2021年全国教师资格证考试-中学笔试科目三《学科知识与教学能力》模拟卷3-初中数学
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6
sin2 cos2 cos(2 )
A．1
B． cos2 cos2 cos2
C．0
D．-1
5．关于离散型随机变量 X ，下列说法错误的是（ ）．
A．二项分布的概率分布 P X k Cnk pk 1 p nk k 0,1, 2, 3n, 0 p 1
B．泊松分布的概率密度为 P X
C．会进行符号间的转化
D．能选择适当的程序和方法解决用符号所表述问题
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．在 R4 中，求一单位向量与 (1,1, 1,1), (1, 1, 1,1), (2,1,1,3) 正交．
10．对 f (x) ln(1 x) 应用 Lagrange 中值定理，试证：对 x 0 有
4
五、案例分析题（本大题共 1 小题，共 20 分） 16．下面是初中“勾股定理逆定理”的教学案例片段： 教师请学生回忆勾股定理的内容，并尝试写出其逆命题．下面是学生们的回答： 学生 1：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”） 边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²+b²=c²． 学生 2：逆命题是指条件和结论交换后得到的新命题，所以其逆命题是：若一个三 角形的三条边长为 a，b，c，且三边满足 a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形． 教师肯定学生的回答，并引导学生思考：勾股定理在之前我们已经利用几何法进行 了证明，那它的逆命题正确吗？大家可以画一画． 学生画了边长分别为 3，4，5；5，12，13 等三角形，这些三角形的三边满足 a²+b²=c²， 并借助量角器测量得到这些三角形是直角三角形．猜测逆命题是正确的．教师进行提问： “测量与手工作图时会存在误差，不能作为严谨的证明，大家可以运用之前学习的知识 对该命题进行证明吗？在该证明题中，已知条件与待求证的内容分别是什么？” 学生根据对逆命题的分析与作图得到：如图，已知条件为在 ΔABC 中，AB=c，AC=b， BC=a，若 a2 b2 c2 ，求证： C 90 ．
学生结合动手操作与对全等三角形性质的应用，联想到要证明一个角为直角，可以 构造另一个直角三角形，先证明两个三角形全等，再运用全等的性质得到对应角相等．
根据以上材料回答问题： （1）该教师让学生回忆勾股定理内容并说出其逆命题，请简述其教学意图；（6 分） （2）根据材料中的分析思路，写出勾股定理逆定理的证明过程；（8 分） （3）总结该知识点教学的学生思维过程，并谈一谈培养了学生的哪些能力．（6 分）
）．
A．平行
B．垂直
C．斜交
D．直线在平面上
7．下列数学方法中，以“多米诺骨牌游戏”为现实模型的是（ ）．
1
A．分析法
B．同一法
C．反证法
D．数学归纳法
8．2011 版《义务教育数学课程标准》指出符号只要表现在（ ）．
A．能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示
B．能够理解并运用符号表示数量、数量关系和变化规律
k
k k!
e
k
0,1, 2, 3n,
0
C．几何分布的概率密度为 P X k p 1 pk1 k 0,1, 2, 3, 0 p 1
D．泊松分布的参数 是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数
6．直线 L :
x3 2
y4 7
z 3
与平面 : 4x 2y
2z 3 0 的位置关系为（
13．学生的数感主要表现在哪些方面？
3
三、解答题（本大题共 1 小题，共 10 分）
14．求复数域上的线性空间V 的线性变换 A 的特征值和特征向量．已知 A 在一
组基下矩阵为：
1 1 1 1
A
1 1
1 1
1 1
1 1
．
1
1 1
1
四、论述题（本大题共 1 小题，共 15 分） 15.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综 合与实践”的教学特点．
5
六、教学设计题（本大题共 1 小题，共 30 分） 17．求解一元二次方程是初中数学的重要知识点，其中公式法是求解一元二次方程 的通用方法 （1）请列举出解一元二次方程的方法，并说明各自的适用范围．（12 分） （2）设置公式法求解一元二次方程的新课导入环节，并说明设计意图．（9 分） （3）出示关于一元二次方程的习题，要求可用多种方法求解并解答．（9 分）
0
ln
1
1
x
1 x
1．
2
11．在 f (x1, x2 , x3 ) (x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 中， （1） 取何值时， f 是正定的？ （2） 取何值时， f 是负定的？ （3）当 2 和 1 时， f 是什么类型的？
12.如何认识数学的抽象性？在数学教学中如何处理抽象与具体之间的关系，请结 合实例谈谈你的看法．
2021 下教师资格考试数学模拟卷-初级（二）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．设
f
0
0 ，则 lim x0
f
x2 x2
存在是 f x 在 x 0 可导的（
）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．即充分又非必要条件
2．设 A 为 4 阶可逆方阵，则 5A （ ）．
A． A 4
B． 625A
C． 125 A
D． 5 A
3．由 y x3, x 2, y 0 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积为（ ）．
A．
128 7
B．
128 7
C．
64 7
