期权定价与套利培训.ppt

b2
)dt

G x
bdz
Black-Scholes模型
股票价格的随机过程
dS Sdt Sdz
由上面的公式得
S St Sz
f
( f S
S f
t

1 2
2 f S 2
2S 2 )t f Sz
S
Black-Scholes模型
c = ∆*S-B=0.5*100-42.45=7.55美元
股票
42.45
期权
45
45
C 7.55
10 0
10
0
二叉树模型
- 在实际中，股票的价格不仅是两个值，可能有多 个值。我们可以通过缩短每一步的时间周期，采 取多步骤的方法，构造二叉树模型的方法来模拟 股票的多个值。
- 为求解多阶段的二叉树模型，我们只要重复求解 单阶段的二叉树模型即可，因此，我们首先要得 出一般的单阶段二叉树模型。
将有关式子代入得
( f t

1 2
2 f S 2
2S 2 ห้องสมุดไป่ตู้t

r( f

f S
S )t
化简得
f t
rS
f S

1 2
2 f S 2
2S2

rf
边界条件：C(T) = max[0,S(T)-K]
Black-Scholes模型
仔细观察BS微分方程，我们发现该方程不包括任何受投资 者风险偏好影响的变量。方程中出现的变量是股票当前价 格、到期时间、股价方差和无风险利率，而不独立于风险 偏好的预期收益则不在其中。
股票期权定价
- 期初的现金流出 组合1： C + Ke-rT 组合2： P + S0
- 到期日的现金流 组合1： max(ST,K),如果ST>K,用无风险投资的到期金 额K行权后，再卖出股票，现金流入ST；如果ST<K,不行 权，现金流入K。 组合2： max(ST,K),如果ST>K,看跌期权不会被行权， 现金流入ST；如果ST<K,用股票以行权价格行权，现金 流入K。
二叉树模型
- 由于C = ∆ S + L，得到
C = 1/R ×[ q×Cu + (1-q)×Cd]
q Rd ud
1q u R ud
- 将q视作股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格 是期权未来价值的期望值的贴现值。
二叉树模型
风险中性定价 - 如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无
期权定价与套利
2012年8月1日
股票期权定价
股票期权价格构成
- 股票期权的内在价值 期权的内在价值指期权的买方立即执行期权能获得的 收益。 期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的 关系。 期权的内在价值不会小于零。
Ct = max[0,St -K] Pt = max[K-St ,0]
股票期权定价
美式看涨期权与看跌期权之间关系
- 在同一股票上到期日相同、行权价格相同的美式看 涨期权和美式看跌期权的价格之间有下列关系成立
S0 – K ≤ CA – PA ≤ S0 – Ke-rT
- 对于右不等式，对于欧式期权 P = C + Ke-rT – S0, 且 C = CA, PA ≥ P - 对于左不等式，证明 S0 + PA ≤ CA + K。
这说明风险偏好不会对f的解产生影响，即所有投资者都 是风险中性的。
Black-Scholes模型
假设每个投资者都是风险中性的，利用风险中性定价模型， 欧式看涨期权的价值为：
C er(T t) E[max( ST K ,0)]
假设标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从
正态分布，
二叉树模型
在二叉树模型中，确定u,d和q是关键，应用 风险中性定价法估计这些数值。
在风险中性世界中：
- 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； - 未来现金流可以用期望值按无风险利率贴现
二叉树模型
假设r为连续复利的无风险收益率，S为期初的证
券价格，则在很小∆t末证券价格的期望值为 Sert
风险收益率R。 - 在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意q与实际
中股票上升的概率为p不同） - 看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值：
C = 1/R × {q × Cu + (1-q) × Cd}
- 一般公式为： 衍生证券价格 = (1/R)(T-t) EQ[× Payoff ] 此公式说明衍生证券的价格是其到期收益期望值的现值的 (风险中性概率)
一年后，如果股价上涨：
组合Ⅰ价值10美元，组合Ⅱ价值∆ *110-B*（1+0.06）
一年后，如果股价下跌：
组合Ⅰ价值0，
组合Ⅱ价值∆ *90-B*（1+0.06）
二叉树模型
令到期时组合Ⅰ和组合Ⅱ的价值相等，有
股票∆ ＝0.5股 初始资金B＝42.45美元。
显然组合Ⅰ和组合Ⅱ在期初的价值也应相等，否则存在套利机会。 因此，看涨期权的价值
- 下限
C ≥ MAX(S0 - Ke-rT, 0）, P ≥ MAX(Ke-rT - S0, 0) CA> MAX(S0 - K, 0）, PA≥ MAX(K - S0, 0)
股票期权定价
美式期权的提前执行
- 对有效期内无分红的美式买入期权，在到期日之前的 任何时间提前执行都不是最优的。
- 由于是买入期权，持有者在到期日之前的某一时间执行期权的 惟一理由是股票在当时的价格明显高于期权确定的执行价格。
构造如下无风险组合：
f f S S
该组合在t 后必定没有风险，因此，该组合
在 t 中的瞬时收益率一定等于 t 的无风险 收益率。


