工程弹塑性力学-第一章

0.3 几个基本概念
下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有
分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。
(x, y, z) (x1, x2, x3) xi (i 1, 2,3)
xx , xy , xz , yx , yy , yz , zx , zy , zz , ij (i, j x, y, z)
• 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：
P1 1l1 1 / 3, P2 2l2 2 / 3, P3 3l3 3 / 3 (1.20)
1.1 应力张量
3
八面体（每个坐标象限1个面）
4).八面体上的应力
• 八面体面上的正应力为:
2
8 P1l1 P2l2 P3l3 1l12 2l22 3l32
后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2, 3） SNi ijl j i1l1 i2l2 i3l3
(i :自由下标，j : 哑标，i, j 1, 2, 3）
dij记号：Kroneker-delta记号
C
z
z
yx y
yz
A
zx xz
x
P
zy
zy x xy xy xz zx
z
yz y
yx
B
y
O 一点的应力状态
11 12 13
ij 21
22
23 (1.2)
31 32 33
下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y 、z方向
x
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标
变换式的九个数所定义的量叫做二阶张 量。
l1
0
及l2
0
第一组解：
l1
2 2
; l2 0 ; l3
2 2
13
1
3
2
l1
0
及l2
0
第二组解：
l1 0 ; l2
2 2
;
l3
2 2
23
2
3
2
消去l2
第三组解：
2
2
l1 2 ; l2 2 ; l3 0
12
1
2
2
因为： 1 2 3
max 1 3
min
2
工程弹塑性力学
浙江大学 建筑工程学院
绪论
0.1 课程研究对象、研究任务 0.2 基本假定 0.3 几个基本概念 0.4 参考书目
0.1 弹塑性力学的研究对象和任务
弹塑性力学:
固体力学的一个分支学科
研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边 界约束变动等作用时、弹塑性变形和应力状 态的科学。
研究对象:
简化后得
3 J1 2 J2 J3 0 (1.14)
J1 11 22 33 kk
是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相 应的三组方向余弦对应于三组主平面。
式中:
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
1 2
( ii kk
ik ki )
1
1 3
(1
2
3
)
1 3
J1
(1.21) 平均正应力
• 八面体面上的应力矢量为：
F8 2 P12 P22 P32 (1l1)2 ( 2l2 )2 ( 3l3 )2
1 3
(
2 1
2 2
2 3
)
(1.22)
• 八面体面上的剪应力为：
8
F8
2
2 8
1 3
(12
2 2
2 3
)
1 9
(1
2
3 )2
A0
ps A
剪应力
过C点可以做无穷多 个平面K
～力学的语言 z
O
x
不同的面上的应力 是不同的
n
C
A n
y
到底如何描绘一点处 的应力状态?
1.1 应力张量
一点的应力状态可由过该点的微小正平行
六面体上的应力分量来确定。
应力张量
ij yxx
xy y
xz yz
(1.1)
zx zy z
用张量下标记号法
3
SN1 11l1 12l2 13l3 1 jl j
j 1
SN 2 21l1 22l2 23l3
3
2 jl j
(1.3)
j 1
3
SN
3
31l1
32l2
33l3
3 jlj
j 1
S l Ni
ij j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
(1.16)
主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：
1
2
3
2
,
2
3
1
2
,
3
1
2
2
(1.17)
3
3
1
1
2 1
主剪应力面(1 )
1
2
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:
2 N
SN21 SN2 2
SN2 3
2 N
(1l1)2
(2l2 )2
3 、张量函数的求导
aijbkl Cijkl
张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。
ui,i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
ui, jk
2ui x jxk
2ux x jxk
, 2uy x jxk
, 2uz x jxk
0.4 主要参考书目
1 、Y.C.Fung(冯元桢)
《Foundations of Solid Mechanics》 《A first course in continuum mechanics 》
(1
3 )]
0
l2
(
2
3 )[(1
3
)l12
(
2
3
)l22
1 2
(
2
3 )]
0
1.1 应力张量
最大最小剪应力：
l1 ( 1
3 )[(1
3 )l12
( 2
3 )l22
1 2
(1
3 )]
0
l2 ( 2
3 )[(1
3 )l12
( 2
3 )l22
1 2
( 2
3 )]
0
它们分别作用在与 相应主方向成45º的 斜截面上
l12 l22 l32 1
l1,l2,l3不全等于0
11 21 31
12 22
32
13 23 0 (1.13) 33
1.1 应力张量
联合求解 l1,l2,l3：
行列式展开后得：
(11 )( 22 )( 33 ) 12 23 31 21 32 13 13 31( 22 ) 23 32 (11 ) 12 21( 33 ) 0
主平面:剪应力等于零的截面 主应力--λ:主平面上的正应力
SN1 SN 2
l1 l2
(1.7)
代入
SN1 SN 2
11l1 21l1
12l2 22l2
13l3 23l3
SN 3 l3
SN 3 31l1 32l2 33l3
(211l11
)l1 12l2 ( 22 )l2
物体的速度、加速度
在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的
如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数 目可统一地表示成：
M=rn=3n
