陕西省西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县2023届高三上学期联考(一)文科数学试题(含解析)

2023届西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县高三年级联考（一）
文科数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足．则（）
A
B
C．D．5
2．设集合，，且，则（）A．－4B．－2C．2D．4
3．已知，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在数列中，，则（）
A．36B．15C．55D．66
5．已知，则（）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为（）
A
B
C
D
7．已知，，且a与b的夹角为
，则（）
A
B．C
D
()
1i34i
z
-=-z=
5
2
{}
240
A x x
=-≤{}
20
B x x a
=-≤{}
21
A B x x
=-≤≤
a= a∈R
1
3
a<
1
3
a>
{}
n
a
1
1
a=
1
1
n n
a a n
+
=++
10
a=
4
sin
65
x
π⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos
3
x
π
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
4
5
-
3
5
-
4
5
3
5
22
22
1
y x
a b
-=()
4,2
1
a=2
b=
6
π
a-
8．从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：cm ）绘制成频率分布直方图，若要从身高在
，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取32人参加一次活动．则从身
高在内的学生中选取的人数应为（
）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9．某风景区在大门外新建了一个标志，抽象出其曲线，在如图所示的直角坐标系中，与下列函数解析式最
接近的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．10．已知函数的一个极值点为1，若a ，
，则的最小值为（ ）A ．10
B ．9
C ．8
D ．11．点M 为圆C ：上任意一点．直线过定点P ，则
的最大值为（ ）
A ．B
C ．D
12．函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．
13．准线方程为的抛物线的标准方程是______．
[)150,160[)160,170[]170,180[]170,180e
x
y x =⋅1
y x x
=
-lg x x y x
⋅=
cos e 1
x
x x y ⋅=
-()2
ln f x x ax bx =-++0b >21
a b
+()()2
2
211x y +++=()()131225x y λλλ+++=+MP 1
+1
+()223,0
,0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩
0a b >>()()f a f b =()f a b +(]
,0-∞[)
1,-+∞[]
1,0-(]
,1-∞-4y =
14．在代数式的展开式中，四次项的系数是______．（用数字作答）15．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则
______．
16．已知函数有两个零点，，且，则的取值范围为
______．
三、解答题：本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题．考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）
在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．（1）若，求；（2）若
，且
的面积．
18．（本小题满分12分）
已知正四面体ABCD ，M ，N 分别在棱AD 、AB 上，且，，P 为棱AC 上任意一点（P 不与A 重合）．
（1）求证：直线平面BDP ；
（2）若正四面体ABCD 的各棱长均为6．求三棱锥的体积．19．（本小足满分12分）
2022年11月29日23时03分．我国酒泉卫星发射中心用长征二号F 遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙？邓清明？张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的A 型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A 型材料更好地投入商用，拟对A 型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x （亿元）与产品的直接收益y （亿元）的数据统计如下表：序号1234567x
2
3
4
6
8
10
13
21x x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
R ()f x ()()11f x f x +=-[]0,1x ∈()2x
f x m =-()2023f =()2
f x x ax b =++1x 2x 12102x x -<<<<2z a b =-ABC △23a bc =sin sin A C =cos A 4
A π
=
a =ABC △12AM MD =1
3
AN AB =MN ∥M BDC -
y 15222740185460
建立了y 与x 的两个回归模型：
模型①：，模型②：；（1）根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小；
（2）选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型
模型①
模型②79.31
20.2
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越
．20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：，，分别为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上的任一点，且
的最大值和最小值分别为3和1，过的直线为l ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy
