江苏XX高级中学高三理科数学自主探究试题附答案(2021届)

江苏XX 高级中学高三理科数学自主探究试题
1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则U A = ▲ .
2. 若复数z 满足zi=2+i （i 是虚数单位），则z= ▲ .
3. 已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点21,
2
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则k α+= ▲ .
4. 如图，给出一个算法的伪代码， Read x If Then
x 0
≤ ()x x f 4← Else
()x
x f 2
← If
End ()x f int Pr 则=+-)2()3(f f ▲
5. 设x 0是方程8－x=lgx 的解，且0(,1)()x k k k ∈+∈Z ，则k ＝ ▲ .
6.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ▲ .
7．已知5cos(),(0,)6132
ππ
θθ+=∈，则cos θ= ▲ .
8.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；
（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题．．．
的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）. 9．数列{}n a 满足11
(*)2
n n a a n N ++=∈,11a =,n S 是{}n a 的前n 项和,则21S ＝ ▲ .
10. 甲,乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{1,2,3,4}a b ∈．若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ ． 11.命题“ax 2－2ax ＋ 3 > 0恒成立”是假命题．．．, 则实数a 的取值范围是 ▲ ． 12. 已知平面上的向量PA 、PB 满足2
2
4PA PB +=,2AB =，设向量2PC PA PB =+，则
PC 的最小值是 ▲
13.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则b
a
11+的最小值
是 ▲ .
14. 设函数f(x)=ax+b ，其中a ，b 为常数，f 1(x)＝f(x)，f n+1(x)＝f [f n (x)]，n ＝1，2，….
若f 5(x)=32x+93, 则ab ＝ ▲ .
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15. （本小题满分14分）
如图，A ，B 是圆O 上的两点，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，已知A （－3，4）， 且点B 在劣弧CA 上，△AOB 为正三角形． （1）求cos∠COA； （2）求BC 2的值．
O
x
y B
C
A
16. （本小题满分14分）
如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的 中点．
（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．
17. （本小题满分15分）
建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36
平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰长的和．．．．．．
）要最小． （1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长最小为多少米？
18、（本小题满分15分）
已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（7分）
（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. （8分）
19．（本题满分16分）
如图，在直角坐标系xOy 中，有一组底边．．
长为n a 的等腰直角三角形n n n A B C ),2,1( =n ，底边．．
n n B C 依次放置在y 轴上（相邻顶点重合），点1B 的坐标为(0,)b ，0b >。

C
D
B
F
E D 1
C 1
B 1
A
A 1
3(C )(C )21(C )4
B 3
B 2
B B 1A 3
A 2
O
1
x
y
A
（Ⅰ）若123,,,,n A A A A 在同一条直线上，求证数列{}n a 是等比数列；
（Ⅱ）若1a 是正整数，123,,,,n A A A A 依次在函数2
y x =的图象上，且前三个等腰直角三角
形面积之和不大于43
2
，求数列{}n a 的通项公式。

