七年级下册锦州数学期末试卷(提升篇)(Word版 含解析)

七年级下册锦州数学期末试卷（提升篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，CDB ∠与DBE ∠是同旁内角，它们是由（ ）
A ．直线CD ，A
B 被直线BD 所截形成的
B ．直线AD ，B
C 被直线AE 所截形成的
C ．直线DC ，AB 被直线A
D 所截形成的
D ．直线DC ，AB 被直线BC 所截形成的
2．下列四种汽车车标，可以看做是由某个基本图案经过平移得到的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
3．若点()3,P a -在x 轴上，则点()1,1Q a a +-所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．下列命题中：
①若0mn =，则点(,)A m n 在原点处；
②点2(2,1)m --一定在第四象限
③已知点(,)A m n 与点(,)B m n -，m ，n 均不为0，则直线AB 平行x 轴；
④已知点A (2，-3)，//AB y 轴，且5AB =，则B 点的坐标为(2，2)．
以上命题是真命题的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．35°
D ．40°
6．若33=0x y +，则x 和y 的关系是( )．
A ．x ＝y ＝0
B ．x 和y 互为相反数
C ．x 和y 相等
D ．不能确定
7．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC ＝30°），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A ．55°
B ．45°
C ．30°
D ．25°
8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把P 1(y ﹣1，﹣x ﹣1)叫做点P 的友好点，已知点A 1的友好点为A 2，点A 2的友好点为A 3，点A 3的友好点为A 4，这样依次得到各点．若A 2021的坐标为(﹣3，2)，设A 1(x ，y )，则x +y 的值是( )
A ．﹣5
B ．3
C ．﹣1
D ．5
二、填空题
9．若，则()m a b +的值为
10．在平面直角坐标系中，若点()27,2M a -和点()3,N b a b --+关于y 轴对称，则b a =____．
11．如图，点D 是△ABC 三边垂直平分线的交点，若∠A ＝64°，则∠D ＝_____°．
12．如图，AB ∥DE ，AD ⊥AB ，AE 平分∠BAC 交BC 于点F ，如果∠CAD =24°，则∠E ＝___°．
13．将一条长方形纸带按如图方式折叠，若1108∠=︒，则2∠的度数为________°．
14．阅读下列解题过程：
计算：232425122222++++
++ 解：设232425122222S =++++
++① 则232526222222S =+++++②
由②-①得，2621S =- 运用所学到的方法计算：233015555++++⋯⋯+=______________.
15．已知点(1,0)A 、(0,2)B ，点P 在x 轴上，且PAB △的面积为5，则点P 的坐标为__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，////AB EG x 轴，////////BC DE HG AP y 轴，点D 、C 、P 、H 在x 轴上，()1,2A ，()1,2B -，()3,0D -，()3,2E --，()3,2G -，把一条长为2021个单位长度且无弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A 处，并按
A B C D E F G H P A
→→→→→→→→→的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线的
另一端所在位置的点的坐标________．
三、解答题
17．计算：
（1）()()2201730.042731+-+--- （2）()231664532-----
18．求下列各式中x 的值：
（1）（x +1）3﹣27＝0
（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0
19．如图，点D ，F 分别是BC 、AB 上的点，//DF AC ，FDE A ∠=∠．
（1）对//DE AB 说明理由，将下列解题过程补充完整．
解：//DF AC （已知）
A ∴∠=________（________________________）
A FDE ∠=∠（已知）
FDE ∴∠=___________（________________________）
//DE AB ∴（______________________________）
（2）若AED ∠比BFD ∠大40︒，求BFD ∠的度数．
20．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(),a a -，点B 坐标为(),a b ，且满足4a b +=．
（1）若a 没有平方根，且点B 到x 轴的距离是点A 到x 轴距离的3倍，求点B 的坐标； （2）点D 的坐标为()4,2-，OAB 的面积是DAB 的2倍，求点B 的坐标．
21．已知：a 是173-的整数部分，b 是173-的小数部分．
求：
（1）a ，b 值
（2）()()22
4a b -++的平方根． 二十二、解答题
22．（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆______C 正．（填“=”或“<”或“>”号）
（2）如图，若正方形的面积为216cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为212cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由． 二十三、解答题
23．问题情境：
（1）如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，119PCD ∠=︒．求APC ∠度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P 作//PE AB ，请你接着完成解答．
问题迁移：
（2）如图3，//AD BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，PCE β∠=∠．试判断CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？（提示：过点P 作//PF AD ），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你猜想CPD ∠、α∠、β∠之间的数量关系并证明．
24．如图1，//AB CD ，在AB 、CD 内有一条折线EPF ．
