量子图能谱的数值计算

量子图能谱的数值计算
张雪; 杨化通
【期刊名称】《《大学物理》》
【年(卷),期】2019(038)009
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】量子图; 本征态; 能谱
【作者】张雪; 杨化通
【作者单位】东北师范大学物理学院吉林长春 130024
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1; O4-1
一维定态问题是量子力学中最简单、也是最基本的一类问题，许多更复杂的问题通常是通过分解成一维问题而求解的[1].除了多自由度的量子力学问题外，这类一维量子力学问题的另一个直接推广是考虑由很多一维系统连接而成的网络上的量子力学问题.数学中研究这类网络的拓扑性质的分支称为图论[2]，因此把这种网络上的量子力学问题称为量子图[3].它描述的是约束在由一些线连接而成网络上的波函数的运动，这些线被称作边,不同边相交的点称作顶点.
图1 有8条边和5个顶点的图，定义了每条边上的波动方程和每个顶点处的衔接条件就成为量子图.
量子图的最初观念可以追溯到Pauling[4]，用这种理想模型来模拟有机分子中自
由电子的运动.Ruedenberg和Scherr首先考虑了量子图上自轭算符的构造和具有适当边界条件的波动方程[5].Kottos和Smilansky利用量子图来研究量子混沌[6,7]，发现这类量子图能谱能够表现出几乎所有的量子混沌现象.量子图也可作为
研究很多实际物理系统的简化模型，例如声学和电磁波导网络[8,9]，粒状和人造
材料中的超导性[10]，安德森局域化[11,12]，量子霍尔系统[13,14]和介观量子系
统[15-17].因此，近年来关于量子图的研究获得了很多研究者的关注.通常，这类量子图问题是无法解析求解的.本文介绍如何用数值方法求解这类量子图的本征值问题.
1 量子图上的波动方程和衔接条件
为了叙述方便，我们分别给每条边一个唯一的编号n(n=1,2,…,N)，顶点则标记为
Vj(j=1,2,…,M).每条边的长度Ln既可以是有限的也可以是无限的，本文只讨论边
长有限的量子图.量子图中的每条边都可以任意约定一个方向作为它的“正”方向.
约定了一条边的正方向后，其上的每个点的位置就可以用一个一维坐标xn∈[0,Ln]来表示，xn增加的方向为该边的正方向.将n边的一对端点区分为起点Pn和终点Qn，它们分别对应xn=0和xn=Ln所在的顶点.一种特殊类型的边是它自身形成
一条闭合的回路，此时它的起点和终点重合，Pn=Qn=Vj.
整个图上的波函数可以用“分段”的形式给出，n边上的波函数记为φn.为了简洁，可令ћ=1，粒子的质量为1/2.本文只考虑没有外场的情况，于是每条边上的定态
波函数满足如下定态薛定谔方程:
(1)
令
E=k2
(2)
则每条边上的波函数的通解和它的导数可以写成：
φn(xn)=aneikxn+bne-ikxn
(3)
φ′n(xn)=ik(aneikxn-bne-ikxn)
(4)
于是，整个体系的波函数可以用一个2N维的矢量，即
(5)
表示.
在各个顶点处,薛定谔方程(1)不再适用，波函数应满足适当的衔接条件，通常选取诺依曼边界条件，需满足：
1) 顶点处的波函数是单值且连续的，这要求相交于同一个顶点的不同边上的波函数φn(xn)在该顶点处的值相等.对任一顶点Vj来说，又可以分为3种情况：(i) 如果Pn=Pm=Vj，表示n边和m边都以顶点Vj作为起点，则有
φn(0)=φm(0)
(6)
代入展开式(3)得到
an+bn-am-bm=0
(7)
(ii) Qn=Qm=Vj，即n边和m边都以顶点Vj作为终点，则
φn(Ln)=φm(Lm)
(8)
对应的系数方程为
eikLnan+e-ikLnbn-eikLmam-e-ikLmbm=0
(9)
(iii) Pn=Qm=Vj，即顶点Vj是n边的起点和m边的终点，则有
φn(0)=φm(Lm)
(10)
对应的展开系数则满足
an+bn-eikLmam-e-ikLmbm=0
(11)
特别地，当m=n时，Pn=Qn=Vj，即n边是一个闭合的环，此时式(10)为φn(0)=φn(Ln)
(12)
式(11)变成
(1-eikLn)an+(1-e-ikLn)bn=0
(13)
2) 在顶点处波函数的导数之和为零，也被称为概率流守恒条件.
