高考理科数学冲刺复习专题系列 (7)

高考理科数学冲刺复习专题系列（7）
直接证明与间接证明
基础热身
1.[2017·莱芜一中模拟] 用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 2
+ax+b=0没有实数根”时,应假设
( )
A .方程x 2
+ax+b=0至多有一个实根 B .方程x 2
+ax+b=0至少有一个实根 C .方程x 2+ax+b=0至多有两个实根 D .方程x 2+ax+b=0恰好有两个实根 2.要证明a 2
+b 2
-1-a 2b 2
≤0,只需证明 ( ) A .2ab-1-a 2b 2≤0 B .a 2
+b 2
-1≤
a 4+
b 4
2
C .(a+b)2
2
-1-a 2b 2≤0
D .(a 2-1)(b 2
-1)≥0
3.[2017·南昌二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2k+1>0,则一定有 ( ) A .a k >0 B .S k >0 C .a k+1>0 D .S k+1>0
4.①已知p 3
+q 3
=2,求证p+q ≤2,用反证法证明时,可假设p+q ≥2;②已知a ,b ∈R ,|a |+|b |<1,求证方程x 2
+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于
或等于1,即假设|x 1|≥1.其中正确说法的序号是 . 能力提升
5.[2017·大连模拟] “一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医
生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是 ( ) A .男护士 B .女护士 C .男医生
D .女医生
6.[2017·福建师大附中一模] 若O 为△ABC 平面内一点,且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 为 ( ) A .钝角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .锐角三角形
7.设A ,B ,C 为锐角三角形ABC 的三个内角,M=sin A+sin B+sin C ,N=cos A+2cos B ,则( ) A .M<N B .M=N
C .M>N
D .M ,N 大小不确定
8.[2017·武汉模拟] 已知f (x )=√1+x 2,a ≠b ,则|f (a )-f (b )|与|a-b|的大小关系为 ( ) A .|f (a )-f (b )|>|a -b | B .|f (a )-f (b )|<|a -b | C .|f (a )-f (b )|=|a -b | D .不确定
9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是 (填序号).
①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于
60°;④假设三个角至多有两个大于60°.
难点突破
10.(5分)[2017·山西运城调研] 在△ABC 中,AC=5,1
tan A 2
+
1
tan
C 2
-
5tan
B 2
=0,则BC+AB= ( )
A .6
B .7
C .8
D .9
11.(5分)[2017·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如
T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是()
A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数
B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数
C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数
D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数
图K38-1
1.B [解析] 没有实根的反面为至少有一个实根,故选B .
2.D [解析] 由题意,将不等式左边因式分解即可,故选D .
3.C [解析] 由等差数列的前n 项和公式得S 2k+1=
(2k+1)(a 1+a 2k+1)
2
=(2k+1)a k+1>0,故选C .
4.② [解析] ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q ≤2 的否定应为
p+q>2,故①错误.②已知a ,b ∈R ,|a |+|b |<1,求证方程x 2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1,根据
反证法的定义,可假设|x 1|≥1,故②正确.
5.A [解析] 设女护士、男护士、女医生、男医生人数分别为a ,b ,c ,d ,则有:①a+b ≥c+d ;②d>a ;
③a>b ;④c ≥1.所以d>a>b>c ≥1.易知只有a=4,b=3,d=5,c=1时符合要求.又a ,b ,c ,d 中只有b
减1后仍符合要求,故说话人是男护士.故选A .
6.B [解析] 由题意可得CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,据此有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 为等腰三角形,故选B .
7.C [解析] 因为A ,B ,C ∈0,π
2,所以A+B>π
2,则sin A>sin
π2
-B ,即sin A>cos B ①,同理sin
B>sin
π
2
-A ⇒sin B>cos A ②,sin C>sin
π2
-B ⇒sin C>cos B ③,将不等式①②③两边相加
可得M>N ,故选C .
8.B [解析] |f (a )-f (b )|=|√1+a 2-√1+b 2|=
a 2-
b 2√1+a 2+√1+b 2
=|a+b||a -b|√1+a 2+√1+b 2<
|a+b||a -b||a|+|b|
≤
|a -b|(|a|+|b|)|a|+|b|
=|a-b|,所以|f (a )-f (b )|<|a-b|,故选B .
9.② [解析] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”,故答案为②.
10.B [解析] 分别作∠ABC ,∠BCA ,∠CAB 的平分线相交于点O ,过O 作OD ⊥BC ,OE ⊥AC ,OF ⊥AB.设AF=m ,BF=n ,OD=OE=OF=r ,则AE=m ,BD=n.∵AC=5,∴CE=CD=5-m.在Rt △AOF 中,tan ∠BAO=r
m ,∴
1tan ∠BAO
=m r ,同理:
5
tan ∠CBO
=5n r ,
1
tan ∠ACO
=
5−m r
.∵
1
tan A 2
+
1
tan
C 2
-
5
tan
B 2
=0,∴m r +
5−m r
-5n
r =0,∴n=1,∴
AB+BC=m+n+n+5-m=2n+5=7,故选B .
11.A [解析] 根据题意知(x 1+x 2+x 3+x 4)(y 1+y 2+y 3+y 4)>0,又(x 1+x 2+x 3+x 4)(y 1+y 2+y 3+y 4)=T 1+T 2+T 3+T 4,所以T 1,T 2,T 3,T 4中至少有一个为正数,故选A .。