北师大版初二数学秋季班(教师版) 第1讲 特殊图形的旋转与弦图--基础班

北师大初二数学8年级上册秋季版（教师版）
最
新
讲
义
第1讲复杂的“旋转型”与弦图
知识点1 复杂的“旋转型”
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
常见的一些模型如下：
【典例】
1.如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，对角线的交点为O，连接AO，如果AB=3，AO=2√2，求AC的长.
【解析】解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC ，∠BOC=90°，
∴∠2+∠OCF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠OBA=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠OBA=∠OCF ．
∵在△ABO 和△FCO 中，
{OB =OC ∠OBA =∠OCF AB =CF
，
∴△ABO ≌△FCO （ASA ），
∴OF=AO=2√2，∠AOB=∠FOC ，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF=∠BOC=90°，
∴△AOF 是等腰直角三角形，
∴AF=√2AO=√2×2√2=4，
∴AC=AF+CF=4+3=7．
【方法总结】
在AC 上截取CF=AB ，利用“边角边”证明△ABO 和△FCO 全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO ，∠AOB=∠FOC ，然后判定出△AOF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的√2倍求出AF ，再根据AC=AF+CF ，代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
2.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交AC 边于D ，求DE 的长.
【解析】解：过P 作PF ∥BC 交AC 于F ．
∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD ，△APF 是等边三角形，
∴AP=PF=AF.
∵PE ⊥AC ，
∴AE=EF.
∵AP=PF ，AP=CQ ，
∴PF=CQ ．
∵在△PFD 和△QCD 中，
{∠PFD =∠QCD
∠PDF =∠QDC
PF =CQ ，
∴△PFD ≌△QCD （AAS ），
∴FD=CD ，
∵AE=EF ，
∴EF+FD=AE+CD ，
∴AE+CD=DE=1
AC.
2
∵AC=1，
．
∴DE=1
2
【方法总结】
过P作PF∥BC交AC于F，得出三角形APF是等边三角形，推出AP=PF=QC，根据等腰
AC即可．三角形性质求出EF=AE，由AAS证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=1
2
本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生综合分析问题和解决问题的能力，难度适中．
【随堂练习】
1如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为___
【答案】35°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°.
∵在△BCE和△DCF中，。