高中第一册(下)数学平面向量 高考汇编

高中第一册(下)数学平面向量 高考汇编
1．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、
表示） 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，1
2
AM a b =+
，所以3111
()()4244MN a b a b a b =+-+=-+。

2．（2006年福建卷）已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m
n
等于 （ B ） （A ）1
3
（B ）3 （C ）33 （D ）3
3．（2006年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：
2121.x x y y =-+-
给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o
C ∠=则2
22
;AC
CB AB +=
③在ABC ∆中，.AC CB AB +>
其中真命题的个数为 （ B ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
4．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD
A. BA BC 21+
- B. BA BC 21
-- C. BA BC 21- D. BA BC 2
1
+
4．BA BC BD CB CD 21
+-=+=，故选A.
5． ( 2006年重庆卷)与向量a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭
⎫
⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( B)
(A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54
（C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,3
22或⎪⎭⎫
⎝⎛-31,322 6. （2006年上海春卷）若向量b a 、的夹角为 150，4,3==b a
，则=+b a
2 2 .
7．（2006年四川卷）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ） （A ）1213,PP PP （B ）1214,PP PP （C ）1215,PP PP （D ）1216,PP PP
8．（2006年天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos _31010
_．
9.（2006年湖北卷）已知向量()
1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b = （B ）
A.
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛433,41 D. ()0,1 9．解选B 。

设(),()b x y x y =≠，则依题意有221,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1,232
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩ 10．（2006年全国卷I ）函数()tan 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调增区间为
A ．,,22k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
D ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭ 10．以下如无特别说明，k Z ∈。

可以按部就班地解：tan y t =（自变量为t ）的单调区间为（2k π
π-
，
2k π
π+
），设
4t x π
=+
，则t 是
关于x 的单调增函数。

解
2
4
2k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
，得
344k x k ππ
ππ-
<<+。

按部就班地解是最安全的办
法。

也可以用图象来解：函数()tan g x x =的图象向左平移4π即是()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象。

所以()g x 的
单调区间（2k ππ-，2k ππ-
）“左移”4π
即是()f x 的单调区间（34k ππ-，4k ππ+）。

这个题并不复杂，因为本题中复合函数
()()()
f x
g x ϕ=的内函数()x ϕ是单调递增的一次函数。

从这
个题来看，试题仍然继承着温柔派门风。

如果()x ϕ是个二次函数或其他不在整个实数域上单调的函数，
问题可就严重了。

11．（2006年全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
A ．
14 B ．3
4
C ．24
D ．23
11．设1a =，则2c =，2b 。

2221423
cos 244a c b B ac +-+-===。

选B 。

选支不带或，你要不用特值法，那都对不起出题的人！ 12．（2006年江苏卷）︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ ▲
解
()
()()002
cot 20cos103tan 702cos 40tan 70cos1032cos 4012tan 70sin 40cos 4021tan 7040202sin 202
cos 70︒︒+︒︒-︒=︒-︒
=︒︒-︒=+︒︒-︒=︒=︒
点评：本题主要考查三角函数的画简与求值 13．（2006年江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ ▲ 解：利用正弦定理
12,sin sin 4546sin sin sin sin 60
AC BC BC AC B B A A ==•=•=所以 点评：本题主要考查正弦定理的应用
14．（2006年江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所
有的点
（A ）向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解：根据三角函数的图像变换法则易得：把R x x y ∈=,sin 2向左平移
6
π
个单位长度得2sin ,6y x x R π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）故选（C ）
点评：本题主要考查形如()sin y A x ωϕ=+的三角函数图像的变换
15． （2006年辽宁卷）已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是 (A)[]1,1- (B) 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C) 21,2⎡-⎢⎣⎦ (D) 21,2⎡--⎢⎣
⎦
【解析】cos (sin cos )11
()(sin cos )sin cos sin (sin cos )
22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩
即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。

