新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第1课时函数概念一素养作业北师大版必修第一册

第二章 §2 2.1 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列图形中,可以作为y 关于x 的函数图象的是( D )
[解析] A 、B 、C 均存在取一个x 值有两个y 值与之对应,不是函数．只有D 中,对定义域内的任意x 都有且只有一个y 值与之对应,故选D ．
2．下列四组中的f (x )与g (x )表示相等函数的是( B ) A ．f (x )＝x ,g (x )＝
x x
B ．f (x )＝x ,g (t )＝t
C ．f (x )＝12,g (x )＝x
2x
D ．f (x )＝x ,g (x )＝|x |
[解析] A 、C 项中两函数的定义域不同,D 项中对应关系不同．故选B ． 3．(2021·吉林乾安七中高一期末测试)函数y ＝1
x ＋1
的定义域是( C )
A ．[－1,＋∞)
B ．[－1,0]
C ．(－1,＋∞)
D ．(－1,0)
[解析] 要使函数y ＝1
x ＋1
有意义,应满足x ＋1＞0,∴x ＞－1,
∴函数y ＝
1
x ＋1
的定义域为(－1,＋∞)．
4．函数y ＝－x 2
＋2x 的定义域为{－1,0,1,2,3},那么其值域为( A ) A ．{－3,0,1} B ．{－3,0,1,3} C ．{y |－3≤y ≤0}
D ．{y |－3≤y ≤1}
[解析] 由对应关系y ＝－x 2
＋2x 有 当x ＝－1时,y ＝－(－1)2
＋2×(－1)＝－3, 当x ＝0时,y ＝0,
当x ＝1时,y ＝－12
＋2×1＝1, 当x ＝2时,y ＝－22＋2×2＝0, 当x ＝3时,y ＝－32＋2×3＝－3,
所以值域为{－3,0,1}． 5．函数f (x )＝
1
x －1
＋2－x 的定义域为( B )
A ．{x |1≤x ≤2}
B ．{x |1＜x ≤2}
C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |1＜x ＜2}
[解析] 要使函数有意义,只需⎩⎨⎧x －1≥0，
x －1≠0，2－x ≥0，
解得1＜x ≤2．
所以函数的定义域为{x |1＜x ≤2}．故选B ． 6．已知函数f (x )＝3x
,则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝( D )
A ．1
a
B ．3a
C ．a
D ．3a
[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3
1
a
＝3a ．
二、填空题
7．若[a ,3a －1]为一确定区间,则a 的取值范围是__⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞__． [解析] 由题意3a －1＞a ,则a ＞1
2
．
8．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )的定义域是__[－3,0]∪[1,3]__,值域为__[1,5]__．
三、解答题 9．已知函数f (x )＝
6
x －1
－x ＋5． (1)求函数f (x )的定义域； (2)求f (－1),f (12)的值．
[解析] (1)根据题意知x －1≠0且x ＋5≥0,
所以x ≥－5且x ≠1,即函数f (x )的定义域为[－5,1)∪(1,＋∞)．
(2)f (－1)＝－5,f (12)＝6
11
－17．
10．已知f (x )＝11＋x (x ∈R ,且x ≠－1),g (x )＝x 2
＋2(x ∈R )．
(1)求f (2),g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值； (3)求g (a ＋1)．
[解析] (1)∵f (x )＝11＋x ,∴f (2)＝11＋2＝1
3．
∵g (x )＝x 2
＋2,∴g (2)＝22
＋2＝6． (2)∵g (3)＝32＋2＝11, ∴f [g (3)]＝f (11)＝
11＋11＝1
12
． (3)g (a ＋1)＝(a ＋1)2
＋2＝a 2
＋2a ＋3．
B 组·素养提升
一、选择题
1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －120
＋x ＋2的定义域为( C ) A ．⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12 B ．[－2,＋∞)
C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，
x ≥－2.
即x ≥－2,且x ≠1
2
,故选C ．
2．若函数f (x )＝x 2
＋(a －1)x ＋2,且f [f (1)]＝1,那么a 的值是( C ) A ．－32
B ．－1
C ．－3
2
或－1
D ．3
2
或1 [解析] ∵f (1)＝12＋a －1＋2＝a ＋2,
∴f [f (1)]＝f (a ＋2)＝(a ＋2)2
＋(a －1)(a ＋2)＋2 ＝2a 2
＋5a ＋4＝1．
∴2a 2＋5a ＋3＝0,即(2a ＋3)(a ＋1)＝0,
∴a ＝－3
2
或a ＝－1,故选C ．
3．(多选题)下列各组函数不表示同一函数的是( ABD )
A ．y ＝x 2－9x －3
与y ＝x ＋3
B ．y ＝x 2
－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0
(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1,x ∈Z 与y ＝2x －1,x ∈Z
[解析] A 中两函数的定义域不同,B 中对应关系不同,D 中两函数的对应关系不同,故选ABD ．
4．(多选题)下列函数中,满足f (2x )＝2f (x )的是( ABD ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
[解析] 在A 中,f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |,满足f (2x )＝2f (x )；在B 中,f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x ),满足f (2x )＝2f (x )；在C 中,f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2(x ＋1)＝2x ＋2,不满足f (2x )＝2f (x )；在D 中,f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x ),满足f (2x )＝2f (x ),故选ABD ．
二、填空题
5．函数y ＝x 2
－2x 的定义域为{0,1,2,3},则其值域为__{－1,0,3}__． 6．已知函数y ＝
kx ＋1
k 2x 2
＋3kx ＋1
的定义域为R ,则实数k 的值为__0__．
[解析] 函数y ＝
kx ＋1k 2x 2
＋3kx ＋1
的定义域是使k 2x 2
＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．
当k ＝0时,函数y ＝
kx ＋1
k 2x 2＋3kx ＋1
＝1,函数的定义域为R ,因此,k ＝0符合题意；
当k ≠0时,由函数的定义域为R ,得方程k 2x 2
＋3kx ＋1＝0无解,则Δ＝9k 2
－4k 2
＝5k 2
＜0,不存在满足条件的k 值．
综上可知,实数k 的值为0． 三、解答题
7．已知函数f (x )＝2x ＋a ,g (x )＝14(x 2＋3),若g [f (x )]＝x 2
＋x ＋1,求a 的值．
[解析] ∵f (x )＝2x ＋a ,g (x )＝14(x 2
＋3),
∴g [f (x )]＝g (2x ＋a )＝14
[(2x ＋a )2
＋3]
＝x 2
＋ax ＋14(a 2＋3)．
又∵g [f (x )]＝x 2
＋x ＋1,
∴x 2＋ax ＋14(a 2＋3)＝x 2
＋x ＋1,故a ＝1．
8．已知函数f (x )＝
x 2
1＋x
2
．
(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,f (3)与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13； (2)由(1)中求得的结果,你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
有什么关系？证明你的发现；
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12019．
[解析] (1)∵f (x )＝x 2
1＋x
2,
∴f (2)＝221＋22
＝45,f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝15, f (3)＝321＋32＝
910,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫132＝1
10． (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝1,证明如下：
f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝x 21＋x
2＋1
x 2
1＋1x
2
＝x 21＋x 2＋1
1＋x 2＝1．
(3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝1,
∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1,…,f (2019)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12019＝1．
∴原式＝f (1)＋2018＝4037
2．。