（1）求证：AEP CFP EPF ∠+∠=∠；
（2）在图2中，画BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线，两条角平分线交于点Q ，请你补全图形，试探索EQF ∠与EPF ∠之间的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，已知BEP ∠和DFP ∠均为钝角，点G 在直线AB 、CD 之间，且满足1BEG BEP n ∠=∠，1DFG DFP n
∠=∠，（其中n 为常数且1n >），直接写出EGF ∠与EPF ∠的数量关系．
25．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分
线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
26．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有 个以线段AC 为边的“8字形”；
（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P 的度数；
（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13
∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P ），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为 ．
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角．
【详解】
解：CDB ∠与DBE ∠是同旁内角，它们是由直线CD ，AB 被直线BD 所截形成的 故选A ．
【点睛】
本题考查了同旁内角的含义，熟练掌握含义是解题的关键．
2．B
【分析】
根据平移变换的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
B. 可以经过平移变换得到，故本选项符合题意；
C
解析：B
【分析】
根据平移变换的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
B. 可以经过平移变换得到，故本选项符合题意；
C. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
D. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意； 故选B ．
【点睛】
本题主要考查平移变换的性质，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
3．D
【分析】
根据点()3,P a -在x 轴上，求得a ，从而求得Q 点的坐标，进而判断所在的象限．
【详解】
()3,P a -在x 轴上，
0a =，
11,11a a +=-=-，
∴()1,1Q -在第四象限，
故选D ．
【点睛】
本题考查了直角坐标系中坐标和象限的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系中坐标和象限的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】
利用有理数的性质和坐标轴上点的坐标特征可对①进行判断；利用0m =或0m ≠可对②进行判断；利用A 、B 点的纵坐标相同可对③进行判断；通过把A 点坐标向上或向下平移5个单位得到B 点坐标可对④进行判断．
【详解】
解：若0mn =，则0m =或0n =，所以点(,)A m n 坐标轴上，所以①为假命题；
210m --<，点2(2,1)m --一定在第四象限，所以②为真命题；
已知点(,)A m n 与点(,)B m n -，m ，n 均不为0，则直线AB 平行x 轴，所以③为真命题； 已知点3(2,)A -，//AB y 轴，且5AB =，则B 点的坐标为(2,2)或(2,8)-，所以④为假命题．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即
假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．B
【分析】
根据AB ∥CD ，∠3＝130°，求得∠GAB ＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE ＝180°﹣
∠GAB ＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，∠3＝130°，
∴∠GAB ＝∠3＝130°，
∵∠BAE +∠GAB ＝180°，
∴∠BAE ＝180°﹣∠GAB ＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝12∠BAE ＝12×50°＝25°．
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
6．B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y ，得出选项即可．
详解：
∵
33=0x y +, ∴33x y =-,
∴x=-y ，
即x 、y 互为相反数，
故选B ．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y ．
7．A
【分析】
易求ABD ∠的度数，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】
解：30ABC =︒∠，125∠=︒，
155ABD ABC ∴∠=∠+∠=︒，
直线//m n ，
255ABD ∴∠=∠=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．C
【分析】
列出部分An 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A2021的坐标为(﹣3，2)，找出A1的坐标，由此即可得出x 、y 的值，二者相加即可得出结论．
【
解析：C
【分析】
列出部分A n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；根据以上结论和A 2021的坐标为(﹣3，2)，找出A 1的坐标，由此即可得出x 、y 的值，二者相加即可得出结论．
【详解】
解：∵A 2021的坐标为(﹣3，2)，
根据题意可知：
A 2020的坐标为(﹣3，﹣2)，
A 2019的坐标为(1，﹣2)，
A 2018的坐标为(1，2)，
A 2017的坐标为(﹣3，2)，
…
∴A 4n +1(﹣3，2)，A 4n +2(1，2)，A 4n +3(1，﹣2)，A 4n +4(﹣3，﹣2)(n 为自然数)．
∵2021＝505×4•••1，
∵A 2021的坐标为(﹣3，2)，
∴A 1(﹣3，2)，
∴x +y ＝﹣3+2＝﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
