河北省望都中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

16—17第二学期高二年级期中考试数学（理）试题
命题人 陈红丽
一、选择题（每题5分，共60分）
1.复数i z -=2在复平面对应的点在第几象限（ ） A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.不等式
9
253＜x -≤的解集为（ ）
A.[-2,1) [4,7)
B.(-2,1] (4,7]
C.(-2,-1] [4,7)
D.(-2,1] [4,7)
3.已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重点，则2=GD AG
”,
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若∆BCD 的中心为
M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO
（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有818143++=,则P ，A ，B ，C
四点（ ） A.不共面
B.共面
C.共线
D.不共线
5.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数()x f ，如果()0'
x f =0，那么0x x =是函数()x f 的极值点，因为()x f =3x 在0=x 处的导数值()00'=f ，所以0=x 是函数()x f =3x 的
极值点，以上推理中（ ） A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确
6.已知一个命题P （k ），k=2n （n ∈N ），若n=1,2，···，1000时，P （k ）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（ ） A.P （k ）对k=2013成立
B.P （k ）对每一个自然数k 成立
C.P （k ）对每一个正偶数k 成立
D.P （k ）对某些偶数可能不成立
7.已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足关系式()x f =()x xf x '23+，则()1'
f 的值等于（ ）
A.21
B.2
1-
C.1
D.-1
8.（1）已知p 3+q 3=2，求证：p+q ≤2.用反证法证明时，可假设p+q ≥2；
（2）已知a ，b ∈R ，|a|+|b|＜1，求证：方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11≥x ；以下结论正确的是（ ）
A.（1）与（2）的假设都错误
B.（1）的假设正确；（2）的假设错误
C.（1）与（2）的假设都正确
D.（1）的假设错误；（2）的假设正确
9.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都
等于2。

给出以下结论：①=+++; ②=--+; ③0=-+-SD SC SB SA ; ④SD SC SB SA ∙=∙;
⑤0=∙，其中正确结论是（ ） A.①②③
B.④⑤
C.②④
D.③④
10.函数()x f 的定义域为R ，()11=-f ，对任意R x ∈，()3'＞x f ，则()x f ＞43+x 的解集为（ ） A.（-1,1）
B.（-1，∞+）
C.（-∞，-1）
D.（-∞，∞+）
11.右图是函数()x f y =的导函数()x f y '=的图象，给出下列命题：①-3势函数()x f y =的极小值点；②-1是函数()x f y =的极小值点； ③()x f y =在0=x 处切线的斜率小于零；④()x f y =在区间（-3,1）上单调递增，则正确命题的序号是（ ） A.①④
B.①②
C.②③
D.③④
12.若函数()x x x f 33-=在（a ，26a -）上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A.（7-，-1）
B.（7-，-1]
C.（7-，-2]
D.（7-，-2）
二、填空题（每题5分，共20分） 13.若i a z 21-=，i z 432-=，且2
1
z z 为纯虚数，则实数a 的值等于 。

14.计算定积分：⎰
--0
3
29dx x = 。

15.定义关于x 的不等式）＞＜0,(B R A B A x ∈-的解集称为A 的B 领域。

若a+b-3的a+b 领域是区间（-3,3），则22b a +的最小值是 。

16.若函数()ax e x x f x --=2在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题（17题10分，18，19，20，21，22题各12分，共70分） 17.已知()3-+-=x a x x f 。

（1）当1=a 时，解不等式()x x f 2＜；
（2）若不等式()3≤x f 的解集非空，求a 的取值范围。

18.如图，过点A （6,4）作曲线()84-=x x f 的切线l ； （1）求切线l 方程；
（2）求切线l 、x 轴及曲线()84-=x x f 所围成的封闭图形的面积S 。

19.已知长方体1AC 中，棱AB=BC=1，棱21=BB ，连接C B 1，过B 点作C B 1的垂线交1CC 于
E ，交C B 1于
F 。

（1）求证：C A 1⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面111C B A 的距离；
（3）求平面111C B A 与直线DE 所成角的正弦值。

20.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的
菱形，∠ABC=
4
π
，PA ⊥底面ABCD ，PA=2，M 为PA 的中点，N 为BC 的中点， （1）证明MN ∥平面PCD
（2）求二面角P —CD —A 的余弦值。

21.已知函数()()()021
ln 2≤++
-=a ax x
x a x f （1）当0=a 时，求()x f 的极值； （2）当0＜a 时，讨论()x f 的单调性。

22.已知函数()x
x
x f -+=11ln
（1）求证：当)1,0(∈x 时，()＞x f )3
(23
x x +；
（2）设实数k 使得())3
(3
x x k x f +＞对)1,0(∈x 恒成立，求实数k 的最大值。

高二年级期中考试数学（理）试题参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.A
6.D
7.D
8.D
9.D 10.B 11.A 12.C 13.
3814.π4915.2
9
16.()22ln 2,-∞- 17.解：（1）当a=1时，解集为（1，+∞）
（2）∵R x ∈时，恒有()()a x a x x a x -=---≥-+-333， ∴不等式()3≤x f 的解集非空，33≤-a ，∴60≤≤a 。

18.解：（1）∵()2
18
42'-=
-=
x x x f ，∴()2
1
6'=
f ∴切线l 方程为：()62
1
4-=
-x y ，即022=+-y x 。

