成都玉林中学必修第一册第五单元《三角函数》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312
ππ
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，则ω=（ ） A ．3
62
k -，k ∈N B ．3
62
k +，k ∈N C ．
32
D ．3
2．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
3．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1
B ．12
-
C 3
D ．
12
4．函数πsin 25y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的最小正周期是（ ） A ．
2
π B ．π
C ．2π
D ．4π
5．已知函数 ()3cos f x x a x =+，[0,]3
x π
∈的最小值为a ，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．[0,2]
B ．[2,2]-
C ．(],1-∞
D ．(],3-∞
6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2
sin 3
α=
，则()cos αβ-=（ ）
A ．
19
B ．
9
C ．19
-
D ．9
-
7．已知将向量13,2a ⎛= ⎝⎭
绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b =（ ）
A ．44⎛- ⎝⎭
B ．44⎛ ⎝⎭
C ．44⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭ D ．44⎛
⎝⎭
8．若1sin 63
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭等于（ ）.
A ．7
9-
B ．13
-
C ．
13
D ．
79
926tan 34tan 26tan 34++=（ ）
A B ．C D ．10．已知1
sin()43π
α-=，则cos()4
πα+=（ ）
A ．1
3-
B ．
13
C ．
D 11．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且
()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）
A ．45
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
12．在ABC 中，2,6
AB C π
==，则AC 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．二、填空题
13．若ππ2α<<，π02β<<，且sin α，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪
⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭______.
14．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号）
①11012f π⎛⎫=
⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增
区间是()2,63k k k ππ⎡⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣⎦
Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 15．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 16．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12
π
个单位后所得函数图像关于原点中心对
称，则sin 2ϕ=_________． 17．已知1
tan 43
πθ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，则cos2θ的值为_______． 18．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.
19．设函数2()2cos cos f x x x x m =++，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()f x 的值域为17,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则实数m 的值是________. 20．已知：3sin 25πα⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
___________． 三、解答题
21．（1）求值：4cos130tan140︒︒-；
（2）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求2
sin 22sin 1tan x x x
+-的值.
22．已知函数()2
2sin cos 2sin 1f x x x x =-+.
（1）求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求()f x 在区间,02π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值. 23．已知m ∈R ，函数222
2()1sin cos (2)|sin |3
3
f x x x m x =++-+. （1）若0m =，求()f x 的最大值； （2）若()f x 在02
x π
≤≤时的最小值为
1
2
，求m 的值.
24．设函数2
1()sin cos 2
f x x x x ωωω=+-的图象关于直线x π=对称，其中ω为
常数，且1,12ω⎛⎫∈
⎪⎝⎭
.
（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移10
π
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的
5
6
倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求实数k 的取值范围.
25．已知函数()()
2cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；
（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.得
362
k ω=+，k ∈N .
因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且
5123
πππω≥-， 解得1205
ω<≤.因此32ω=.
故选：C.
2．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3
513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
3．B
解析：B 【分析】
根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302
︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.
4．B
解析：B 【分析】
按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】
解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
的最小正周期为22T π
π==. 故选：B.
5．D
解析：D
【分析】
通过参变分离转化为
2
cos
22
2sin tan
22
x x
a
x
≤==
，即
min
tan
2
a
x
⎛⎫
⎪
≤ ⎪
⎪
⎝⎭
.
【详解】
(
)cos
f x x a x
=+的最小值是a，并且观察当0
x=时，()0
f a
=，
所以当0,
3
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
cos
x a x a
+≥恒成立，即(
)
1cos
a x x
-≤，当0
x=时，a R
∈，
当0,
3
x
π
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，
2
cos
22
1cos2sin tan
22
x x
x
a
x x
x
≤==
-
恒成立，即
min
tan
2
a≤
⎪
⎝⎭
0,
3
x
π
⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
时，tan
2
x
tan
2
的最小值是3，所以3
a≤.