中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；
ˆ 4.110.9y
x =+ˆ14.4y =2
R ()7
2
1
ˆi i i y y
=-∑()()
2
2
1
7
2
1
ˆ1n
i
i
i i
i y y
R y y ==-=-
-∑∑2
R 4.1≈()22
2210x y a b a b
+=>>1F 2F 1PF 2F 1ABF △()()33ln a
f x x a x x
=-
-+0a =()f x ()f x 1C 22cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩α2C 2sin 15ρθ=1C
（2）若射线OM ：与曲线的交点为O ，A ，与曲线的交点为B ．求
的值．
23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数，．（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，都存在，使得成立，求a 的取值范围．
()03
π
θρ=
≥1C 2C AB ()121f x x x =++-()()2
g x x a a x
=++∈R ()6f x ≥1x ∈R []22,4x ∈()()12f x g x ≥
2023届西安市阎、高、蓝、周、临、鄠六区县高三年级联考（一）
文科数学参考答案
1．B （因为，所以
，所以，即
）2．C （求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：
，由于，故：，解得：．）
3．B （
，
“”是“”的必要不充分条件．）4．C （由题意得，
则．
）5．C （通过观察题目可得：
与两角整体相加得
，可由诱导公式的
）6．C （因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，因此，点在直线
上，可得
）7．A （∵，，且与的夹角为，
∴
∴
，故．）
8．B
（依题意，解得，
身高在，，三组内的学生比例为，用分层抽样的方法选取32人参加一次活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为8人．）9．C （由图象可知，满足条件的拟合函数为奇函数，在上单调递增，且，使
，对于函数，当时，，故不满足，排除A ；
()1i 34i z -=-1i 34i z -=-||5z =z =
240x -≤{}
22A x x =-≤≤20x a -≤2a B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩
⎭{}21A B x x =-≤≤ 12a
=12a =13113003a a a a ->⇔<⇔<<13a <1
3a
>11n n a a n +-=+()()()()10109982111101010921552
a a a a a a a a +⨯=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++==6
x π
-3
x π
+
2
π
4
cos cos
sin 32665
x x x ππππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221y x a b -=a
y x b =±()4,2a y x b =
2b
a
=1a = 2b = a b 6π
12a b ⋅=⨯=
222
31327a a b b --⋅+=-+⨯= a - ()0.0050.0150.0350.02101a ++++⨯=0.025a =[)150,160[)160,170[]170,1800.025:0.035:0.025:7:4=[]170,180()0,+∞()00,x ∃∈+∞()00f x =()||e 0x y x x =⋅≠0x >0y >
对于函数，当时，该函数单调递减，排除B ；对于函数
，当时，，排除D ．）10．B （对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，因为a ，，所以，当且仅当
时等号成立，所以的最小值为9．）11．D （整理直线方程得：，由得，∴，
由圆的方程知圆心，半径，∴．）
12．B （首先画出函数的图象，
设，作出的图象，由图象知，，
由，得，
由
，得，则，
∵
，则，即，
1
y x
x
=-0x >||cos e 1x x x y ⋅=
-0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
||
cos 0e 1x x x ⋅>-()2
ln f x x ax bx =-++()1
2f x ax b x
'=-
++()f x ()1120f a b '=-++=21a b +=0b >()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭13a b ==
21
a b
+()()23250x y x y λ+-++-=203250x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩11x y =⎧⎨=⎩
()1,1P ()2,1C --1r =max 11MP CP r =+=
+=()()f a f b t ==()f x 0t ≥()2
f a a t ==a =
()23f b b t =--=32
t
b --=
)
23131
112222
t a b t --+==--=--0t ≥0≥)
21
1112
m =---≤-1m a b =+≤-
此时，即的取值范围是．）
13．（由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y 轴负半轴上的抛物线，设其方程为
，则其准线方程为，得．∴该抛物线的标准方程是．）
14．（展开式的通项为，令，得，，故答
案为．）
15．（因为为定义在上的奇函数．
所以，即，又，即函数关于对称，又关于原点对称，所以函数为以为周期的周期函数．
所以）
16．（由题意，函数有两个零点，，且，
可得，画出不等式组所表示的可行域，如图所示，
目标函数，可化为直线，当直线过点点A 时，此时取得最大值；当直线过点点B
时，此时取得最小值，
()()23231f a b f m m +==--≥-=-()f a b +[)1,-+∞2
16x y =-4y =()220x py p =->42
p
y =
=8p =2
16x y =-7-7
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭()73171r r
r r T C x -+=-734r -=1r =()11717C -=-7-1-()f x R ()0101f m m =-=⇒=()21x
