【优化方案】2015年高考数学 第九章 第3课时 二项式定理知能演练轻松闯关 新人教A版

【优化方案】2015年高考数学第九章第3课时二项式定理知
能演练轻松闯关新人教A版
[基础达标]
1．(2013·高考大纲全国卷)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )
A．28 B．56
C．112 D．224
解析：选C．该二项展开式的通项为T r＋1＝C r8x8－r2r＝2r C r8x8－r，令r＝2，得T3＝22C28x6＝112x6，所以x6的系数是112.
2．(2014·某某某某模拟)(3
y＋x)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的
大致形状为( )
解析：选D．由题意得C25(3
y)5－2(x)2＝10，故xy＝1，x>0，y>0，得y＝
1
x
，x>0.
3．(2013·高考某某卷)使(3x＋
1
x x
)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为
( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选B．T r＋1＝C r n(3x)n－r(
1
x x
)r＝C r n3n－r xn－
5
2
r，当T r＋1是常数项时，n－
5
2
r＝0，当
r＝2，n＝5时成立．
4．(1＋ax＋by)n展开式不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝5
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
解析：选D．令x＝0，y＝1，则(1＋b)n＝243＝35，
令y＝0，x＝1，则(1＋a)n＝32＝25，
则可取a＝1，b＝2，n＝5.
5．二项式(1－x)4n＋1(n∈N)的展开式中，系数最大的项为( )
A．第(2n＋1)或(2n＋2)项
B．第(2n＋1)项
C．第(2n＋2)项
D．第2n或(2n＋1)项
解析：选B．展开式中共有(4n＋2)项，其中第(2n＋1)项与第(2n＋2)项的系数绝对值相等，但第(2n＋1)项的系数为正，而第(2n＋2)项的系数为负，故第(2n＋1)项的系数最大．6．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________．
解析：由T r ＋1＝C r 6(kx 2)6－r ＝k 6－r C r 6x 2(6－r )，得x 8的系数为k 4C 26＝15k 4，由15k 4<120得k 4
<8，因为k 为正整数，所以k ＝1.
答案：1
7．(2014·某某某某市诊断性检测)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4
，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________．
解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4
＝0.
答案：0
8．(2014·某某省名校联考)二项式(4x －2－x )6
(x ∈R)展开式中的常数项是________．
解析：∵(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 62(12－3r )x
，若T r ＋1
为常数项，则r ＝4，T 5＝15.
答案：15
9．若(3x ＋1x
)n
的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项．
解：令x ＝1，则22n
＝1 024，解得n ＝5.
T r ＋1＝C r 5(3x )5－r
(1x
)r ＝C r 5·35－r ·x 10－3r
2，
含x 的整数次幂，即使10－3r
2
为整数，
r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项，
即T 1＝243x 5，T 3＝270x 2，T 5＝15x －1
.
10．已知(a 2
＋1)n
展开式中各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2
＋
1)n
展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．
解：由⎝
⎛⎭
⎪⎫165x 2＋1x 5，得
T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫1655－r ·C r
5·x 20－5r 2. 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，
∴r ＝4，∴常数项T 5＝C 4
5×165
＝16.
又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n
.
由题意得2n
＝16，∴n ＝4.
由二项式系数的性质知，(a 2＋1)4
展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3， ∴C 24a 4
＝54，∴a ＝± 3.
[能力提升] 1．(2014·某某河西质检)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10
，则a 8＝( )
A ．－180
B ．180
C ．45
D ．－45
解析：选B ．因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10
，所以[2－(1－
x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8
＝180.
2．(2014·某某枣庄模拟)若(x ＋y )9
按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值X 围是( )
A ．(－∞，15)
B ．[4
5，＋∞)
C ．(－∞，－4
5
] D ．(1，＋∞)
解析：选D ．二项式(x ＋y )9
的展开式的通项是
T r ＋1＝C r 9·x
9－r ·y r
. 依题意，有⎩⎪⎨⎪
⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y
2x ＋y ＝1
xy <0
，
由此得⎩
⎪⎨⎪⎧x 8
·（1－x ）－4x 7
·（1－x ）2
≤0
x （1－x ）<0，
解之得x >1，即x 的取值X 围为(1，＋∞)．
3．(2014·某某省某某市统考)(2x ＋13
x
)n
的展开式中各项系数之和为729，则该展开
式中x 2
的系数为________．
解析：依题意得3n
＝729，n ＝6，二项式(2x ＋13
x
)6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )
6
－r
·(13
x
)r ＝C r 6·2
6－r
·x 6－4r 3.令6－4r 3
＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2
的系
数是C 36
·26－3
＝160.
答案：160
4．9192
除以100的余数是________．
解析：9192＝(90＋1)92
＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292
＝M ×102
＋92×90＋1(M 为整数)＝100M ＋82×100＋81.
∴9192
除以100的余数是81. 答案：81
5．已知(x ＋124x
)n
的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n ；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．
解析：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14
C 2
n 成等差数列．
∴2·12C 1n ＝1＋14
C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0.
∴n ＝8或n ＝1(舍)．
(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r
·(1241x )r ＝(12)r ·C r 8·x 4－34
r ，r ＝0，1，…，
8.
∴第三项的二项式系数为C 2
8＝28.
第三项系数为(12)2·C 2
8＝7.
(3)令4－3
4
r ＝1，得r ＝4，
∴含x 项的系数为(12)4·C 48＝35
8
.
6．(选做题)(某某交通大学自主招生考试)某二项展开式中，相邻a 项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a ，求二项式的次数及a 的值．
解：设该二项式为(m ＋t )n ，其二项式系数为C r
n (r ＝0，1，2，…，n )．
不妨设C r n ∶C r ＋1n ∶C r ＋2n ∶…∶C r ＋a －1
n ＝1∶2∶3∶…∶a ，
由C r n ∶C r ＋1
n ＝1∶2得n ＝3r ＋2；
由C r n ∶C r ＋2
n ＝1∶3得（r ＋2）（r ＋1）（n －r ）（n －r －1）＝13
.
将n ＝3r ＋2代入上式，得r ＝4，进而n ＝14，
故有C 414∶C 514∶…∶C a ＋3
14＝1∶2∶3∶…∶A ．
从而C a ＋214∶C a ＋3
14＝(a －1)∶a ，解得a ＝2或a ＝3.
事实上，当a ＝2时，C 414∶C 5
14＝1∶2；
当a ＝3时，C 414∶C 514∶C 6
14＝1∶2∶3.。