故选：D
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相
应的含参不等式求参数的取值范围；
分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 6．C
解析：C
【分析】
由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．
【详解】
由题意2,
k k Z
αβππ
+=+∈，即2k
βππα
=+-，
2
2
21 cos()cos(22)cos(2)cos22sin121
39
k
αβαπππααα⎛⎫
-=--=-=-=-=⨯-=-
⎪
⎝⎭
．
故选：C．
7．C
解析：C
【分析】
先求出a 与x 轴正方向的夹角为3
π
θ=
，即可得b 与x 轴正方向的夹角为
73
4
12
π
π
πα=
+
=
， 再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】
设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =
由13,2a ⎛
= ⎝
⎭
可得2tan 12
θ==3πθ=， 设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412
πππ
α=+=且1b =
因为7sin
sin sin cos cos sin 12434343y πππππππ⎛⎫
==+=⨯+⨯=
⎪⎝⎭
7cos
cos cos cos sin sin 12434343x πππππππ⎛⎫
==+=⨯-⨯=
⎪⎝⎭
故2b ⎛-=
⎝⎭
， 故选：C.
8．A
解析：A 【分析】 根据1sin 63
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，再由
2cos 2cos 233
ππαα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1
sin sin 623
3πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1
cos 33
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 133
39πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故选：A
9．C
解析：C
【分析】
利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】
26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒
26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒
26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒
26tan3426tan34=︒︒︒︒
=
故选：C ．
10．A
解析：A 【分析】 运用α-、2
π
α-的诱导公式，计算即可得到.
【详解】 解：1
sin()43π
α-=，即为1sin()43
πα-=-， 即有1sin[
()]243π
πα-+=-， 即1
cos()43
π
α+=-. 故选：A.
11．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，进而求出()f α 【详解】 由
2π
πω
=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇
函数，()2
k k Z π
θπ∴=
+∈，，又0θπ<<，得2
π
θ=
，
()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫∴=+=- ⎪⎝
⎭，又由tan 2α=，可得
()2222sin cos 2tan 4
sin 2sin cos tan 15
f αααααααα-=-=
=-=-++
故选：A 【点睛】
关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，难度属于基础题
12．B
解析：B 【分析】
将AC +
表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得AC 的最大值. 【详解】
有正弦定理得2
4
sin sin sin sin 6
a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin a A b B ==，
所以AC
+4sin b B A =+=+
(
)4sin 4sin 6B B C B B π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝⎭
4sin sin cos cos sin 66B B B ππ⎫=++⎪⎭
1
4sin cos 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭
(
)()10sin B B B B ϕϕ=+=+=+.
其中tan 06
πϕϕ==<⇒<<， 由于
566
B π
π<<
，所以3B π
ϕπ<+<，
故当2
B π
ϕ+=
时，AC +
的最大值为
故选：B 【点睛】
要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值.
二、填空题
13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题
解析：
25
【分析】
先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】
由
ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，
因为π3π3π7π02888ββ<<
⇒<+<，3π3cos 85β⎛
⎫+=- ⎪
⎝
⎭，
所以3π4sin 85
β⎛
⎫+
== ⎪⎝⎭， 所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
3455⎛⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎝
⎭⎝⎭.
【点睛】
本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.
14．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正
解析：①③ 【分析】 由题可知，直线6
x π
=
与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3a
b ，可化简函数
()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.计算出
1112f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫
⎪⎝⎭、5f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数
()f x 的最值可判断⑤的正误.
【详解】
由题可知，直线6
x π
=
与函数()f x 的图象的一条对称轴，
可得162f b π⎛⎫
=+= ⎪
⎝⎭
，整理可得2230a b -+=，即()
2
0a -
=，a ∴=.
()
sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛
⎫∴=+=+ ⎪⎝
⎭.
对于命题①，11112sin 2012126f b π
ππ⎛⎫⎛⎫=⨯
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，①正确； 对于命题②，
7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭17172sin 2sin 3030
b b ππ
=-=，
172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，②不正确； 对于命题③，2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 262f b b ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
则66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且
66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确； 对于命题④，当()2,6
3x k k k π
πππ⎡⎤
∈+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z 时，则()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z 上单调递减，④错误； 对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，
则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.
故答案为：①③. 【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭
分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.
