(好题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（ ）．
A ．2
B ．5
C ．15
D ．10 2．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
3．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）
A ．18π
B ．36π
C ．40π
D ．72π
4．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
B ．若m α⊂，//αβ，则//m β
C ．若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥
D ．若l αβ=，//m α，//m β，则//m l
5．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（ ） A ．325B ．522C ．326] D ．6，22] 6．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）
A ．,γβγα≤≤
B ．,βαβγ≤≤
C ．,βαγα≤≤
D ．,αβγβ≤≤ 7．已知点A ，B ，C 在半径为5的球面上，且214AB AC ==，27BC =，P 为球面上的动点，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）
A ．567
B ．527
C ．497
D ．147 8．已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至P AD '△，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163
，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．16π
C ．24π
D ．32π 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为（ ）
A ．16
B ．13
C ．1
D ．2
10．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ）
A 2
B ．22
C ．12
D ．32
11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）
A ．16
B ．13
C ．23
D ．2
12．已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,42AB BD ==，若60BAD ︒∠=，则异面直线1B C 与1AD 所成的角为（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
二、填空题
13．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为___________．（写出所有正确结论编号）
15．正方体1111ABCD A B C D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A B 的中点，过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，则此截面的面积是_______________．
17．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．
18．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________． 19．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.
20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
三、解答题
21．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm )，
（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；
（2）求该几何体最长的棱长.
22．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD ==，1DC =，5CB =．
（1）证明：平面SAD ⊥平面SAB ；
（2）求三棱锥C SAB -的体积．
23．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，1O 是底面1111D C B A 的中心.
（Ⅰ）求证：1//O B 平面1ACD ；
（Ⅱ）求二面角1D AC D --的平面角的余弦值.
24．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面
,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．
25．如图，在三棱锥A BCD -中，2,22,23,BC BD AB CD AC AB BD =====⊥
（1）证明：平面ABC ⊥平面ABD ．
（2）在侧面ACD 内求作一点H ，使得BH ⊥平面ACD ，写出作法（无需证明），并求线段AH 的长．
26．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.
（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；
（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC//OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可.
【详解】
连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，
因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC//OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，
由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 则145BE DE ==+=1122222
OD BD ==⨯= 因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，
210sin 55
OD OED DE ∠=
==． 故选：D.
【点睛】
方法点睛： 求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 2．C
解析：C
【分析】
由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可.
【详解】
由题意：底面ABCD 为正方形，
侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，
面PAD 面ABCD AD =，
PA ⊥平面ABCD ，
分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，
连接CM ，AM ，
∵PM ∥AD ，AD ∥BC ，
PM ＝AD ，AD ＝BC ．
∴ PBCM 是平行四边形，
∴ PB ∥CM ，
所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．
设PA ＝AB ＝a ，
在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a =
==， ∴三角形ACM 是等边三角形．
所以∠ACM 等于60°，
即异面直线PB 与AC 所成的角为60°．
故选：C.
【点睛】
思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 3．D
解析：D
【分析】
先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可.
【详解】
如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球
球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122
ON AP ==，4AN =，故()224232R =+
=2441872S R πππ==⨯=.
故选:D.
【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法. 4．C
解析：C
【分析】
利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的.
【详解】
对于A ，如图，设l α
β=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n 上），
过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥.
因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥,
因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB .
设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，
因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角. 因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥，
故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.
对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，
过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，
因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ， 而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l α
β=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.
对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，
1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.
故选：C. 【点睛】
思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.
5．A
解析：A 【分析】
分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案． 【详解】
如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1， ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ； 连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ， 可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，
则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ． 又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．
又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．
在Rt △AA 1M 中，AM =
==
同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =
△AMN 为等腰三角形．
当P 在MN 的中点时，AP ，
当P 与M 或N 重合时，AP
∴线段AP 长度的取值范围是2⎡⎢⎣． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.
