dx sin x cos x
1 2
[1
(sin x cos x)' sin x cos x
对f (x) 3x2 2 1 f (x)dx两边积分得到： 0
C
1
f (x)dx
1(3x2 2C)dx 1 2C
0
0
C 1,
则 2 f (x)dx 1
2 (3x 2
1
2)dx
(x3
2x)
|12
5
第十九页，共140页。
例6 定积分的计算 n x | sin x | dx，其中n为正整数 0 (武汉理工04一（2）10分）
第十六页，共140页。
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
法一：
1 0
2x x 2 dx 1 0
1 (x 1)2 dxx 1
sin t
0
cos 2
tdt
2
(
t 2
sin 2t 4
)
|0
2
4
第十七页，共140页。
法二：
1
2x x2 dx
ln(1
x )dx (山东大学96一(5))
0
解：令1 x t,则x (t 1)2 ,
1 ln(1
x )dx 2 ln td (t 1)2
0
1
换元的同时记住 要换积分限。
(t 1)2 ln t |12
2 (t 1)2 dt
1t
ln 2
2 (t 2 1)dt
1
t
ln 2
F( y)
1 x(1 yx)dx ( x 2
0
2
yx 3 3
)
|10
1 2
y 3
当y 1时，1 yx 0(0 x 1 ),1 yx 0(x 1 )
y
y
第二十三页，共140页 x(1 yx)dx
0
1/ y
(x2 2
yx 3
例7 定积分的计算
设F( y)
1
|
x
yx2
|
dx,
y
[0,
),
0
求F ( y)的最小值。(重庆大学98二13分）
分析：此题同样需要去绝对值， 所不同的是需要考虑变量y的范围。
第二十二页，共140页。
解：F( y)
1
|
x
yx 2
|
dx
1
x | 1 yx | dx
0
0
当0 y 1时，1 yx 0
2
2
1 ln | t 1 2 | C 2
第五页，共140页。
1 ln(1 (tan x )2 ) arctan(tan x )
2
2
2
1 ln | (tan x )2 2 tan x 1 | C
2
2
2
所以： 2
sin x dx
0 sin x cos x
[1 ln(1 (tan x )2 ) arctan(tan x )
第十三页，共140页。
解： x sin x dxx t ( t) sin t dt
0 1 cos2 x
0 1 cos2 t
sin t
dt
t sin t
dt
0 1 cos2 t
0 1 cos2 t
sin x 0 1 cos2
dx x
x sin x 0 1 cos2 x dx
0
1
x
sin x cos 2
x
dx
2
sin x 0 1 cos2 x dx
2
0
1
1 cos 2
x
d (cos
x)
2
arctan(cos
x)
|0
2
4
第十四页，共140页。
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
此题考查根式函数的积分； 法一：将根式内部配方后用三角代换； 法二：采用根式代换方法：将根式写成
在x 处不成立，故不能直接利用N L公式。
2
第二十八页，共140页。
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'
1
1 sin 2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(上海大学01一（3）6分）
从另一方面也可看出，因为：
1
1
1
1
dx 1 dx 0
2 1 sin 2 x
]dx
1 2
(x
ln
|
sin
x
cos
x
|)
C
所以： / 2 sin x dx 0 sin x cos x
1 2
(x
ln
|
sin
x
cos
x
|)
|0
/2
/
4
第七页，共140页。
法三： / 2 sin x dx
0 sin x cos x
/ 2
x /2t
cos t
/2
dt
cos x
dx
0 cos t sin t 0 cos x sin x
/ 2
sin x
dx
0 sin x cos x
1 / 2 sin x
/ 2 cos x
2 [0
sin
x
cos
dx x
0
dx] cos x sin x
1
/ 2 sin x cos xdx 1
/2
dx / 4
2 0 sin x cos x 2 0
2 tan x)] |u0
2
lim [ 1 arctan( 2 v( )
2 tan x)] |v
2
第三十页，共140页。
1 lim [ arctan( 2 tan u)]
2 u( ) 2