16．（2006年北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是_3
π
_____________. 17．（2006年上海卷）如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2
cos(π
α+＝
26 ． 18．（ 2006年浙江卷）函数y=
2
1sinx+4sin 2
x,x R ∈的值域是 ( C ) (A)［-21,23］ (B)［-23,2
1
］
(C)［2122,2122++-］ (D)［2
122,2122---］ 19. ( 2006年湖南卷）若()sin()sin()(0)44
f x a x b x ab π
π
=+
+-≠是偶函数,则有序实数对(,a b )可以是
（-1，-1） .(注:只要填满足0a b +=的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可). 20．(2006年山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =3,b =1，则c =( B) (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 21．(2006年山东卷）已知函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;
（2）计算f (1)+f (2)+… +f (2 008). 21. (1)ϕ=
4
π
;(2)2008. 22．（2006年上海卷）求函数y ＝2)4
cos()4
cos(π
π
-
+
x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．
[解]
23. ( 2006年湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若AC=3DC,求β的值. 23．
3
π 24．（ 2006年浙江卷）如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤
2
π
)的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM 24. 15arccos 17
25．（2006年北京卷）已知函数12)
4()cos x f x x
π
-=
， （Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4
tan 3
α=-，求()f α的值.
25. （Ⅰ）{|,}2x x k k Z ππ≠+∈,（Ⅱ）14
5
.
26．（2006年辽宁卷）已知函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间.
【解析】(I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222)224
x x f x x x x x π
-+=
++=++=++ ∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值22函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++22)4
x π
=++
B
D
C
α
β A
图3
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值22函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
(II)解: ()22)4
f x x π
=+
由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
即: 3()88
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关
知识的能力. 27．（2006年江西卷）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是 边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ， 设∠MGA ＝α（
23
3
π
π
α≤≤
） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2） 表示为α的函数
（2） 求y ＝2212
11
S S ＋的最大值与最小值
27．解：
（1） 因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，
所以 AG ＝233323⨯＝，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GA
sin sin 66πππα＝
（－－） 得3
GM 6sin 6
π
α＝（＋）
则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6
απα（＋）
同理可求得S 2＝
sin 12sin 6
α
π
α（－）
（2） y ＝221211y y ＋＝22
2144sin sin sin 66
ππααα〔（＋）＋（－）〕
＝72（3＋cot 2α）因为233ππα≤≤，所以当α＝3
π
或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240
当α＝2
π
时，y 取得最小值y min ＝216
28．（2006年全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C
A ++取得最大值，并求出这个最大值。

α
D
A C
M
N
28．解：2cos 2cos
cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 22222B C A A A A
A A A π+-+=+=+=-+
记
sin
2A
t =（0A π<<）
则原问题等价于求
()2
221f t t t =-++在(0，1]上的最大值 ()2
2
1121222f t t ⎛⎫⎛⎫
=--++⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
当
14t =时，即3A π
=时，()f t 取得最大值32。

29. （2006年湖北卷）设函数
()()c b a x f +⋅=，其中向量
()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-= ()R x x x c ∈-=,sin ,cos .
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最
小的d .
29．点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+4
3π
). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是
2
2π
＝π. （Ⅱ）由sin(2x+
43π)＝0得2x+4
3π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ， 于是d ＝（
8
32π
π-
k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―
8
π
，―2）即为所求. 30．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π
2
．
（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；
（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
30．解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，……………2分
由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π
4
；………………4分
（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得
｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)
＝3＋22sin(θ＋π
4
)，………………10分
当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π
4
时，|a ＋b |最大值为2＋1．……12分
31．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈
（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

31.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →
, 知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1
. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2) = 1－2t.
∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵DM →=t DE → ∴(x+2t －2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t
－1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－2t). ∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)
2 , ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t ∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2] 解法二: (Ⅰ)同上. (Ⅱ) 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB → = OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →, OE → = OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →, OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →
= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →
.
设M 点的坐标为(x,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →
=(－2,1)得 ⎩
⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]
y O
M D
A C －1 －1 －2 1 2 B
E
第21题解法图。