f

f S
S
( f t

1 2
2 f S 2
2S 2 )t
这样有
Black-Scholes模型
rt
Cu = max [(Su-k),o] - 如果股票价格下降：
Cd = max [(Sd-k),o]
二叉树模型
买入∆ 份股票,并以无风险利率借入L 现金以 复制看涨期权： ∆Su – RL = Cu ∆Sd – RL = Cd 解之，得： ∆ = (Cu - Cd)/(Su - Sd ) L = (uCd- dCu)/[R×(u-d)]
股票期权定价
二叉树定价模型
- 原理：构造一个证券组合，其收益与期权正好相同(现 金流复制方法)
把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以得出股 票在期权到期日有限个确定的价格状态。
时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于真 实的价格。当二项式模型的区间长度很小，区间个 数达到无穷时，二项式模型收敛于Black-Scholes模 型。
股票期权定价
- 股票期权的时间价值 期权的时间价值指期权购买者为购买期权 而实际付出的期权费超过该期权的内在价 值的那部分价值。 时间价值=期权价格-内在价值
期权价格的上下限
- 期权确定的价格高于其上限或低于其下限， 那么在股票市场或期权市场上就会出现套利 的机会。
股票期权定价
- 上限
看涨期权：C≤S0 ， CA≤S0 看跌期权：P≤Ke-rT ， PA≤K
二叉树模型
符号 S：标的物现行价格 u：标的物价格可能上涨倍率（u 1） d：标的物价格可能下降倍率（d 1） R = 1+单周期的无风险利率 为了防止出现套利机会，要求： d<R<u
当股票价格上升时， Su = u × S ； 当股票价格下降时， Sd = d × S
二叉树模型
在到期日，期权的盈亏为： - 如果股票价格上升：
u e(r- 2/ 2)t 2 t d e(r- 2/ 2)t- 2 t
Black-Scholes模型
假设条件
- 期权的标的物为一风险资产，允许卖空 - 在期权到期日前，标的资产无任何收益和支付。 - 标的资产的交易是连续的，其价格的变动也是连续的，均匀
的，既无跳空上涨，又无跳空下跌。标的资产价格的波动性 为一已知常数。 - 存在着一个固定不变的无风险利率，交易者可以按此利率无 限制地借入或贷出。 - 期权是欧式的，到期日前不执行，不存在无风险套利机会 - 标的物的价格服从于对数正态分布，股票的收益率服从正态 分布。
t)

1 2
σ
T-t
应用平价公式，可得到股票欧式看跌期权定价公式
P Ker(T t)[1- N(d2 )] - S[1- N(d1)] Ker(T t) N(-d2 ) - SN(-d1 )
Black-Scholes模型
Black-Scholes模型
Black-Scholes模型
Ito过程与Ito引理 - Ito过程
dx a(x, t)dt b(x, t)dz dz dt
- Ito引理 若变量x遵从Ito过程，则变量x与t的函数G将遵从 下列过程
dG

( G x
a

G t

1 2
2G x 2
Sert qSu (1 q)Sd
对一个价格遵从几何布朗运动的股票来说，在∆t
内证券价格变化的方差为 S2 2（t
） S ~ (t, t )
S
σ为股票价格的波动标准差。根据方差的定义：
二叉树模型
S 2 2t qS 2u2 (1 q)2 S 2d 2 S 2[qu (1 q)d ]2
- 失去行权费用在剩下期限内的利息； - 由于持有期内股票不分红，执行期权并持有股票无额外收益 - 如果期权到期前股票市场价格下跌，会出现更大的损失。
- 当一个美式看跌期权处于明显的盈利位置时，期权的 持有者应立即执行期权，而不必持有期权。
股票期权定价
看跌期权-看涨期权平价关系（Put-Call Parity） - 在同一股票上到期日相同、行权价格相同的欧式看涨 期权和欧式看跌期权的价格之间有下列关系成立： C + Ke-rT = P + S0 - 对于无套利机会的市场，两个在到期日现金流完全相 同的组合，期初的现金流必定也完全相同。 - 考虑两个投资组合： 组合1：买入一份看涨期权，并以数额Ke-rT做无风险投 资； 组合2：买入一份看跌期权和一股股票
假设d=1/u（Cox-Ross-Rubinstein条件），解上面
的三式，得u, d, and q的估计值为：
u eσ Δt d e-σ Δt
q ert d R d ud ud
f ert [qfu (1 q) fd ]
二叉树模型
CRR方法不是构造二叉树的唯一方法。可以令q=0.5来代 替上面分析中d=1/u的假设。则对于微小 t ，忽略其高 阶小量，可以得出
ln ST
2
~ [ln S (r )(T 2
t),
T t]
Black-Scholes模型
对上式做积分，得到Black-Scholes 定价公式
C SN(d 1 ) Ker(T t) N(d 2 )
d2 d1 σ T - t
d1

ln( S ) K σ
r(TT-t
二叉树模型
单步二叉树模型（一个实例）
股价S＝100美元 无风险利率r＝0.06 执行价格X＝100
假设该股价一年后将会变为90美元（D＝0.9）
或110美元（U＝1.1）
则该股票，且一年到期的看涨期权 c=?
考虑两个组合
组合Ⅰ：一份看涨期权多头
组合Ⅱ： ∆股股票多头和初始资金为B美元的空头
在期末，右式为MAX(ST，K)+K(erT-1），左式为 MAX(ST，K)
期末价值高的组合,其期初的价值必定高(期限相同).
股票期权定价
定价原理
- 无套利定价原理 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。 在到期日现金流完全相同的两个组合，它们期初的现 金流必定也完全相同。
- 定价方法 二叉树定价方法 Black—Scholes定价公式
两阶段二叉树模型
Su2 Su
Cu Cuu
S
Sud C
Sd
Cd
Cud
Sd2
Cdd
两阶段二叉树模型
根据单阶段模型：
Cu = (q × Cuu + (1-q) × Cud) / R Cd = (q × Cud + (1-q) × Cdd) / R
当得到Cu、Cd，再使用单阶段模型：
qC)2=×1C/dRd 2}×{q2×Cu +2×(1- q)×q×Cud+(1-