D．) 4．计算行列式 sin2 cos2 cos(2 ) （ ）．
sin2 cos2 cos(2 )
A．1
B． cos2 cos2 cos2
C．0
D．-1
5．关于离散型随机变量 X ，下列说法错误的是（ ）．
A．二项分布的概率分布 P X k Cnk pk 1 p nk k 0,1, 2, 3n, 0 p 1
B．泊松分布的概率密度为 P X
C．会进行符号间的转化
D．能选择适当的程序和方法解决用符号所表述问题
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．在 R4 中，求一单位向量与 (1,1, 1,1), (1, 1, 1,1), (2,1,1,3) 正交．
10．对 f (x) ln(1 x) 应用 Lagrange 中值定理，试证：对 x 0 有
4
五、案例分析题（本大题共 1 小题，共 20 分） 16．下面是初中“勾股定理逆定理”的教学案例片段： 教师请学生回忆勾股定理的内容，并尝试写出其逆命题．下面是学生们的回答： 学生 1：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”） 边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²+b²=c²． 学生 2：逆命题是指条件和结论交换后得到的新命题，所以其逆命题是：若一个三 角形的三条边长为 a，b，c，且三边满足 a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形． 教师肯定学生的回答，并引导学生思考：勾股定理在之前我们已经利用几何法进行 了证明，那它的逆命题正确吗？大家可以画一画． 学生画了边长分别为 3，4，5；5，12，13 等三角形，这些三角形的三边满足 a²+b²=c²， 并借助量角器测量得到这些三角形是直角三角形．猜测逆命题是正确的．教师进行提问： “测量与手工作图时会存在误差，不能作为严谨的证明，大家可以运用之前学习的知识 对该命题进行证明吗？在该证明题中，已知条件与待求证的内容分别是什么？” 学生根据对逆命题的分析与作图得到：如图，已知条件为在 ΔABC 中，AB=c，AC=b， BC=a，若 a2 b2 c2 ，求证： C 90 ．
学生结合动手操作与对全等三角形性质的应用，联想到要证明一个角为直角，可以 构造另一个直角三角形，先证明两个三角形全等，再运用全等的性质得到对应角相等．
根据以上材料回答问题： （1）该教师让学生回忆勾股定理内容并说出其逆命题，请简述其教学意图；（6 分） （2）根据材料中的分析思路，写出勾股定理逆定理的证明过程；（8 分） （3）总结该知识点教学的学生思维过程，并谈一谈培养了学生的哪些能力．（6 分）
）．
A．平行
B．垂直
C．斜交
D．直线在平面上
7．下列数学方法中，以“多米诺骨牌游戏”为现实模型的是（ ）．
1
A．分析法
B．同一法
C．反证法
D．数学归纳法
8．2011 版《义务教育数学课程标准》指出符号只要表现在（ ）．
A．能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示
B．能够理解并运用符号表示数量、数量关系和变化规律
k
k k!
e
k
0,1, 2, 3n,
0
C．几何分布的概率密度为 P X k p 1 pk1 k 0,1, 2, 3, 0 p 1
D．泊松分布的参数 是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数
6．直线 L :
x3 2
y4 7
z 3
与平面 : 4x 2y
2z 3 0 的位置关系为（
13．学生的数感主要表现在哪些方面？
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三、解答题（本大题共 1 小题，共 10 分）
14．求复数域上的线性空间V 的线性变换 A 的特征值和特征向量．已知 A 在一
组基下矩阵为：
1 1 1 1
A
1 1
1 1
1 1
1 1
．
1
1 1
1
四、论述题（本大题共 1 小题，共 15 分） 15.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综 合与实践”的教学特点．
5
六、教学设计题（本大题共 1 小题，共 30 分） 17．求解一元二次方程是初中数学的重要知识点，其中公式法是求解一元二次方程 的通用方法 （1）请列举出解一元二次方程的方法，并说明各自的适用范围．（12 分） （2）设置公式法求解一元二次方程的新课导入环节，并说明设计意图．（9 分） （3）出示关于一元二次方程的习题，要求可用多种方法求解并解答．（9 分）
0
ln
1
1
x
1 x
1．
2
11．在 f (x1, x2 , x3 ) (x12 x22 x32 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 中， （1） 取何值时， f 是正定的？ （2） 取何值时， f 是负定的？ （3）当 2 和 1 时， f 是什么类型的？
12.如何认识数学的抽象性？在数学教学中如何处理抽象与具体之间的关系，请结 合实例谈谈你的看法．
2021 下教师资格考试数学模拟卷-初级（二）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．设
f
0
0 ，则 lim x0
f
x2 x2
存在是 f x 在 x 0 可导的（
）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．即充分又非必要条件
2．设 A 为 4 阶可逆方阵，则 5A （ ）．
A． A 4
B． 625A
C． 125 A
D． 5 A
3．由 y x3, x 2, y 0 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的体积为（ ）．
A．
128 7
B．
128 7
C．
64 7
D．) 4．计算行列式 sin2 cos2 cos(2 ) （ ）．