6．A
解析：A 【分析】
由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，
PAC
ABC
S
S
≤，进而可比较,βγ的大小
【详解】
解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，
因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以1
2
ABC
S AB AC =
⋅, 因为1
sin 2
PAC
S AC AP PAC =
⋅∠，AB AP =， 所以PAC
ABC
S
S
≤，
令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211
,33
P ABC ABC B PAC
PAC
V S d V S d --=⋅=⋅
所以12d d ≤，
因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，
所以21sin ,sin d d AB PA
βγ=
= 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥
因为,(0,]2
π
βγ∈
所以βγ≥， 故选：A 【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题
7
．A
解析：A 【分析】
求出球心到平面ABC 的距离，由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值，再由体积公式可得P ABC -体积的最大值． 【详解】
如图，M 是ABC 的外心，O 是球心，OM ⊥平面ABC ，当P 是MO 的延长线与球面交点时，P 到平面ABC 距离最大，
由214AB AC ==，27BC =，得72
cos 4214
ACB ∠=
=，则14
sin 4
ACB ∠=
， 214
28
sin 14
AB AM CB =
==∠，4AM =， 2222543OM OA AM =-=-=，358PM =+=，
又1114sin 2142777224
ABC S AC BC ACB =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 所以最大的1567
77833
P ABC V -=⨯⨯=
． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求三棱锥的体积，解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置，根据球的性质易得结论．当底面ABC 固定，M 是ABC 外心，当PM ⊥平面ABC ，且球心O 在线段PM 上时，P 到平面ABC 距离最大．
8．C
解析：C 【分析】
分析出当平面P AD '⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD '-的体积取最大值，求出AD 、
P A '的长，然后将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-，计算出该长方体的体
对角线长，即为外接球的直径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】
取AD 的中点E ，连接P E '，由于P AD '△是以P '为顶点的等腰直角三角形，则
P E AD '⊥，
设AD x =，则1122
P E AD x '=
=， 设二面角P AD B '--的平面角为θ，则四棱锥P ABCD '-的高为1
sin 2
h x θ=， 当90θ=时，max 12
h x =
， 矩形ABCD 的面积为4S AB AD x =⋅=，2111216433233
P ABCD V Sh x x x '-=≤⨯⨯==，解得22x =.
将四棱锥P ABCD '-补成长方体P AMD QBNC '-， 所以，四棱锥P ABCD '-的外接球直径为
22222226R P N P A P D P Q AD AB ''''==++=+=，则6R =，
因此，四棱锥P ABCD '-的外接球的表面积为2424R ππ=. 故选：C.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
9．B
解析：B 【分析】
根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】
由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：
所以该几何体的体积为111121323
V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】
关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.
10．B
解析：B 【分析】 连接11A N B A
B =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判
定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】
连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：
因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为22111115142MB MC C B =
+=
+=2215
142
MA MC CA =+=+=
， 所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MN
A B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，
∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为111121122B N AB ==+=
，所以点1B 到截面1A BM 2
， 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：
（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；
（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n
⋅=
即可求解出点A 到平面α的距离.
11．C
解析：C 【分析】
根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】
根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：
该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2； 且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，
所以112=221=
32
3
V ⨯⨯⨯⨯， 故选：C. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：
（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称； （2）根据三视图还原几何体； （3）利用椎体体积公式求解即可.
12．A
解析：A 【分析】
把1AD 平移到1BC ，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角． 【详解】 连接1,BD BC ，
∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，
22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，
∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1B C 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)
为异面直线1B C 与1AD 所成的角，
由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1B C 与1AD 所成的角为90°. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
二、填空题
13．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最 解析：42
【分析】
把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得． 【详解】
由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2
APA π
'∠=， 则2442AA '=
⨯=．
故答案为：42．
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段
最短求解．
14．①③④【分析】由题意在正方体中结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果【详解】对于①由平面平面并且四点共面同理可证故四边形一定是平行四边形故①正确；对于②若是正方形有又且平面又平面与经过平
解析：①③④ 【分析】
由题意，在正方体中，结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果 【详解】
对于①，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且 B 、E 、F 、1D 四点共面，
1//F ED B ∴，
同理可证，1//FD EB ，故四边形1BFD E 一定是平行四边形，故①正确； 对于②，若1BFD E 是正方形，有1ED BE ⊥，又 11A D BE ⊥，且11
11A D ED D =，
BE ∴⊥平面11ADD A ，又 AB ⊥平面11ADD A ，
与经过平面外一点作已知平面的垂线有且只有一条相矛盾，故②错误；
对于③，由图得，1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确； 对于④，当点E 和F 分别是对应边的中点时，:
平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，故④正确． 故答案为：①③④ 【点睛】
方法点睛：本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档题.