（2）令()084=-=x x f ，则2=x 。

令012
1
=+=x y ，则2-=x 。

∴()268461
264184121232626
2---⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰-x x x dx x dx x S =316
19.（1）以A 为原点，，，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A （0，0，0）、B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，1，0）、1A （0，0，2）、1B （1，0，2）、
1C （1，1，2）、1D （0，1，2），C A 1=(1，1，-2)，BD =(-1，1，0)，
设E （1，1，z ），则：BE =(0，1，z)，1CB =(0，-1，2)，∵BE ⊥B1C ∴•1CB =-1+2z=0，z=
21，∴E(1，1，21)，=(0，1，2
1
)， ∵A 1•=-1+1+0=0，A 1•=0+1-1=0，∴C A 1⊥BD ，C A 1⊥BE ， 又BD ∩BE=B ∴C A 1⊥平面EBD ．
（2）连接1AE ，A 到平面C B A 11的距离，即三棱锥A-C B A 11的高，设为h ，…（6分） S △A1B1C =
25，A 1B 1A -C V =3
1
，由C 1B 1A -A V =A 1B 1A -C V 得：312531=⨯h ，552=
h ， ∴点A 到平面C B A 11的距离是
5
5
2。

（3）连接DF ，∵C A 1⊥BE ，C B 1⊥BE ，C A 1∩C B 1=C ，∴BE ⊥平面C B A 11， ∴DF 是DE 在平面C B A 11上的射影，∠EDF 是DE 与平面C B A 11所成的角，…（11分） 设F （1，y ，z ），那么=(0，y ，z)，CF =(-1，y-1，z)，B 1=(0，1，-2)，
∵BF •B 1=0∴y-2z=0①∵CF ∥B 1，∴z=2-2y ②由①、②得y=
5
4， z=
52，=(1，0，21)，=(0，-51，-10
1) 在Rt △FDE 中，DE=25，EF=105。

∴sin ∠EDF=ED EF =5
1，
因此，DE 与平面C B A 11所成的角的正弦值是5
1
20.试题解析：做AF ⊥CD 于F ，建立如图坐标系，在Rt △AFD 中，AF=FD ；A （0，0，0），B （1，0，0），F （0，2
2
，0）， D （ —
22，22，0），P （0，0，2），M （0，0，1）， N （1—22，4
2
，0），…（4分）
∴ MN =（1—42，4
2
，0），…（5分）
设平面PCD 的一个法向量为=（x ，y ，z ）
则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0
0⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-02222
20222
z y x z y
令2=z ，得()
2,4,0=…（8分）
∵()
2,4,01,42,421∙⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∙=0 ∴MN ∥平面PCD …（10分）
（2）由（1）平面PCD
的法向量n =()
2,4,0，平面ADC 的一个法向量为=（0,0,1） 设二面角P-CD-A 的平面角为α，则3
1
1
82cos =
⨯=
=
α 即二面角P-CD-A 的余弦值为31
21.【解析】
试题分析（1）借助题设条件运用导数与函数的单调性的关系求解：（2）依据题设运用分类整合分类探求。

试题分析：
（1）当0=a 时，()x f =x
x 1
ln 2+
，定义域为()+∞,0， ()x f 的导函数()2
3'1
212x x x x x f -=
-=。

当210＜＜x 时，()0'＜x f ，()x f 在（0，2
1
）上时减函数；
当21＞x 时，()0'＞x f ，()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21上是增函数；
∴当21-
=x 时，()x f 取得极小值为⎪⎭
⎫
⎝⎛21f =2ln 22-，无极大值。

（2）当
0＜a 时，
()()ax x x a x f 21
ln 2++
-=的定义域为()
+∞,0，
()x f 的导函数为
()()()()2
222'
112122212x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--== 由()0'=x f 得0211＞=x ，01
2＞a
x -=，a a a x x 2212121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-
（ｉ）当02＜＜a -时，()x f 在（0，21）上时减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,21上是增函数，在⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∞-,1a 上是减函数；
（ⅱ）当2-=a 时，()x f 在（0，∞+）上时减函数；
（iii ）当2-＜a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上是减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1a 上是增函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21
上时减函数，综上所述
当2-＜a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,1a 上是增函数；
当2-=a 时，()x f 在()+∞,0上是减函数；
当2-＞a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1a 上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛-a 1,21上是增函数；
22.解：（1）令()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=323x x x f x g 则()()()
242
''1212x x x x f x g -=+-=
∵()0'＞x g ∴()x g 在（0,1）上单调递增，∴()()00g =＞x g
∴()1,0∈x 时，()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+323x x x f ＞
（2）由（1）知，当2≤k 时，()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+33x x x f ＞对()1,0∈x 恒成立
当2＞k 时，令()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=33x x k x f x h 则()()()
()2
42''121x k kx x k x f x h ---=+-= ∴当4
20k k x -＜＜时，()0'＜x h ∴()x h 在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-42,
0k k 上单调递减 当420k k x -＜＜时，()()0h x h ＜=0即()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+33
x
x k x f ＜ ∴2＞k ，()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+33x x k x f ＞并非对()1,0∈x 恒成交，综上可知，k 的最大值为2.。