1
lim [ arctan( 2 tan v)]
v( )
2
2
( ) 2
2
2
类例：求积分I 1 dx
分析：此题涉及到被积函数取绝对值， 应考虑先去绝对值，将积分区间进行分段。
第二十页，共140页。
解：n x | sin x | dx n (1)k1 k x sin xdx
0
(k 1)
k 1
n
(1)
k 1
(sin
x
x
cos
x)
|k
(k 1)
k 1
n
(2k 1) n2。
k 1
第二十一页，共140页。
的最小值为mx[0,1] F ( y)
F (1)
1 6
第二十五页，共140页。
当y (1,)时，F ' ( y) y3 3 , F " ( y) 3 0
3y3
y4
所以F ' (3 3) 0, 且3 3为函数F ( y)在区间(1,)内
唯一的极小值点。
mx(1,) F ( y)
F (3
3)
1 33 9
1 2
33 3
1 1 3 3 1? 33 9 2 3 6
第二十六页，共140页。
而 1 13 3 3 313 3 33 9 2 3 9 2 3 43 3 1 1 43 3 2
9 26 9 3
23 3 3 24 27成立。 所以函数F ( y)在区间[0,)上的最小值为 F (3 3) 43 3 1
|) |12
11 4 ln 2 3
第十二页，共140页。
例3 定积分的计算 x sin x dx (浙江理工大学09二
0 1 cos2 x （5）5分;重大01三（1）6分；哈工大01一（1）5分；杭州电子
工业学院03一（2）6分；华上p230 # 7(2))
此题需要利用教材华上p230#7(2)的结论。 其方法是利用换元法进行变换。
0 sin x cos x
0 (sin x cos x)2
4 (sin x cos x)d
1
0
sin x cos x
sin sin
x x
cos x cos x
|0 / 4
4 0
cos x sin xdx sin x cos x
2
24
第十页，共140页。
例2
定积分的计算
1
1
(2 x)
x dx, 令
x t,
0
0
2x
2x
则x 2t 2 ,2 x 2 , dx 4t dt
1 t2
1 t2
(1 t 2 )2
1 2x x2 dx 1 2t
4t dt
0
0 1 t 2 (1 t 2 )2
1 t2
1t2 11
8
dt 8
dt
0 (1 t 2 )3
0 (1 t 2 )3
0 1 sin 2 x
02
2
第二十九页，共140页。
解：I 1 dx
0 1 sin 2 x
/ 2
1
dx
1 dx
0 1 sin 2 x
/ 2 1 sin 2 x
u1
1
lim
dx lim
dx
u( ) 0 1 sin 2 x
v( ) v 1 sin 2 x
2
2
lim [ 1 arctan( 2 u( )
3
)
|10/
y
( x2 2
yx 3
3
)
|11
/
y
1 1 [(1 y ) ( 1 1 )] 2y2 3y2 2 3 2y2 3y2
1 3y2
1 2
y 3
第二十四页，共140页。
所以：F
(
y)
1 y 23 1 1
y
3y 2 2 3
y [0,1] y (1,)
而F ( y)在[0，1]内单调递减，所以其在[0，1]内
(1 t2 2
2t
ln
|
t
|)12
1 2
第十一页，共140页。
练习
1 1 x dx。(西师00三（1）6分）
01 x
1 1 x dx1 x t 2 1 (t 1)2 2(t 1)dt
01 x
1
t
2 2 (t 2 3t 4 2)dt
1
t
( 2t 3 3
3t 2
8t
4 ln | t
第三页，共140页。
解法一：先求不定积分
sin x dx sin x cos x
1)用三角有理函数的不定积分方法；
2)用三角函数的关系进行变换。
法一：令 tan x t,则sin x 2t , cos x 1 t 2 .
2
1 t2
1 t2
dx 2dt (参见华上p194(8) ~ (10)),于是： 1 t2
章定积分考研专题演示文稿
第一页，共140页。
章定积分考研专题
第二页，共140页。
例1 定积分的计算 2
sin x dx
0 sin x cos x
(重庆大学03二(3)10分，华上p229 # 4(2))
定积分计算的一般方法 法一：先求原函数（不定积分），再用N L公式； 法二：利用定积分的性质进行计算。
1 1
11
8 0 (1 t 2 )2
dt 8
dt
0 (1 t 2 )3
???
太难！！！
第十八页，共140页。
例5 定积分的计算 (西师02一（6）4分）
设f (x) 3x2 2 1 f (x)dx,则 2 f (x)dx _________
0
1
此题需要先明确函数表达式。令 1 f (x)dx C， 0