复数乘除运算的几何意义高中数学北师大版2019必修第二册
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复数乘除运算的几何意义
考点
学习目标
核心素养
复数三角形式乘、除运
了解复数乘、除运算的三角 数学抽象、
算的三角表示及其几
表示及其几何意义
数学运算
何意义
问题导学 预习教材内容，思考以下问题： 1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
复数三角形式的乘、除运算
复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例 2】在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量分别按逆时针 和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
【解】
因为 3－
3i＝2
3
23－12i
＝2
3cos
161π＋isin
11
6
π
所以 2
3cos
161π＋isin
161π×cos
π3＋isin
π 3
＝2 3cos161π＋π3＋isin161π＋π3
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
2cos
34π＋isin
3 4π
＝2cos
53π＋isin
53π÷
2cos
34π＋isin
3 4π
＝ 2cos53π－34π＋isin53π－34π
＝
2cos
1112π＋isin
11 12π
＝－1＋2
3＋
3－1 2 i.
谢谢
＝ 26(cos 75°＋isin 75°)
＝
6 2
6－ 4
2＋
6＋ 4
2i
＝6－82
3＋6＋82
3 i
＝3－4
3＋3＋4
3 i.
(3)4÷cos
π4＋isin
π 4
＝4(cos
0＋isin
0)÷cos
π4＋isin
π 4
＝4cos－π4＋isin－π4
＝2 2－2 2i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的 n 次幂，等于模的 n 次幂，辐角的 n 倍．
π 6
＝ 23＋12i.
(3)因为－12＋ 23i＝cos 23π＋isin 23π，
所以－12＋
23i÷2cos
π3＋isin
π 3
＝cos
23π＋isin
23π÷2cos
π3＋isin
π 3
＝12cos23π－π3＋isin23π－π3
＝12cos
π3＋isin
π 3
＝14＋
3 4 i.
计算：
(1)
2cos
π3＋isin
π32；
(2) 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i；
(3)－12＋
23i÷2cos
π3＋isin
π 3.
解：(1)
2cos
π3＋isin
π32
＝(
2)2cos
23π＋isin
2 3π
＝2－12＋
3
2
i
＝－1＋ 3i.
(2)12－12i＝
2
2
3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2 3i.
两个复数 z1，z2 相乘时，先分别画出与 z1，z2 对应的向量O→Z1， O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0， 就要把O→Z1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原 来的 r2 倍，得到向量O→Z，O→Z表示的复数就是积 z1z2.
＝3cos
π2＋isin
π 2
＝3i，
即与所得向量对应的复数为 3i.
计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
பைடு நூலகம்
2cos
34π＋isin
3 4π.
解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.
得的差．
复数三角形式的乘、除运算
【例 1】计算：
(1)8cos
43π＋isin43π×4cos
56π＋isin56π；
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷cos
π4＋isin
π 4.
【解】
(1)8cos
43π＋isin43π×4cos
56π＋isin56π
＝32cos43π＋56π＋isin43π＋56π
＝32cos
163π＋isin
13
6
π
＝32cos
π6＋isin
π 6
＝32
23＋12i
＝16 3＋16i.
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]
＝ 32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
在复平面内，把与复数343＋34i 对应的向量绕 原点 O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的 2 倍， 求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
解：343＋34i＝32cos π6＋isin π6，由题意得
32cos
π6＋isin
π6×2cos
π3＋isin
π 3
＝32×2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3
＝2
3cos
163π＋isin
13
6
π
＝2
3cos
π6＋isin
π 6
＝3＋ 3i，
2
3cos
161π＋isin
161π×cos－π3＋isin－π3
＝2 3cos161π－π3＋isin161π－π3
＝2
3cos
32π＋isin
3 2π
＝－2 3i.
故把复数 3－ 3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为 3＋
22－
2
2
i
＝
2
2
cos
74π＋isin
74π，
所以 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i
＝
2cos
152π＋isin
152π×
2
2
cos
74π＋isin
7 4π
＝ 2× 22cos152π＋74π＋isin152π＋74π
＝cos 2162π＋isin 2162π
＝cos
π6＋isin
若复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝__r_1_r2_[_c_o_s(_θ_1_＋__θ_2)_＋__i_s_in_(_θ_1_＋__θ_2)_]___．
(2)zz21＝rr21（（ccooss
θ1＋isin θ2＋isin
θ1） θ2）
＝__rr_12_[c_o_s_(_θ_1－__θ_2_)_＋__is_i_n_(θ__1－__θ_2_)_] ____．
即：两个复数相乘，积的模等于___各__复__数__的__模___的__积____，积的辐角 等于各复数的辐角的__和___． 两个复数相除，商的模等于__被__除__数____的模除以___除__数_____的模所 得的商，商的辐角等于__被__除__数____的辐角减去___除__数_____的辐角所
考点
学习目标
核心素养
复数三角形式乘、除运
了解复数乘、除运算的三角 数学抽象、
算的三角表示及其几
表示及其几何意义
数学运算
何意义
问题导学 预习教材内容，思考以下问题： 1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
复数三角形式的乘、除运算
复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例 2】在复平面内，把复数 3－ 3i 对应的向量分别按逆时针 和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．
【解】
因为 3－
3i＝2
3
23－12i
＝2
3cos
161π＋isin
11
6
π
所以 2
3cos
161π＋isin
161π×cos
π3＋isin
π 3
＝2 3cos161π＋π3＋isin161π＋π3
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
2cos
34π＋isin
3 4π
＝2cos
53π＋isin
53π÷
2cos
34π＋isin
3 4π
＝ 2cos53π－34π＋isin53π－34π
＝
2cos
1112π＋isin
11 12π
＝－1＋2
3＋
3－1 2 i.