20. （本题满分16分）函数(1)
()ln (0,)a x f x x x a R x
-=->∈. （1）试求f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式111
ln 12
x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立.
自主探究试题参考答案
1．{2，4}; 2．1－2i ; 3．32
； 4．－8 ； 5．7； 6．20； 7
； 8．(1)(2)； 9.6； 10．58
；
11．(－∞，0)∪[3，＋∞） 12．2； 13．4 ； 14． 6 ； 15. 解:（1）因为A （－3，4），
所以cos∠COA＝
－3(－3)2＋4
2＝－3
5；…………………………………4分 （2）sin∠COA＝
4(－3)2＋42＝45
； ………………………………6分
所以cos∠BOC＝cos(∠COA－
π3)＝cos∠COA cos π3＋sin∠COA sin π3
＝－35×12＋45×32＝43－3
10．…………………10分
在△OBC 中，由余弦定理得：
BC 2＝OB 2＋OC 2－2 OB·OC·cos∠BOC＝52＋52－2×5×5×
43－3
10
＝65－203． ……………………………………14分
16.证明：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则
11111111////EF D B
D B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面
E
D 1
C 1
B 1
A 1
（2）
1111111,B C AB
B C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪
⎪=⎭
平面⇒
111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭
平面平面
111//B C BD EF BD ⊥⎫
⎬⎭
1EF B C ⇒⊥
（3）11CF BDD B ⊥平面
1CF EFB ∴⊥平面 且
CF BF ==
11
2
EF BD =
=
，1B F =
==
13B E ===
∴22211EF B F B E +=
即190EFB ∠=
11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=111
32EF B F CF ⨯⋅⋅⋅
=11
132
⨯= 17. 解：（1）h BC AD )(21
36+=，AD ＝BC+2×hcot 60=BC+
h 3
32， h h BC )33
22(2136+=
，解得h h BC 3
336-=
． 设外周长为l ，则h h h BC AB l 333660sin 22-+=+=
263
63≥+=h h ； 当h
h 3
63=
，即6=h 时等号成立．外周长的最小值为26米，此时堤高h 为6米． （2）),6
(3363h
h h h +=+
设32321≤<≤h h ， 则=--+
112266h h h h 0)61)((2
112>--h h h h ，l 是h 的增函数， ∴353
3
633min =+
⨯=l (米)．（当3=h 时取得最小值）． 18. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,
则由230
43120
x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0）.………………………………………………（3分）
设椭圆C 的方程为2
2
221(0)x y a b a b +=>>,则222
3
8c a c a b c =⎧⎪
+=⎨⎪=+⎩
,
解得5
43
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
…………（6分） 所以椭圆C 的方程为2212516x y += ……………（7
分）
（2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以22
2212516
m n m n =
+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +
=的距离1d r =
<=.
所以直线l 与圆O 恒相交…………………………………………（11分） 又直线l 被圆O 截得的弦
长为
L ==
=13分）
由于2025m ≤≤,所以2
916162525
m ≤
+
≤,
则L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值
范围
是L ∈……………………（15分）
19．解：（Ⅰ）n A 点的坐标依次为111(
,)22a a A b +，2221(,)22
a a
A b a ++，…， 11(
,)22
n n n n a a
A b a a -++++，…， ……………………………2分 则111(,)2222
n n n n n n a a a a
A A +++=-+，1,2,3,n =…，
若123,,,,n A A A A 共线；则11//n n n n A A A A -+，
即1111(
,)//(,)22222222
n n n n n n n n a a a a a a a a
--++-+-+， 即1111()()()()0n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+-+-+-=， ……………………………4分
2211111111()()0n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+--+--+--=，
211n n n a a a -+=，
所以数列{}n a 是等比数列。

……………………………………………6分 （Ⅱ）依题意211()22n n n a a
b a a -++
++
=， 21111()22
n n n n a a
b a a a ++-+++++=，
两式作差，则有：111()()
24
n n n n n n a a a a a a +++++-=， ………………………8分
又10n n a a ++≠，故12n n a a +-=， ……………………………………………10分 即数列{}n a 是公差为2的等差数列；此数列的前三项依次为
,2,4a a a ++，
由222(2)(4)43
4442
a a a +++
+≤
，可得22a ≤≤， 故1a =，或2a =，或3a =。

………………………………………12分 数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，或2n a n =，或21n a n =+。

………14分 由211()22a a b +
=知，1a =时，1
4
b =-不合题意； 2a =时，0b =不合题意；
3a =时，3
04
b =
>； 所以，数列{}n a 的通项公式是21n a n =+。

……………………………………16分 20.解：（1）/221()(0)a x a
f x x x x x
-=
-=>. …………………………1分 当0a ≤时，/()0f x >，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………2分 当0a >时，(0,)x a ∈时，/()0f x <，∴()f x 在(0,)a 上单调递减；
(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增. ……………………3分
综上所述，当0a ≤时，∴()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；
当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a . ……4分 （2）充分性：a=1时，由（1）知，()f x 在x=1处有极小值也是最小值，
即min ()(1)0f x f ==.而()f x 在(0,1)上单调递减，()f x 在(1,)+∞上单调递增，
∴()f x 在(0,)+∞上由唯一的一个零点x=1. ……6分
必要性：()f x =0在(0,)+∞上有唯一解，且a>0, 由（1）知，()f x 在x=a 处有极小值也是
最小值。