(i) 当顶点处没有闭合的环时，流守恒条件可以写为
(14)
由展开式(4)得到
(15)
(ii) 当顶点处有闭合的环时，可以写为
(16)
代入展开式(4)得到
(17)
2 量子图能谱的数值计算方法
方程(7)、(9)、(11)、(13)、(15)和(17)构成关于Ψ的分量的线性方程组.容易证明，方程的个数等于Ψ的分量数2N.为此，设以顶点Vj为起点或终点的边的总数为Kj.由该顶点处的波函数连续条件可以给出Kj-1个方程，另外由概率流守恒条件可得
出1个方程.因此由顶点Vj处的衔接条件一共给出Kj个方程，而总的方程个数则
为由于每一条边都有一个起点和一个终点，因而对每个顶点求和可以得到边数的2倍，即方程(7)、(9)、(11)、(13)、(15)和(17)形成一组关于Ψ的线性齐次方程组，可以写成
(18)
其中是一个2N×2N维矩阵.该方程有非零解的条件是
(19)
注意到可以写成因此k=0，即E=0总是一个本征能量.该本征能量所对应的波函数是处处为常数的平庸解，因此下面将不再考虑,而只考虑满足
det D=0
(20)
的解，其中矩阵D称为量子图能量本征方程的系数矩阵，其矩阵元Dpq是波矢k 的函数，因而也是能量E的函数.方程(20)决定了量子图的能量本征值，行列式det D的每个零点对应一个本征值.
由方程(7)、(9)、(11)、(13)、(15)和(17)可以写出系数矩阵D的元素Dpq.容易看出这些矩阵元有如下性质：如果依次交换相邻的两列，得到新的矩阵D′=D*,由
det D*=(det D)*得
det D′=(det D)*
(21)
由于det D′=(-1)Ndet D，因此
(det D)*=(-1)Ndet D
(22)
当N为偶数的时候，(det D)*=det D，因此det D为实数；当N为奇数的时候，(det D)*=-det D，det D为虚数.因此，为了计算量子图的能量本征值，只需找出系数行列式的实部(边数为偶数)或虚部(边数为奇数)为零的点.
3 量子图能谱随边长的变化
3.1 哑铃形量子图的能谱
我们将称图2中所示的这类图为哑铃形量子图，它是由一条边的两端点分别与两
个闭合环的任一点相连形成的.1环和2环的周长分别为L1和L2，中间的3边的
长度为L3.3条边上的波函数分别为φ1、φ2、φ3.令L1=1，L2=2，L3在0.5-1.5范围内变化，以L3为横坐标，1环上波的数目为纵坐标，以哑铃形量子图的det
D为亮度画出了其随L3及1环上波的数目的变化，颜色越深代表绝对值越接近零(由于我们只关心det D的零点附近的行为，为了对比明显，绘图时采用了).图3
中的黑色曲线表示了哑铃形量子图的基态附近的能级随边长的变化趋势.一般来说，一个更方便找到行列式零点的方法是判断行列式(实部或虚部)的正负号，正负号改变处的位置即对应能量本征值.但是由于在某些偶次简并的能量本征值处行列式符
号不变，这种方法会漏掉很多简并能级，而判断的大小，则可以找到det D所有
的零点，并使零点附近的颜色对比更加明显，能够更精确地分辨各能级的位置.
图2 哑铃形量子图
图3 哑铃形量子图的能谱随L3的变化，取L1=1，L2=2.
量子图的能谱是由边的数目、长度和连接方式决定的.当边的数目和连接方式不变时，每个特定能级则是边长的函数.虽然在哈密顿量中并不明显地出现每条边的长度，但事实上这些边可以看作是一些互相连通的势阱，而边长则是势垒宽度.因此这些边长事实上是以参数隐式的方式出现在哈密顿量中的.图3中的能级的一个显著特征是绝大多数能级都随着边长增大而减小.这一特征可以用Hellmann-Feynman定理来解释.根据该定理有
(23)
可以看做粒子受到的势阱的约束力.L3增大时，可以理解为势阱宽度增大.当势阱宽度增大时能量减小，表明约束力对粒子所做的功为负，即势阱对粒子的作用力是和势阱宽度增大的方向相反的，势阱施加给粒子的力向内.这与一般的宏观经验也是相符的：为了约束粒子，约束力一般要指向系统内部.此外还可以发现，当1环上波的数目为半整数或整数时，能级位置不随L3的变化而变化.出现这种不变能级的原因是在该能量处对应的能量本征函数只局限在两个环上，而在3边上保持为零.容易看出，当某个环上波的数目刚好为整数时，这个环单独存在时所对应的本征波函数就可以被看成是整个图的一个本征波函数，只要令环上的本征函数的一个零点刚好处在顶点处，而其它边上的波函数为零.也就是说，当把每个环看成一个单独存在的量子图时所对应的每个能级都一定是哑铃形量子图的能级，这些特殊的能级不会随L3的变化而变化.当某个能量本征值使得两个环上波的数目都为整数时，则该本征波函数在两个环上都能光滑地衔接起来，并使得波函数在V1、V2及3边上为零，这些能级也不随L3的变化而变化.显然，这类限制在两个环上的波函数φ1和φ2的任意线性叠加也同样满足两个顶点处的诺依曼条件，因此也是属于同
一本征能量的本征态，这时该能级就是2重简并的，就是图中较粗的黑线对应的
能级.