二、填空题
9．－１
【解析】
解：有题意得，，，，则
解析：－１
【解析】 解：有题意得，，，，则()m a b 10．【分析】
关于y 轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a ，b 的
值即可解题．
【详解】
解：∵点M （2a-7，2）和N （-3﹣b ，a+b ）关于y 轴对称，
∴，
解得：，
则＝．
故 解析：116
【分析】
关于y 轴对称的点的特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数，据此解得a ，b 的值即可解题．
【详解】
解：∵点M （2a -7，2）和N （-3﹣b ，a +b ）关于y 轴对称，
∴2732a b a b -=+⎧⎨+=⎩
， 解得：42
a b =⎧⎨=-⎩， 则b a ＝()21416-=
． 故答案为：
116
． 【点睛】
本题考查关于y 轴对称的点的特征、涉及解二元一次方程组，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．128°
【解析】
【分析】
由点D 为三边垂直平分线交点,得到点D 为△ABC 的外心,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果
【详解】
∵D 为△ABC 三边垂直平分线交点,
∴点D 为△ABC 的
解析：128°
【解析】
【分析】
由点D 为三边垂直平分线交点,得到点D 为△ABC 的外心,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果
∵D为△ABC三边垂直平分线交点,
∴点D为△ABC的外心,
∴∠D=2∠A
∵∠A=64°
∴∠D=128°
故∠D的度数为128°
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半来解答
12．33
【分析】
由题意易得∠BAD=90°，则有∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可得
∠BAE=33°，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠C
解析：33
【分析】
由题意易得∠BAD=90°，则有∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可得∠BAE=33°，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠CAD=24°，
∴∠BAC=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=33°，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠BAE=33°，
故答案为33．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键．
13．36
【分析】
根据平行线的性质、折叠的性质即可解决．
∵AB ∥CD ，如图
∴∠GEC=∠1=108゜
由折叠的性质可得：∠2=∠FED
∵∠2+∠FED+∠GEC=180゜
∴∠2=
解析：36
【分析】
根据平行线的性质、折叠的性质即可解决．
【详解】
∵AB ∥CD ，如图
∴∠GEC =∠1=108゜
由折叠的性质可得：∠2=∠FED
∵∠2+∠FED +∠GEC =180゜
∴∠2=11(180)(180108)3622
GEC ︒-∠=⨯︒-︒=︒ 故答案为：36
【点睛】
本题考查了平行线的性质、折叠的性质、平角的概念，关键是掌握折叠的性质． 14．.
【分析】
设S=，等号两边都乘以5可解决．
【详解】
解：设S=①
则5S=②
②-①得4S=，
所以S=.
故答案是：.
【点睛】
本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的
解析：
31
51 4
-
.
【分析】
设S=2330
15555
++++⋯⋯+，等号两边都乘以5可解决．【详解】
解：设S=2330
15555
++++⋯⋯+①
则5S=233031
55555
+++⋯⋯+
+②
②-①得4S=311
-
5，
所以S=
31
51 4
-
.
故答案是：
31
51 4
-
.
【点睛】
本题考查了有理数运算中的规律性问题，此题参照例子，采用类比的方法就可以解决．15．（-4，0）或（6，0）
【分析】
设P（m，0），利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可；
【详解】
如图，设P（m，0），
由题意：•|1-m|•2=5，
∴m=-4或6，
∴P（-4
解析：（-4，0）或（6，0）
【分析】
设P（m，0），利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可；
【详解】
如图，设P（m，0），
由题意：1
2
•|1-m|•2=5，
∴m=-4或6，
∴P（-4，0）或（6，0），
故答案为：（-4，0）或（6，0）
【点睛】
此题考查三角形的面积、坐标与图形性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
16．【分析】
先求出“凸”形的周长为20，得到的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：，，，，，
∴，
“凸”形的周长为20，
又∵的余数为1，
细线另一端所在位置的点在的中点处，坐标为．
故
解析：(0,2)
【分析】
先求出“凸”形ABCDEGHP 的周长为20，得到202120÷的余数为1，由此即可解决问题．
【详解】
解：(1,2)A ，(1,2)B -，(3,0)D -，(3,2)E --，(3,2)G -，
∴2,2,2,2,6,2,2AB BC AP CD DE EG GH PH ========，
∴ “凸”形ABCDEGHP 的周长为20，
又∵202120÷的余数为1，
∴细线另一端所在位置的点在AB 的中点处，坐标为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出“凸”形的周长，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（1）1.2；（2）
【解析】试题分析：(1)、根据算术平方根、立方根以及-1的奇数次幂的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、根据算术平方根、立方根以及绝对值的计算法则得出各式的值，
解析：（1）1.2；（27
【解析】试题分析：(1)、根据算术平方根、立方根以及-1的奇数次幂的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；(2)、根据算术平方根、立方根以及绝对值的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案.