标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
二阶以上的张量已 不可能在三维空间 有明显直观的几何 意义。
0.2 基本假定
1).假定固体材料是连续介质——连续性假定 2).物体为均匀的各向同性的 3).物体的变形属于小变形 4).物体原来是处于一种无应力的自然状态
0.3 几个基本概念
张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量
温度、质量、力所做的功
除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量
J2
11 21
12 22
22 32
23 33
33 13
31 11
(3 0 11) (0 0 2 2) (0 3 11) 6
11 12 13 J3 21 22 23 3 0 0 1 2 11 2 11 0 1 2 2 3 11 0 8
31 32 33
自由标号:
不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)内分别取数 1，2，3，…，N
哑标号:
重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求 和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。
0.3 几个基本概念
求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然
1.1 应力张量
2).一点斜面上的应力(不计体力)
斜截面外法线n的方向余弦:
cos(n, cos(n,
x1 x2
) )
l1 l2
令斜截面ABC的 面积为1
SSOOABCC
1 cos(n, x1) 1 cos(n, x2 )
l1 l2
cos(n, x3 ) l3
SOAB 1 cos(n, x3 ) l3
代入式(1.14)后得:
பைடு நூலகம்
3 3 2 6 8 0 ( 4)( 1)( 2) 0
解得主应力为:
1 4; 2 1; 3 2;
1.2 应力偏量张量
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N SN1l1 SN 2l2 SN 3l3
11l12
l2
22 2
l2
33 3
212l1l2
2 23l2l3
2 31l3l1
(1.5)
斜截面OABC上的剪应力:
N
S
2 N
1
S
2 N
2
S
2 N
3
2 N
(1.6)
1.1 应力张量
3).主应力及其不变量
1 0 0
dij 0 1 0 (1.10)
0 0 1
l12 l22 l32 1 (1.11)
联合求解 l1,l2,l3：
lili 1
(1.12)
(11 )l1 12l2 13l3 0
21l1 31l1
( 22 )l2 23l3 32l2 ( 33 )l3
0 0
13l3 0 23l3 0
(1.8)
31l1 32l2 ( 33 )l3 0
采用张量下标记号
(ij dij )l j 0 (1.9)
Kroneker delta记号
1.1 应力张量
dij记号：Kroneker-delta记号
dij
1, 0,
i i
j j
采用张量表示
方向余弦满足条件：
(1.15)
11 12 13 J3 21 22 23 ij
31 32 33
主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3 也必与坐标选择无关。
J1, J2 , J3 : 应力不变量
1.1 应力张量
若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：
J1 1 2 3 J2 (1 2 2 3 31) J3 1 2 3
2 、杨桂通
《弹塑性力学》
3 、徐秉业
《应用弹塑性力学》
《固体力学导论》 《连续介质力学导论》
第一章 弹塑性力学基础
1.1 应力张量 1.2 偏量应力张量 1.3 应变张量 1.4 应变速率张量 1.5 应力、应变 Lode参数
1.1 应力张量
1).一点的应力状态
n
lim
A0
pn A
正应力
n
lim
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
八面体（每个坐标象限1个面）
• 沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成
的图形，称为八面体。
1
3 2
• 八面体的法线方向余弦：
l1 l2 l3 l12 l22 l32 1
l1 l2 l3 1 / 3 (1.19)
或 arccos(l1) arccos(l2 ) arccos(l3) 5444 '
(3l3)2
(1l12
2l22
3l32 )2
l12 l22 l32 1
消去l3：
2 N
(12
32 )l12
(
2 2
2 3
)l22
2 3
[(1 3)l12
(2
3 )l22
3 ]2
由极值条件
n 0 及 n 0
l1
l2
l1 ( 1
3
)[(1
3 )l12
(
2
3 )l22
1 2
1 3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1)2
2 3
J12 3J2
(1.23)
1.1 应力张量
例题:
已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x＝3, y＝0, z＝0, xy＝1 , yz ＝2, zx ＝1, 应力单位为MPa。试求该点的主应力值。
解: J1 11 22 33 3 0 0 3
d ij
1, 0,
i i
j j
1 0 0
张量表示：dij 0 1 0
0 0 1
0.3 几个基本概念
张量的计算:
1 、张量的加减 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并 得到同阶的一个新张量，法则为：
Aijk Bijk Cijk
2 、张量的乘法
第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的 集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。
P
对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。
P
P
研究方法: 研究任务: 学习目的:
材料力学、结构力学:简化的数学模型
弹塑性力学:较精确的数学模型
建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求 解的问题的理论和方法。
给出初等理论可靠性与精确度的度量。
确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布 规律。 确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打 下理论基础。