15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面
解析：2． 【分析】
根据题意得1BD ⊥平面1AB C ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接
,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三
角形EFG 边周长问题，又2
3
GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】
解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：
易得1BD ⊥平面1AB C ，
在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB == 连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF B C 根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG 所以1BD ⊥平面EFG
所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹， 因为12
233
GE EF GF ===
⨯=
所以动点P 的运动轨迹周长为2
323
GE EF GF ++=⨯= 故答案为：2 【点睛】
关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1AB C 及平面1//AB C 平面EFG 得到线段
,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.
16．【分析】取的中点分别为连接先证明四边形是平行四边形再利用面面平行的判断定理证明平面平面可得平行四边形即为所求的截面再计算其面积即可【详解】取的中点分别为连接因为所以四边形是平行四边形所以因为所以四边 解析：26
【分析】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，先证明四边形
1A MCN 是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面1//PBC 平面1A MCN ，可
得平行四边形1A MCN 即为所求的截面，再计算其面积即可. 【详解】
取AB ，11D C 的中点分别为,M N ，连接11,,,,A M MC CN A N PM ，
因为11A P NC ，所以四边形11A PC N 是平行四边形，所以1
1A N PC ，
因为1PM CC 所以四边形1PMCC 是平行四边形，所以1MC PC ， 所以1A N MC ，所以四边形1A MCN 是平行四边形， 因为11//PC A N ，1PC ⊄平面1A MCN ，1A N ⊂平面1A MCN ， 所以1//PC 平面1A MCN ， 同理可证//PB 平面1A MCN ， 因为1PC PB P ⋂=，
所以平面1//PBC 平面1A MCN ，
因此过点1A 作与平面1PBC 平行的截面，即是平行四边形1A MCN ， 连接MN ，作1A H MN ⊥于点H ，
由11AM A N ==，MN =
可得1A H ==
所以1111
22
A MN
S
MN A H =⨯⨯=⨯=，
所以平行四边形1A MCN 的面积为12A MN
S =
故答案为：【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是找出过点1A 与平面1PBC 平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形1A MCN ，先求四边形一半的面积，乘以2即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积.
17．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为
解析：3
4
【分析】
取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角
V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值. 【详解】
取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：
VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =1
22
VO AB ∴=
= 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠，
由余弦定理得2223
cos 24
VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅，
因此，二面角V AB C --的余弦值为3
4
. 故答案为：34
. 【点睛】
本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.
18．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想 解析：
163
π
【分析】
P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则
()2
2211R CO R PO =+-，解得答案.
【详解】
PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，
故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB =
=，1133PO ==， 设球半径为R ，则()2
2211R CO R PO =+-，解得23R =2
1643S R ππ==. 故答案为：
163
π
.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π
【分析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423
h r -=，解得3
3h r =；
所以()2
3222334S rh r r r r πππ⎛⎫==-
=- ⎪ ⎪⎝⎭
圆柱侧； 当2r
时，S 圆柱侧取得最大值为43π
故答案为：43π. 【点睛】
本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.
20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：
494
π
【详解】
取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，
所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.