试题解析：（1）原式()()0.23310.2331 1.2=+-+--=-++=
（2）原式(445244527=---=---= 18．（1）x=2；（2）x=3或x=-2．
【分析】
（1）根据立方根的定义进行求解即可；
（2）根据平方根的定义进行求解，即可得出答案．
【详解】
解：（1）(x+1)3-27=0，
(x+1)3=2
解析：（1）x=2；（2）x=3或x=-2．
【分析】
（1）根据立方根的定义进行求解即可；
（2）根据平方根的定义进行求解，即可得出答案．
【详解】
解：（1）(x+1)3-27=0，
(x+1)3=27，
x+1=3，
x=2；
（2）(2x-1)2-25=0，
(2x-1)2=25，
2x-1=±5，
x=3或x=-2．
【点睛】
本题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键．19．（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可
解析：（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED＝180°，∠A＝∠BFD，再求出∠AED﹣∠A＝40°，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵DF//AC（已知），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠FDE（已知），
∴∠FDE＝∠BFD（等量代换），
∴DE//AB（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平
行；
（2）解：∵DF//AC，
∴∠A＝∠BFD，
∵∠AED比∠BFD大40°，
∴∠AED﹣∠BFD＝40°，
∴∠AED﹣∠A＝40°，
∴∠AED＝40°+∠A，
∵DE//AB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠A+40°+∠A＝180°，
∴∠A＝70°，
∴∠BFD＝70°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
20．（1）（-2，6）；（2）（，）或（8，-4）
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a＜0，再利用点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍得到方程，解之得到a值，可写出B点坐标；
（2）利用A（a，-
解析：（1）（-2，6）；（2）（8
3
，
4
3
）或（8，-4）
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a＜0，再利用点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍得到方程，解之得到a值，可写出B点坐标；
（2）利用A（a，-a）和B（a，4-a）得到AB=4，AB与y轴平行，由于点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，则判断点A、点B在y轴的右侧，即a＞
0，根据三角形面积公式得到11
4244
22
a a
⨯⨯=⨯⨯⨯-，解方程得到a值，然后写出B点坐
标．
【详解】
解：（1）∵a没有平方根，
∴a＜0，
∴-a＞0，
∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴3
b a
=-，
∵a+b=4，
∴43
a a
-=-，
解得：a =-2或a =1（舍），
∴b =6，此时点B 的坐标为（-2，6）；
（2）∵点A 的坐标为（a ，-a ），点B 坐标为（a ，4-a ），
∴AB =4，AB 与y 轴平行，
∵点D 的坐标为（4，-2），△OAB 的面积是△DAB 面积的2倍，
∴点A 、点B 在y 轴的右侧，即a ＞0， ∴11424422
a a ⨯⨯=⨯⨯⨯-， 解得：a =83
或a =8， ∴B 点坐标为（83，43
）或（8，-4）． 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式和平方根的性质．
21．（1），．
（2）．
【分析】
（1）首先得出接近的整数，进而得出a ，b 的值；
（2）根据平方根即可解答．
【详解】
，
∴整数部分，小数部分．
（2）
原式
，
则的平方根为．
【点睛】
此题
解析：（1）1a =，4b =．
（2）±
【分析】
（1接近的整数，进而得出a ，b 的值；
（2）根据平方根即可解答．
【详解】 1754＜＜
∴ 132<<，
∴整数部分1a =，小数部分314b -=．
（2）()()224a b -++
原式())2
2144=-++ 11718=+=，
则()()22
4a b -++的平方根为±
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a ，b 的值是解题关键． 二十二、解答题
22．（1）＜；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于
解析：（1）＜；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案；
（2）设裁出的长方形的长为3()a cm ，宽为2()a cm ，由题意得关于a 的方程，解得a 的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．
【详解】
解：（1）圆的面积与正方形的面积都是22cm π，
∴)cm )cm ，
)
C cm ∴=圆，)C cm =正，
32848ππππ=⨯>⨯，
∴
C C ∴<正圆．
（2）不能裁出长和宽之比为3:2的长方形，理由如下：
设裁出的长方形的长为3()a cm ，宽为2()a cm ，由题意得：
3212a a ⨯=，
解得a =a =
∴
长为，宽为，
正方形的面积为216cm ，
∴正方形的边长为4cm ， 324>，
∴不能裁出长和宽之比为3:2的长方形．
【点睛】
本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①当在延长线时（点不与点重合），；②当在之间时（点不与点，重合），．理由见解析
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC= 解析：（1）见解析；（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由见解析；（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠；②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠．理由见解析
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC =113°；
