矢量和标量的定义

B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A
A ( B C )A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
(b)
矢量的积分
（1）对时间 t 的积分：
d t i A j A kd )t A (A
t 1 t 1 x y z
t 2
t 2
( d ti ) ( d t ) j ( d tk ) x y z A A A
t 1 t 1 t 1
t 2
t 2
t 2
（2）沿曲线 s 的线积分：
d s ( A i A j A k ) ( d x i d y j d z k ) A
第0章 矢量分析基础
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 、电场 v 矢量表示为： 等 E
ˆ ˆ A A a A a A e A
其中：| A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
2 2 2 | A B | 1 5 ( 1 0 ) 3 03 5
1 ˆ ˆx 2 ˆy 6 ˆz) a 3 a a a n ( 7
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 求：通过 A点和B点的直线方程。 b 解：在通过A点和B点的直线方程上，
a
z
a
和
，
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
C B
b
c
，则
x
y
c a k ( b a )
c ( 1 k ) a k b
其中：k 为任意实数。
B B AA , B B A 推论1：不服从交换律： A
( B C )A B A C 推论2：服从分配律： A
A
推论3：不服从结合律： A ( B CA )( B ) C 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
求： r a r b r c r 中的标量 a、b、c。 4 1 2 3
ˆ ˆ ˆ a 2 a 5 a 解： 3 x y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ aa ( 2 a a ) b ( a 3 a 2) a c (2 a a 3) a x y z x y z x y z
A B A B A B x x y y z z
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
b.矢量积（叉积）：
ˆ A B | AB || | s i n a c
aˆ
c
B

•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。
作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量：
A A i A j A k x y z
有
d A A d A d Ad y x i j zk d t d t d t d t
作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量：
A A eA
有
d e d A d A A e A A d t d t d t
定义： A ( B C ) | A | | B | | C | s i n c o s
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。

hB C
A
C


B
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
注意：先后轮换次序。
两矢量的叉积又可表示为：
ˆx a A B Ax Bx
ˆy a Ay By
ˆz a Az Bz
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
(A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A (BC ) 标量，标量三重积。
A (B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
s s x y z
A d x A d y A d z x y z
x 1 y 1 z 1
x 2
y 2
z 2
例2：设
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa , r a a 2 a 1 x y a z 2 x 3 y z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r 2 aa a , r 3 a 2 a 5 a 3 x y 3 z 4 x y z
2.减法：换成加法运算
D A B A ( B )
逆矢量： B 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
B
A

A
B
D
B
C
B
A
A B C 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( A B ) a ( A B ) a ( A B ) a x x x y y y z zz
ˆ ˆ ˆ x a A a A a 矢量： AA x y y z z
z
Az
模的计算： 单位矢量：
|A | A A A2 xFra bibliotek2 y 2 z
A

A A A A y x z ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a x y z |A | |A | |A | |A |
o
A
x

A
推论：三个非零矢量共面的条件。
A ( B C ) 0
A
C


B
在直角坐标系中：
ˆ ˆ ˆ a a a x y z ˆ ˆ ˆ A ( B C ) ( A a A a A a B B B x x y y z z) x y z C x C y C z Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz Cx Cy Cz
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 a ˆx , a ˆy,a ˆ z 表示。 根据矢量加法运算：
Az
z
A
o
A
x
A
y
A A A A x y z
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ A A a , A A aA , z A a x x x y y y z z
ˆ ˆ ˆ 所以： AA x a A a A a x y y z z
a ˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
CA B
C
B
A

A
a.满足交换律： A BBA
A B ) ( C D ) ( A C ) ( B D ) b.满足结合律： (
ˆ ˆ ˆ B 4 a 3 a a x y z
求：确定垂直于 A 、 B 所在平面的单位矢量。 解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。
ˆn a
A B A B
ˆx a ˆy a ˆz a ˆx ˆy ˆz A B2 6 3 1 5 a 1 0 a 3 0 a 4 3 1
z o x y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( A a A a A a ) ( B a B a B a ) x x y y z z x x y y z z
ˆ ˆ ˆ ( A B A B ) aA ( B A B ) aA ( B A B ) a y z zy x zx x z y x y y xz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a 0 , a 0 , a 0 x a y x a z y a z ˆ ˆ a 1 , x a x ˆ ˆ a 1 , y a y ˆ ˆ a 1 z a z
有两矢量点积：
ˆˆˆ ˆˆˆ A B ( A a A a A a ) ( B a B a B a ) x x y y z z x x y y z z
y
ˆ ˆ ˆ c o s a c o s a c o s a x y z

y
方向角与方向余弦：
, ,
x
A A A y x z cos , cos , cos |A | |A | |A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ ˆ ˆ A B C ( A B C ) a ( A B C ) a ( A B C ) a x x x x y yy y z z z z
b.矢量三重积： A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
4. 矢量的微积分
(a) 矢量的微分 只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：
d dA dB (1) (A B) dt dt dt d [ f (t ) A ] d f (t ) dA (2) A f (t ) dt dt dt d dB dA (3 ) (A B) A B dt dt dt d dB dA (4) (A B) A B dt dt dt
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 方向不变，大小为|k|倍 k 0 ˆ k A k |A |a k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A BAB | | | | c o s
ˆ ˆ ˆ ( 2 a b 2 c ) a ( a 3 b c ) aa ( 2 b 3 c ) a x y z
则： 2 a b 2 c 3
a 2 b 1 c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
例3： 已知 A ˆ ˆ ˆ 2 a 6 a 3 a x y z