15．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基
本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为： 解析：3320
-
【分析】
利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】
解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3
tan 21tan 4
ααα=
=--，
222
222
sin tan 9sin sin cos tan 110
αααααα===++，所以2
3933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：33
20
-
16．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【
解析： 【分析】
先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，再根据其图象关于原点
中心对称得,6
k k Z π
ϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】
解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移
12
π
个单位后得到的函数解析式为：
sin 26y x πϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由函数sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
图象关于原点中心对称， 故,6
k k Z π
ϕπ+
=∈，即,6
k k Z π
ϕπ=-
+∈
所以sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫
=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为： 【点睛】
三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2
()k k Z π
ϕπ⇔=+∈； 函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2
()k k Z π
ϕπ⇔=+
∈；
函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.
17．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为 解析：
35
【分析】
利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3
πθθθ-⎛⎫
-== ⎪
+⎝
⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可 【详解】
由题意可知，tan 11tan 41tan 3
πθθθ-⎛⎫
-
== ⎪
+⎝
⎭，解得tan 2θ=，则222222
cos sin 1tan 3
cos 2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-++ 故答案为
3
5
. 18．9【分析】根据扇形的弧长是6圆心角为2先求得半径再代入公式求解【详解】因为扇形的弧长是6圆心角为2所以所以扇形的面积为故答案为：9
解析：9 【分析】
根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式1
2
S lr =求解. 【详解】
因为扇形的弧长是6，圆心角为2， 所以632
l r α=
==， 所以扇形的面积为11
63922
S lr ==⨯⨯=， 故答案为：9.
19．【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为根据定义域求出函数
值域为利用可得答案【详解】因为则由得且故故答案为：【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形三角函数的图象和性质利用正余 解析：
12
【分析】
利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为2sin 216x m π⎛
⎫+++ ⎪⎝
⎭，根据定义域求出函数
值域为[,3]m m +，利用17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
可得答案.
【详解】
因为2()2cos cos f x x x x m =++
1cos 222sin 216x x m x m π⎛
⎫=++=+++ ⎪⎝
⎭.
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，2666x ππ7π∴≤+≤，
则1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
. ()2sin 21[,3]6f x x m m m π⎛
⎫∴=+++∈+ ⎪⎝
⎭，
由17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦得，12m =且7
32m +=，
故1
2
m =
. 故答案为：12
. 【点睛】
高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式，再结合正弦函数与余弦函数的性质求解.
20．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：
【分析】
由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】
由已知3sin cos 25παα⎛⎫
+== ⎪
⎝
⎭，又α为第四象限角，∴4
sin 5
α=-，
∴34cos cos cos sin sin ()444525210
πππααα⎛
⎫
+=-=⨯--⨯= ⎪
⎝
⎭
故答案为：
10
． 三、解答题
21．（1
）2）2875
-. 【分析】
（1）先利用诱导公式将4cos130tan140︒︒-，转化为4cos50tan 40︒︒-+，然后利用三角恒等变换求解. （2）由3177cos ,4512
4x x πππ⎛⎫+=<<
⎪⎝⎭，利用平方关系求得4sin 45x π⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，得到
cos cos 4
4x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后由 2sin 22sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan x x x x x x x ++=
--求解. 【详解】
（1）4cos130tan140︒︒-，
sin 404cos50tan 404cos50cos 40
︒
︒
︒
︒
︒
=-+=-+， 04cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒
︒
-+-+==， 02sin 80sin 402cos10sin 40cos 40cos 40
︒︒︒︒
︒
-+-+==， ()2cos 4030sin 40cos 40
︒︒︒
︒
--+=
，
040sin 40sin 40cos 40
︒︒
︒
-+=，
== （2）
1775,212434
x x ππππ
π<<∴<+<， 4sin 45x π⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，
cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
3455⎫=
-=⎪
⎝⎭，
sin tan 7x x ∴===， 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan 1tan x x x x x x x x x x x
+++∴==
---，
2101010281775
⎛⨯--- ⎝⎭⎝⎭==-
-. 22．（1）1；（2）π；（3
）.
