北师版数学选修1-2：第3章 §1 1.2 类比推理 学业分层测评7

学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】 D
2．下列推理正确的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(x＋y)n＝x n＋y n
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
【解析】乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z＝x(yz)．故选D.
【答案】 D
3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，
则r＝
2S
a＋b＋c
，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，
S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()
A.
V
S1＋S2＋S3＋S4
B．
2V
S1＋S2＋S3＋S4
C.
3V
S1＋S2＋S3＋S4
D．
4V
S1＋S2＋S3＋S4
【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的
和．则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.
【答案】 C
4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d ≠0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q ≠1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )
A ．b 5b 7>b 4b 8
B ．b 7b 8>b 4b 5
C ．b 5＋b 7<b 4＋b 8
D ．b 7＋b 8<b 4＋b 5
【解析】 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7)
＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )]
＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0，
∴b 5＋b 7<b 4＋b 8.
【答案】 C
5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形
ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等
的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的
距离都相等”，则AO OM ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知
点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝。