《线段、射线、直线》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (3)

线段、射线、直线
第1课时线段、射线和直线的概念
【教学目标】
知识与技能
使学生在了解线段概念的基础上,理解线段、射线和直线的概念,并能理解它们的区别与联系,逐步掌握它们的表示方法.
过程与方法
通过对直线、射线、线段概念的教学培养学生的几何想象能力和观察能力,用运动的观点看待几何图形.
情感、态度与价值观
能积极参与数学活动,感受图形世界的丰富多彩,激发学习兴趣.
【教学重难点】
重点:线段、射线、直线的概念.
难点:直线的“无限延伸”性的理解.
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
“神舟十号”载人飞船发射成功,人们为之欢欣鼓舞,为了保障它的安全运行,科研人员时刻都在监视着它的一举一动.可是在飞船上天后,肉眼、望远镜无法看清它时怎么办呢?即使在先进的科研装备中,飞船也只是显示为一个点,科研人员正是利用这个点运动成的线路来研究飞船的运行状况的,利用点动成线来研究问题,竟是这般神奇!这节课我们就来学习线的相关知识.
知识回顾,问题展示:
师:1.六棱柱由什么围成?面与面相交成什么?线与线相交成什么?
2.点动成什么?线动成什么?面动成什么?
学生回答.
生活情景展示(图片):
师:竖琴中绷紧的琴弦,马路上的人行横道线,还有六棱柱的棱,都可以近似地看作线段.线段有两个端点.
将线段向一个方向无限延伸,就形成了射线.如:手电筒打开后,有一束光线,它可以射向很远的地方,这束光线可近似地看作射线,探照灯也是一样.射线有一个端点.
将线段向两个方向无限延伸,就形成直线.如笔直的铁轨向两方无限延长,它可以近似地看作直线,直线没有端点.
师:生活中哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?
学生回答.
二、讲授新课
看一看下面分别是什么图形,有什么特征.
1.线段:有两个端点,能度量大小.
2.射线:有一个端点,并向一方无限延伸,不能度量大小.
3.直线:没有端点,并向两个方向无限延伸,不能度量大小.
师:在几何中,我们怎样表示线段、射线和直线呢?
学生阅读课本,举手回答.
师:在几何中,我们常用字母表示图形,一个点可以用一个大写字母表示,如图(1)中的两点分别用字母A和B表示,这两点分别记作点A和点B.
如图(1)中,以A、B为端点的线段,记作线段AB或线段BA.有时一条线段也可以用一个小写字母表示,如图(2),记作线段a.由此可知,线段有两种表示方法:
一条线段可以用它的两个端点的大写字母表示,也可用一个小写字母表示.
师:表示线段的两个字母没有顺序性,如线段BA与线段AB表示的是同一条线段;表示线段时,在字母的前面一定要写上“线段”两字.
一条射线可以用它的端点和射线上的另一点表示,如图(3)中的射线,记作射线OM,其中表示端点的字母必须写在另一个字母的前面,而且在两个字母的前面要写上“射线”两字.
师:1.表示射线的两个大写字母中第一个一定是端点.
2.同一条射线有不同的表示方法,如下图中的射线,可以表示为射线AB,也可表示为射线AC.
3.端点相同的射线不一定是同一条射线,端点不同的射线一定不是同一条射线.
4.两条射线为同一条射线必须具备的条件:(1)端点相同;(2)延伸的方向相同.
一条直线可以用在这条直线上的两个点来表示,如图(4)中的直线记作直线AB或直线BA,一条直线也可以用一个小写字母表示,如图(5),可以记作直线l.所以直线也有两种表示方法.
师:1.字母前要注明直线两字.
2.表示直线的两个字母也可交换位置,但射线不行,它具有方向性,端点在前,射线上任意一点在后.
三、变式训练
1.如图所示:
射线AB、射线AC、射线BC是不是同一条射线?
2.如图所示:
(1)图中有几条直线?有几条线段?如何表示它们?
(2)图中有几条射线?能表示的射线有几条?如何表示?
问题展示:已知点A,B,C,D,按要求画图.
画直线BC.
连接AB,AC.
画射线AD.
延长线段AB,反向延长射线AD.
如图所示:
图中有条线段, 条射线, 条直线.
学生回答,教师点评.
四、课堂小结
1.这节课主要学习了哪些内容?
2.通过本节课的学习,你有什么体会?能否与同学们交流一下?
学生回答.
教师总结:(1)线段、射线、直线的概念;
(2)它们的两种表示方法:两个大写字母,一个小写字母.
第2课时线段、射线和直线的画法
【教学目标】
知识与技能
1.能用几何语言描述直线的性质.
2.会用字母表示线段、射线、直线,会根据语言描述画出图形.
过程与方法
1.通过操作活动获得两点确定一条直线等实践操作活动的实验.
2.培养观察能力和发现个体差异的能力以及能够用辩证发展的眼光看待问题的能力.
情感、态度与价值观
初步体验图形是有效描述现实世界的重要手段,并能应用空间与图形知识解决生活中的现象并解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义.
【教学重难点】
重点:理解并掌握直线的两条性质,会用字母表示图形,并根据语言描述画出图形.
难点:直线的两条性质的理解与应用.
【教学过程】
一、创设情境,引入新课
出示墨盒:请一个同学演示使用墨盒弹出一条直线的过程.
提出问题:为什么这样拉出的线是直的,其关键是什么?这节课我们就来解决这个问题.
师:请同学们总结一下,直线、射线、线段之间的区别与联系?
学生回答,教师点评.
活动(一) 两点确定一条直线
师:请同学们按要求画出直线,你们从中发现了什么吗?
1.过一点A画直线.
2.过两点A、B画直线.
学生画图探究,得出结论.教师找两位同学上黑板画图.
师:利用动画展示过一点可以画出无数条直线.过两点可以画一条直线,即两点确定一条直线.如果将一根木条固定在墙上,至少需几个钉子?
学生回答.
师:你还能举出一些生活中的例子吗?
学生举例回答.
师:建筑工人砌墙,如何拉参照线?木工师傅锯板时,怎样弹线?
教师总结:经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线.
学生回答:
活动(二) 两直线相交,只有一个交点
师:两条直线相交,有几个交点?
学生回答.
师:两条直线相交,会有两个交点吗?
学生交流探讨,举手回答.
师:(反证法)若两直线相交,有两个交点,由直线的性质“两点确定一条直线”知,过这两个交点的直线为同一条直线,这与假设相矛盾.所以两直线相交,只有一个交点.
二、变式训练
1.平面内三点可确定多少条直线?
2.请你探究:(1)平面上有两条直线,最多有多少个交点?
(2)平面上有三条直线,最多有多少个交点?
(3)平面上有n条直线,最多有多少个交点?
学生画图回答.
师:问题1中的三个点要分类讨论:看是否在同一直线上;问题2中要看增加一条直线,与其他直线最多有几个交点.
问题展示:1.已知线段AB,按下列要求画出图形.
(1)延长线段AB到C;(2)在直线AB外取一点D;(3)连接BD;(4)作射线DA.
2.已知平面内的三个点A,B,C,过其中每两个点画直线,可以画出几条直线?
三、课堂小结
师:本节课我们学习了什么内容?
1.直线的两条性质.
2.直线性质的应用.
3.描述图形及其表示.
第五章反比例函数
一、学生知识状况分析
通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，
会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。

本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。

通过这些活动，对函
数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图
象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体
验数形结合的数学思想方法.
教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.
二、教学任务分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标
(一)知识与能力
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.
2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.
(二)过程与方法
1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.
2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和交流能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.
(三)情感与价值观
通过本章内容的回顾与思考，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点
本章知识的网络结构体系.
反比例函数的概念.
会作反比例函数的图象，并掌握其性质.
反比例函数的相关应用.
教学难点
利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.
反比例函数的相关应用.
教学方法
自主探究、合作交流.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，巩固新知；第四环节：交流探讨、收获小结；第五环节：课后作业
第一环节：复习提问，引人入胜
活动目的给学生设置疑问，激发学生的思考和回顾，明确本节课的学习任务。

活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
学生回答预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。

. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。

.
第二环节：知识串联，形成体系
活动目的：引导学生对本章的所学的基础知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系，将基础知识网络化，形成本章知识的框架结构体系。

活动过程：
（一）本章知识结构
引导学生构造本章知识结构图。

(可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)
本章内容框架
活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.
注意事项：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导； 2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。

（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念. 学生回答预设：
例：当三角形的面积是16 cm 2
时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a ＝
h
32. 在上式中，任意给定h 一个值，相应地就确定了一个a 的值.因此a 是h 的函数。

所以一般地，如果两变量x ，y 之间的关系可以表示成y=x
k
(k 是常数，k ≠0)的形式,那么称y 是 x 的反比例函数. （三）说说函数y ＝
x 2和y ＝-x
2
的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形. (4)虽然y ＝
x 2和y=-x
2
的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同，y=x 2的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-x
2
的两支曲线在第二象限和第四象限.
(2)y ＝
x 2的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小；y=-x
2
的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大.
（四）回顾反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质
画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图象的性质有（课件演示）： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.
2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大.
4.因为在y=
x
k
(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 、轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2则S 1＝S 2
6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
第三环节：例题精练，巩固新知
活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。

活动过程：课件展示
例一
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y=
x 31 (3)y=x 2.0 (2)y= x
10 (4)y=-x 1007
2.在函数y ＝x
3
的图象上任取一点P ，过P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成
的矩形面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y ＝
x
31
中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=x
31
的形式。

答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k ｜=
3. 例二
1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的4
1
，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa ，倒过来放，对桌面的压强是多少?
2.一定质量的CO 2，当体积v ＝5米3
时.它的密度ρ＝1.98千克／米3
，求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v=9米3
时，CO 2的密度.
分析：压强p 、受力面积S 、压力F 三者之间的关系为p=S
F
，因为是同一物体，所以F 是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同. 质量m 、密度ρ、体积v 三者之间的关系为：ρ=
v
m ，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3
,可知质量m ，实际代表已知反比例函数中的k ，求出m ，就确定了反比例函数的关系式. 答案：
解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p 1＝S
F
＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p 2＝
S F
S F 44
1
＝800Pa. 2.设CO 2的质量为m 千克，将v=5米3
，ρ=1.98千克／米3
代入公式ρ＝v
m
中，得m=9.9千克.
故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝
v
9.9. (2)当v ＝9米3
时，ρ=
v
9.9＝1.1(千克／米3
)。

课堂练习 课件演示：
1.对于函数y=
x 2，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y ＝-x
2，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.
2.函数y=
x
10
的图象在第____象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而______. 3.根据下列条件，分别确定函数y ＝x
k
的表达式
(1)当x=2时，y ＝-3； (2)点(-3
1,21-
)在双曲线y ＝x k
上.
答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=
x
6- (2)y=x 61
；
注意事项：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，避免替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：交流探讨 收获小结
活动内容： 教师引导学生进行回顾和整理，然后通过师生交流和生生交流，回答以下问题：本节课我们都一起回顾和复习了哪些内容？
交流预设： 1.反比例函数概念
2.反比例函数图像的做法及性质
3.反比例函数在生活中的应用
4.做题时要注意数形结合
5.具体题目的解题思路
活动目的：使学生通过再次的回顾和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：课后作业 （一）复习题 （二）活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积 若点A 是反比例函数y=x
k (k ≠0)图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C,则矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1). 1.如图(2)，P 是反比例函数)y=
x k (k ≠O)图象上的一点，由P 点分别向x 轴，y 轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图（3）过双曲线y=x
2上两点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，若矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,则S 1与S 2的关系是_____.
答案：
1.解：由题意得｜k ｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k ＝-3.
∴k=
x 3-. 2.
解：由题意得
S 1=S 2=｜k ｜=2.
（三）补充练习(课件展示）
（四）反比例函数与正比例函数图象性质比较分析 正比例函数y=kx(k ≠0) x k y = (k 为常数，且k ≠0) 关
系
式
K ＞0 K ＜0 K ＞0
K ＜0 图
象 x y 0 x
y 0
性质 图象经过点 ，与第 象限。

y 随着x 的增大而 。

图象经过点 ，与第 象限。

y 随着x 的增大而 。

双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x 的增大而 。

双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x
的增大而 。

四、板书设计
回顾与思考
一、本章知识结构
二、课堂练习
三、课时小节
四、课后作业
五、教学反思
本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。