【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值 （2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论； （3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论； 【详解】
（1）()2
2sin cos 2sin 1sin 2cos2f x x x x x x =-+=+
π24x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴πππ1424f ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或直接求2ππππ2sin cos 2sin 114444f ⎛⎫=-+= ⎪
⎝⎭
. （2）由（1）得，所以()f x 的最小正周期为2π
2π
π2
T ω
==
= （3）由（1）得，∵π02x -
≤≤，∴3πππ2444
x -≤+≤，
∴πsin 21,42x ⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
当ππ242x +
=-，即3π
8
x =-时，()f x
取得最小值为. 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到
()π
24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题
23．（1）2；（2）1
2
±. 【分析】
（1）先代入0m =，然后对sin x 正负讨论，化简出函数解析式，然后再求出最大值即可，
（2）根据x 的范围即可化简函数解析式，然后再根据x 的范围即可判断函数什么时候取得最小值，进而可以求出m 的值． 【详解】
解：（1）0m =，则函数2
22()1sin cos |sin |33
f x x x x =++-，
当sin [0x ∈，1]时，2()1cos f x x =+， 当cos 1x =时，max ()2f x =，
当sin [1x ∈-，0)时，22
44()1sin cos 1sin 1sin 33f x x x x x =++=++-
2222
(sin )239
x =--+，
所以当sin 0x =时，max ()2f x =， 综上，函数()f x 的最大值为2； （2）当02
x
π
时，22
22()1sin cos (2)sin 33f x x x m x =++-+
222212sin cos sin 2sin 2m x x x m x =-+=--+
224(sin )2x m m =-+++，
所以当sin 1x =时，2
min 1()212
f x m =-+=
， 所以2
14m =
，即12m =±， 故m 的值为1
2
±． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数求最值以及含参数求最小值的问题考查了学生的运算能力，属于基础题．解题关键是对sin x 按正负分类讨论，去掉绝对值符号后利用三角函数性质求最值．
24．（1）5
()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎢
⎣⎦
. 【分析】
（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦
函数的周期求得ω解析式；
（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2
π
上的值域后可得k 的范围．
【详解】
（1）2
1()sin
cos 2
f x x x x ωωω=+-
2cos2sin 2226x x x ωωπω⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,6
2
k k Z π
π
πωπ-=
+∈
∴
123k ω=+，又1,12
ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
令1k =时，5
6
ω=
符合要求， ∴函数5
()sin 3
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
（2）将函数()f x 的图象向右平移
10π个单位长度后，得到函数5
sin 3
3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的
5
6
倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.
当5012x π≤≤
，即2332x πππ
-≤-≤时，()g x 递增，(),12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，
当5122x ππ
<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()2g x ⎫∈⎪⎣⎭
，
所以0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 因为()0g x k +=在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上实数解，
所以实数k 的取值范围是1,
2⎡-⎢⎣⎦
. 【点睛】
方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利
用正弦函数性质求解． 25．（1）[,
],3
6
k k k Z π
π
ππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．
【分析】
(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】
（1）因为()()
2
cos cos sin f x x x x x =+-
22cos s n cos i x x x x =+-
2cos2x x =+
2sin(2).6
x π
=+
令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，
解得36
k x k k Z ππ
-
+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）若选择①，
由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，
()f x 取得最大值，且最大值为()26
f π
=，
所以2m ≤.
若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以72666x πππ≤+≤, 故当726
6
x π
π+
=
，即2x π=时,
()f x 取得最小值，且最小值为()12
f π
=-，
所以1m ≤- 【点睛】
关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题. 26．（1）0,3π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
和5,6ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
；（2）1. 【分析】
（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可； （2）根据3,88x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值.
【详解】
（1）1
()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪
⎪⎝⎭
2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--
2sin 216x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
因为()f x 的最小正周期为π，所以22T π
πω
==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
． 令222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-+≤-
≤
+∈Z ，
得()6
3
k x k k π
π
ππ-
+≤≤
+∈Z ，
所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤
⎥⎝⎦和5,6π
π⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
． （2）当3,88x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，7212612x πππ≤-≤．
当226x ππ-
=，即3
x π
=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。