类似地，对于有多个闭合环的量子图，其中每个环单独存在时的每个能量本征值都一定是该量子图的一个能量本征值，该本征函数的非零区域仍然完全在这条闭合环之内，其它边上的波函数值都为零，这样能量本征值和本征函数都不会随其它边长的变化而变化；如果其中有多个环单独存在时的某些能量本征值重合，则该本征值就是整个量子图的一个高简并的能量本征值，它们的本征波函数都只局限在这些闭合环之内，在图的其它部分为零，因而也不随其它边长的变化而变化.
3.2 “日”字形量子图的能谱
另一个有3条边、两个顶点的量子图的例子是图4所示的这类“日”字形量子图.
设它的3条边长度分别为L1、L2、L3.图5给出了当L1=1，L2=2或L2=3，L3
在0.5-1.5范围内变化时的能谱随L3的变化.和前一个例子类似地，可以看到除了某些具有特定波长的本征态不随该边长变化外，所有其它的能级都随L3的增大而减小.而这些不随L3变化的能级都是由于该能级对应的波函数在3边上为零.只要
3边的两个端点V1和V2都落在由1边和2边组成的闭合环上的波函数节点(零点)上，波函数就能在闭合环上衔接起来.这类波函数对应于把1、2两条边形成的闭合环单独当作一个量子图时的一个定态波函数，只是波函数的节点刚好在两个顶点处.由于在3边上波函数为零，因此由Hellmann-Feynman定理可知，这类只在1、2边上传播的特殊波函数对应的能级应该不随L3的变化而变化，我们的数值结果
也验证了这一特征.可以从一般的分析看出这些特殊的能级出现的条件，由于由1、2两边构成的闭合环一定是波长的整数倍，或者说是半波长的偶数倍，因此只有当3边与整个环相交的两个顶点将整个环按特定比例划分两条边时，才会使3边的端点都位于节点上.这些特定的比例分别是：1∶2Z-1，2∶2Z-2，…，G∶2Z-G，…，2Z-1∶1.对这些特定的比例，该闭合环上的第Z个能级将是不随第三边改变的，G
和2Z-G分别是1边和2边上所容纳的半波数目，其中G、Z和2Z-G都是正整数. 图4 “日”字形量子图
例如，如果L2是L1的2倍，只有当L1和L2都是半波长的偶数倍，即
1∶2=2G∶(2*3G-2G)时，能量本征值才可以不随L3的变化而变化.如果L2是L1的3倍，则有1∶3=G∶(2*2G-G)，即无论L1是半波长的奇数或偶数倍，L1和
L2组成的闭合环的周长都是波长整数倍，所对应的能量本征值都不随L3的变化而变化.
这一性质显然也可以推广到更一般的情况，只要组成一个闭合回路的每条边的边长之比都是有理数，就会出现这种只局限在该闭合环上的定态波函数.使得环上的每个顶点都是波函数的节点，它的能量本征值不随环以外的边长的变化而变化.
L1=1，L2=2
L1=1，L2=3图5 “日”字形量子图的能谱随L3的变化
4 结论
本文介绍了一套计算量子图本征值问题的数值方法.给出了量子图本征态满足的线性方程组，该方程的系数行列式的零点确定了该量子图能量本征值.并证明了当量子图的边数为偶数时，系数行列式是实数，边数为奇数时，系数行列式是纯虚数，这样就可以用数值方法近似地求出任何有限能量范围内的所有能级.通过对两类典型的量子图的能谱随边长变化的分析，发现对任一量子图，当边的数目、连接方式不变，只有一条边的长度变化时，量子图的能级的变化方式分为两类：一类是单调地随边长增大而减小，另一类则保持不变.随边长的增大而减小的原因可以用Hellmann-Feynman定理来解释；而不随边长改变的能级则是由于该本征态在这条边上的波函数为零.
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