所以球心在直线SD 上，所以()2
232R R =+-，得74
R =， 所以2
4944
S R π
π==
． 三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）4cm . 【分析】
（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；
（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，
Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长． 【详解】
（1）
（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为
D 2,3,1,4,2,=1S
E cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，
BD AC ⊥，3BD cm =，
在等腰ABC 中，222313cm AB AC ==+ 在Rt SEA △中，22222313cm SA SE AE =+=+ 在Rt SEC △中，2222215cm SC SE CE =+=+= 在Rt BDE △中，22223110cm BE BD DE =
+=+
SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥
在Rt SEB △中，22222(10)14cm SB SE BE =
+=+=
在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<， 所以最长的棱为AC ，长为4cm 【点睛】
关键点点睛：本题考查几何体的三视图，以及棱锥的性质，解决本题的关键点是作出
SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，由三视图得出等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △，分别求出线段长度，得出答案，考查学生空间想象能力与计算能力，属于中档题．
22．（1）证明见解析；（2）43
. 【分析】
（1）由SD ⊥平面ABCD ，得AB SD ⊥，从而可证AB ⊥平面SAD ，然后得证面面垂直；
（2）在直角梯形中求得ABC 的面积，以ABC 为底面，三棱锥的高为SD ，这样可求得体积． 【详解】
解：（1）证明：因为SD ⊥平面ABCD ，又AB 平面ABCD ，
所以AB SD ⊥，
又AB AD ⊥，AD ⊂平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，SD
AD D =，所以AB ⊥平面
SAD ．
又AB 平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SAD ．
（2）在下底面内过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ． 因为AB AD ⊥，且AB
CE ，所以//AD CE ，又//CD AB ．
所以四边形ADCE 为矩形，故1AE CD ==，2CE AD ==， 在Rt BCE 中，221BE CB CE =-=， 所以2AB AE EB =+-， 所以11
22222
ABC S AB CE ⋅=⨯⨯=
=△， 114
22333
C SAB S ABC ABC V V S S
D --==⋅=⨯⨯=△．
【点睛】
思路点睛：本题考查证明面面垂直，求三棱锥的体积．证面面垂直，一般先证线面垂直，根据线面垂直的判定定理可得．求棱锥的体积时，如果高不易得，则可换三棱锥的底，以三棱锥的任何一个面作为底面，只要高易求，则可求体积．本题中就是ABC 为底面，高为SD ．
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6
3
. 【分析】
（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ，可证11//O B D O ，即可得证； （Ⅱ）依题意可得1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角，再根据锐角三角函数计算可得； 【详解】
（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接1D O ，连接11B D ， 由长方体的性质知11BO O D =，且11//BO O D ， 故四边形11BO D O 是平行四边形， 所以11//O B D O .
又因为1D O ⊂平面1ACD ，1O B ⊄平面1ACD ， 所以1//O B 平面1ACD .
（Ⅱ）解：设122AB BC AA ===，由长方体底面ABCD 是正方形，得DO AC ⊥. 因为11D A D C =，O 是AC 的中点，所以1D O AC ⊥， 所以1D OD ∠是二面角1D AC D --的平面角.
在直角三角形1D DO 中，190D DO ∠=︒，易得11=D D ，
2
21122222
DO BD ==+=，()()
2
2
2211523D O D C OC =-=
-=
得116
cos 3
DO D OD D O ∠=
= 所以二面角1D AC D --6
. 【点睛】
作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
24．（1）证明见解析；（2）22
. 【分析】
（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面
PAC ；
（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法
P BCE E PBC V V --=求解.
【详解】
解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD BC ∴⊥面PAB ， 又PA ⊂面PAB PA BC ∴⊥
又因为由已知PA PB ⊥
且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC
∴面PAC ⊥面PBC .
(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥ ∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PAB
PO ∴⊥面ABCD
由11
33
BCE
E PBC
P BCE PBC
BCE PBC
S
PO
V V S h S PO h S
--=⇒=⇒=
，由已知可求得1PO =，
1BCE
S
=，2PBC
S
=，所以2
2
h =
. 所以点E 到平面PBC 的距离为
22
.
【点睛】
（1）证明面面垂直的核心为证明线面垂直，要证明线面垂直只需郑敏面外的一条弦和面内的两条相交线垂直即可；
（2）点到面的距离求解一般采用等体积法求解，也可采用空间向量法求解. 25．（1）证明见解析；（2）答案见解析，10
5
AH =. 【分析】
（1）由长度以及勾股定理逆定理可得,AB BC BD BC ⊥⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得结果.
（2）取CD 的中点E ，然后根据BH ⊥平面ACD 的判定定理找到点H ，计算
,BE AE ，使用等面积法可得BH ，最后简单计算可得AH .
【详解】
（1）证明：因为2,22,23BC
BD AB CD AC =====
所以222222,AB BC AC BD BC CD +=+=， 则,AB BC BD BC ⊥⊥ 因为AB
BD B =，,AB BD ⊂平面ABD
所以BC ⊥平面ABD ，
又BC ⊂平面ABC 所以平面ABC ⊥平面ABD （2）解：（作法）取CD 的中点E ， 连接AE ，过B 作BH AE ⊥，垂足H 即为要求作的点
如图。