谢谢
＝ 26(cos 75°＋isin 75°)
＝
6 2
6－ 4
2＋
6＋ 4
2i
＝6－82
3＋6＋82
3 i
＝3－4
3＋3＋4
3 i.
(3)4÷cos
π4＋isin
π 4
＝4(cos
0＋isin
0)÷cos
π4＋isin
π 4
＝4cos－π4＋isin－π4
＝2 2－2 2i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的 n 次幂，等于模的 n 次幂，辐角的 n 倍．
π 6
＝ 23＋12i.
(3)因为－12＋ 23i＝cos 23π＋isin 23π，
所以－12＋
23i÷2cos
π3＋isin
π 3
＝cos
23π＋isin
23π÷2cos
π3＋isin
π 3
＝12cos23π－π3＋isin23π－π3
＝12cos
π3＋isin
π 3
＝14＋
3 4 i.
计算：
(1)
2cos
π3＋isin
π32；
(2) 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i；
(3)－12＋
23i÷2cos
π3＋isin
π 3.
解：(1)
2cos
π3＋isin
π32
＝(
2)2cos
23π＋isin
2 3π
＝2－12＋
3
2
i
＝－1＋ 3i.
(2)12－12i＝
2
2
3i，按顺时针旋转π3得到的复数为－2 3i.
两个复数 z1，z2 相乘时，先分别画出与 z1，z2 对应的向量O→Z1， O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0， 就要把O→Z1绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原 来的 r2 倍，得到向量O→Z，O→Z表示的复数就是积 z1z2.
＝3cos
π2＋isin
π 2
＝3i，
即与所得向量对应的复数为 3i.
计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
பைடு நூலகம்
2cos
34π＋isin
3 4π.
解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.
得的差．
复数三角形式的乘、除运算
【例 1】计算：
(1)8cos
43π＋isin43π×4cos
56π＋isin56π；
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]；
(3)4÷cos
π4＋isin
π 4.
【解】
(1)8cos
43π＋isin43π×4cos
56π＋isin56π
＝32cos43π＋56π＋isin43π＋56π
＝32cos
163π＋isin
13
6
π
＝32cos
π6＋isin
π 6
＝32
23＋12i
＝16 3＋16i.
(2) 3(cos 225°＋isin 225°)÷[ 2(cos 150°＋isin 150°)]
＝ 32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
在复平面内，把与复数343＋34i 对应的向量绕 原点 O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的 2 倍， 求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
解：343＋34i＝32cos π6＋isin π6，由题意得
32cos
π6＋isin
π6×2cos
π3＋isin
π 3
＝32×2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3
＝2
3cos
163π＋isin
13
6
π
＝2
3cos
π6＋isin
π 6
＝3＋ 3i，
2
3cos
161π＋isin
161π×cos－π3＋isin－π3
＝2 3cos161π－π3＋isin161π－π3
＝2
3cos
32π＋isin
3 2π
＝－2 3i.
故把复数 3－ 3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为 3＋
22－
2
2
i
＝
2
2
cos
74π＋isin
74π，
所以 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i
＝
2cos
152π＋isin
152π×
2
2
cos
74π＋isin
7 4π
＝ 2× 22cos152π＋74π＋isin152π＋74π
＝cos 2162π＋isin 2162π
＝cos
π6＋isin
若复数 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且 z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝__r_1_r2_[_c_o_s(_θ_1_＋__θ_2)_＋__i_s_in_(_θ_1_＋__θ_2)_]___．
(2)zz21＝rr21（（ccooss
θ1＋isin θ2＋isin
θ1） θ2）
＝__rr_12_[c_o_s_(_θ_1－__θ_2_)_＋__is_i_n_(θ__1－__θ_2_)_] ____．
即：两个复数相乘，积的模等于___各__复__数__的__模___的__积____，积的辐角 等于各复数的辐角的__和___． 两个复数相除，商的模等于__被__除__数____的模除以___除__数_____的模所 得的商，商的辐角等于__被__除__数____的辐角减去___除__数_____的辐角所