f x =-()1
1211
f =-=()()11f x f x +=-()f x 1x =()f x 4T =()()()()202350641111f f f f =⨯-=-=-=-()2,3-()2
f x x ax b =++1x 2x 1212x x -<<0<<()()()110
002240
f a b f b f a b -=-++>⎧⎪
=<⎨⎪
=++>⎩2z a b =-122
z b a =-122z
b a =
-122
z
b a =-
由，解得，即，
由，解得，即，
所以目标函数的最大值为，最小值为，所以的取值范围为．）
17．（1）由，得．又，所以．
由余弦定理知：
．（2）由已知，且
．故18．（1）证明：∵，∴，∵，∴，又
平面BDP ，平面BDP ，∴平面BDP ．
（2）解：设G 为底面的重心，Q 为AC 的中点，如图所示
则，，所以．
由（1）可知，且平面DBC ，平面DBC ，故平面DBC 所以点M 与点N 到平面BDC 的距离相等
所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
又三棱锥的体积与三棱锥的体积相等所以
所以三棱锥的体积为．
10240a b a b -++
=⎧⎨
++=⎩1
2a b =-⎧⎨=-⎩()1,2A --0240
b a b =⎧
⎨
++=⎩2
0a b =-⎧⎨=⎩
()2,0B -()max 1223z <--⨯-=min 2z >-2
z a b =-(
)2,3-sin
sin A C =a c =23a bc =3c b =222222991
cos 2236
b c a b b b A bc b b +-+-=
==⨯23
a bc =a =1bc =1sin 2S bc A ==
12AM MD =
13AM AD =1
3
AN AB =MN BD ∥MN ⊄BD ⊂MN ∥ABC △6BQ =
=23GB BQ ==2
643
BN =⨯=GD ==MN DB ∥MN ⊄DB ⊂MN ∥M BDC -N BDC -N BDC -D BNC -11164332M BDC D BNC BNC V V S GD --⎛==
⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎝△M BDC -
19．（1）对于模型①，对应的，
故对应的
，
故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，．（2）模型②拟合精度更高、更可靠．
故对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为．20．（1）由椭圆的性质可知，，解得，，，
所以椭圆方程为，（2）由题意分析可知直线l 的斜率不能为零，设，，l 的方程为，
联立方程，得，．
∴，，∴所以当且仅当
时取到最大值3，，即三角形面积的最大值为3．
15222740485460
387
y ++++++=
=()7
7
2
221
1
71750i
i
i i y y y
y ==-=-=∑∑2179.13
10.9551750R =-
≈2220.210.9881750
R =-≈2
22
1R R >ˆ14.472.93y
=≈3
1
a c a c +=⎧⎨-=⎩2a =1c =2223
b a
c =-=22
143
x y +=()11,A x y ()22,B x y 1x my =+22114
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=()223636340m m ∆=++>122634m y y m -+=+122
9
34
y y m -=+12
y y -=
===0m =12y y -1121
232
ABF S c y y =⨯⨯-≤△1ABF
21．（1）易知函数的定义域为．
当时，，∴．令，得；令，得；令，得．∴函数的极小值为，无极大值．
（2）．①当时，令，得；令，得．
②当时，令，得或；令．得．③当时，恒成立．
④当时，令，得或；令，得．综上，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间，减区间为；
当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为和，减区间为．
22．（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为．
根据，转化为极坐标方程为．（2）将代入，得，∴．
将代入，得，解得或（舍）．
∴．∴．
()f x ()0,+∞0a =()3ln f x x x =-()31f x x
'=-()0f x '=3x =()0f x '>3x >()0f x '<03x <<()f x ()333ln 3f =-()()()()()2222
333331a x a x a x a x a f x x x x x +-++--'=+-==0a ≤()0f x '>3x >()0f x '<03x <<03a <<()0f x '>0x a <<3x >()0f x '<3a x <<3a =()0f x '≥3a >()0f x '>03x <<x a >()0f x '<3x a <<0a ≤()f x ()3,+∞()0,303a <<()f x ()3,+∞(),3a 3a =()f x ()0,+∞3a >()f x ()0,3(),a +∞()3,a 1C 22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩α1C ()224x y -+=222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩
4cos ρθ=()03π
θρ=≥4cos ρθ=2ρ=2OA =()03π
θρ=≥2sin 15ρρθ+
=2215ρρ+=3ρ=5ρ=-3OB =1AB OA OB =-=
23．（1）函数可表示为当时，由得，当时，由得（舍去），
当时，由得，综上所述，不等式的解集为（2）由（1）知在上单调递减，上单调递增，所以；依题意可得 ∵在上单调递增，∴∴，即，∴a 的取值范围为．()f x ()()()()
311311311x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩1x ≤-316x -+≥53
x ≤-11x -<<36x -+≥3x ≤-1x ≥316x -≥73
x ≥()6f x ≥57,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
()f x (),1-∞()1,+∞()()min 12f x f ==()()min min f x g x ≥()g x []2,4()()min 23g x g a ==+23a ≥+1a ≤-(],1-∞-。