（2）过过P 作//PF AD 交CD 于F ，，推出////AD PF BC ，根据平行线的性质得出180BCP ，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P 在BA 的延长线上，②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合）），根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）过P 作//PE AB ，
//AB CD ，
////PE AB CD ∴，
=180APE PAB ，180CPE PCD ∠+∠=︒，
128PAB ∠=︒，119PCD ∠=︒
52APE ∴∠=︒，61CPE ∠=︒，
5261113APC ∴∠=︒+︒=︒；
（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由如下：
如图3，过P 作//PF AD 交CD 于F ，
//AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，
180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠，
180BCP β∴∠=︒-∠
又ADP α∠=∠
=180CPD DPF CPF ；
（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠； 理由：如图4，过P 作//PF AD 交CD 于F ， //AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠， 180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠， 180BCP β∴∠=︒-∠，
又ADP α∠=∠，
180CPD CPF DPF αβ∴∠=∠-∠=︒-∠-∠；
②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠． 理由：如图5，过P 作//PF AD 交CD 于F ， //AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠， 180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠， 180BCP β∴∠=︒-∠，
又ADP α∠=∠
180CPD DPF CPF αβ∴∠=∠-∠=∠+∠-︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
24．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）过点作，根据平行线性质可得；
（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；
（3）由（２）结论可得：．
【详解】
（1）证明：如图1，过
解析：（1）见解析；（2）2360EPF EQF ∠+∠=︒；见解析；（3）
360EPF n EGF ∠+∠=︒
【分析】
（1）过点P 作//PG AB ，根据平行线性质可得；
（2）由（1）结论可得：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，再根据角平分线性质可得EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠()13602
EPF =︒-∠； （3）由（２）结论可得：()1EGF BEG DFG BEP DFP n ∠=∠+∠=
∠+∠()1360EPF n =︒-∠． 【详解】
（1）证明：如图1，过点P 作//PG AB ，
∵//AB CD ，
∴//PG CD ，
∴1AEP ∠=∠，2CFP ∠=∠，
又∵12EPF ∠+∠=∠，
∴AEP CFP EPF ∠+∠=∠；
（2）如图2，
由（1）可得：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，EQF BEQ DFQ ∠=∠+∠，
∵BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线相交于点Q ，
∴1()2
EQF BEQ DFQ BEP DFP ∠=∠+∠=∠+∠ []()11360()36022
AEP CFP EPF =︒-∠+∠=︒-∠， ∴2360EPF EQF ∠+∠=︒；
（3）由（２）可得：EPF AEP CFP ∠=∠+，EGF BEG DFG ∠=∠+∠， ∵1BEG BEP n ∠=∠，1DFG DFP n
∠=∠， ∴1()EGF BEG DF n
G BEP DFP ∠=∠+∠=∠+∠ []()11360()360AEP CFP EPF n n
=︒-∠+∠=︒-∠， ∴360EPF n EGF ∠+∠=︒；
【点睛】
考核知识点：平行线性质和判定的综合运用．熟练运用平行线性质和判定是关键． 25．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CAE=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
26．（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.
【分析】
（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠
解析：（1）3；（2）98°；（3）∠P=（β+2α），理由见解析；（4）360°.
【分析】
（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入计算即可；
（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=（2∠C+∠B）．
（4）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根据四边形内角和为360°可得答案．
【详解】
解：（1）在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”，
故答案为3；
（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B，
即∠P=（∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°
∴∠P=（100°+96°）=98°；
（3）∠P=（β+2α）；
理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，
∴∠BAP=∠BAC，∠BDP=∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC，
∴2（∠C﹣∠P）=∠P﹣∠B，
∴∠P=（∠B+2∠C），
∵∠C=α，∠B=β，
∴∠P=（β+2α）；
（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为360°．。