常系数微分方程解的形式

r 重实根
齐次解 y h (t )
Ce λt
Cr −1t r −1e λt + Cr −2t r −2 e λt + L + C1te λt + C0e λt eαt [C cos( βt ) + D sin( βt )]
一对共轭复根
λ1, 2 = α ± jβ
r 重共轭复根
或 Aeαt cos( β t − θ ) ，其中 Ae jθ = C + jD
B1 cos(ωt ) + B2 sin(ωt )
( B1t p + B2t p−1 + L + B pt + B p+1 )eαt cos(ωt )
+ ( D1t p + D2t p −1 + L + D p t + D p+1 )eαt sin(ωt )
2） ）
不同特征根对应的齐次解
特征根 λ 单实根
Ar −1t r −1eαt cos( βt + θ r −1 ) + Ar −2t r −2eαt cos( β t + θ r −2 )
内蒙古工业大学 博学躬行，尚志明德。
+ L + A1t 1eαt cos( β t + θ1 ) + A0 eαt cos( β t + θ 0 )
1） ）
几种典型激励函数对应的特解
激励数 e(t )
E （常数） 常数） tp eαt
响应函数 r (t ) 的特解
B （常数） 常数）
B1t p + B2t p−1 + L + B p t + B p+1
Beαt
cos(ωt ) sin(ωt )
t p eαt cos(ωt ) t p eαt sin(ωt )
内蒙古工业大学 博学躬行，尚志明德。
常系数微分方程解的形式
采用经典法求解： 采用经典法求解： 全解=齐次解 齐次解+特解 全解 齐次解 特解 齐次解：特征方程——特征根——齐次解形式 齐次解：特征方程——特征根——齐次解形式 ∑ Ak eα k t ； ——特征根——
k =1 n
注意重根的处理。 由初始条件确定系数 Ak ，注意重根的处理。 特解：微分方程右端函数——含待定系数的特解函数式——代入原方程， 特解：微分方程右端函数——含待定系数的特解函数式——代入原方程，确 ——含待定系数的特解函数式——代入原方程 定系数。 定系数。