超级资源(共24套103页)最新中考数学真题分类汇编

超级资源（共24套103页）最新中考数学真题
分类汇编
中考数学精选例题解析 不等式与一元一次不等式(组)及解法
知识考点：
了解一元一次不等式、一元一次不等式组的概念，能熟练地运用不等式的性质解一元一次不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来，能够根据具体问题中的数量关系，列出一次不等式（组）解决简单的问题。

精典例题：
【例1】解不等式
2131--+y y ≥16
1
--y ，并在数轴上表示出它的解集。

分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。

答案：y ≤6
【例2】解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤--x x x x 3
523)1(2，并在数轴上表示出它的解集。

分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求
出解集，标到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。

答案：－1≤x ＜5
【例3】求方程组⎩
⎨
⎧=+=+2635y x k
y x 的正整数解。

分析：由题设知，k 必为正整数，由方程组可解得用含k 的代数式表示x 、y ，又x 、
y 均大于零，可得出不等式组，解出k 的范围，再由k 为正整数可得k ＝6、7、8，分别代
入可得解。

答案：当k ＝6时，⎩⎨⎧==24y x ；当k ＝8时，⎩
⎨⎧==71
y x
探索与创新：
【问题一】已知不等式a x -3≤0，的正整数解只有1、2、3，求a 。

略解：先解a x -3≤0可得：x ≤3a ，考虑整数解的定义，并结合数轴确定3
a
允许的范围，可得3≤
3
a
＜4，解得9≤a ＜12。

不要被“求a ”二字误导，以为a 只是某个值。

【问题二】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B 种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

（1）按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A 、B 两种产品总利润为y 元，其中一种产品生产件数为x 件，试写出y 与
x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？
略解：
（1）设生产A 种产品x 件，那么B 种产品)50(x -件，则：
⎩
⎨⎧≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x 解得30≤x ≤32
∴x ＝30、31、32，依x 的值分类，可设计三种方案；
（2）设安排生产A 种产品x 件，那么：)50(1200
700x x y -+=
整理得：60000500+-=x y （x ＝30、31、32）
根据一次函数的性质，当x ＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45 000
元。

跟踪训练： 一、填空题：
1、用不等式表示：
①13-x 是非负数 ； ②52-x 不大于3 ；
③a 的2倍减去－3的差是负数 。

2、若a ＜b ，m 为实数，用不等号填空： ①a m 2 b m 2
；
②m ＞m ，则ma mb 。

3、若2)2(2
-=-m m ，则不等式m 28-≥0的整数解是 。

4、当1＜x ＜2时，代数式4412+-+
-x x x 的值等于 。

5、若不等式组⎩
⎨⎧>-<-321
2b x a x 的解集为－1＜x ＜1，那么)1)(1(-+b a 的值等于 。

6、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0
1
25a x x 无解，则a 的取值范围是 。

二、选择题：
1、下列各中，不满足不等式8)5(2-<-x x 的解集的是（ ） A 、－4 B 、－5 C 、－3 D 、5
2、对任意实数a ，下列各式中一定成立的是（ ）
A 、a a >
B 、a a ->
C 、a a -≥
D 、a a ≤
3、函数1
5
++=
x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≠1 B 、x ≠－1 C 、x ≠0 D 、x ≥－5且x ≠－1 4、函数1
1
+=
x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≠1 B 、x ≠－1 C 、x ≠0 D 、全体数 三、求下列各函数中自变量x 的取值范围。

1、1+=
x x
y ； 2、x
y 2
-=；
3、x
x y -+=
21； 4、2
1
22-++=
x x x y 。

四、解不等式（组）：
1、解不等式：
1)1(2
2
<---x x ，并把解集在数轴上表示出来； 2、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-+>-+≤+-
)3)(3()1(22
1
1x x x x x x ，并把解集在数轴上表示出来； 3、解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧-<-≥--312123)2(43x x x x ；
4、求不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧->--≥+352395)1(3x x x x 的正整数解。

五、已知a a -=-33，当a 为何整数时，方程组⎩
⎨⎧=-=-a y x y x 1151
63的解都是负数？
六、将若干只鸟放入若干个笼子，若每个笼子里只放4只，则有一只鸟无笼可放；若每个笼
子放5只，则有一个笼子无鸟可放。

问至少有几只鸟？几个鸟笼？
参考答案
一、填空题：
1、①13-x ≥0；②52-x ≤3；③32+a ≤0；
2、①≤；②＞；
3、2，3，4；
4、1；
5、－6；
6、a ≥3 二、选择题：DDDD
三、求下列各函数中自变量x 的取值范围。

1、x ≥0；
2、x ＜0；
3、－1≤x ＜2；
4、x ≥2
1
-
且x ≠1 四、解不等式（组）：
1、x ＞－2；
2、－1≤x ＜9；
3、－4＜x ≤5；
4、x ＝5或6 五、a ＝2或3 六、25只，6个
中考数学精选例题解析：二次根式
知识考点：
数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。

精典例题：
【例1】填空题：
（1）()2
3-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2
5
-的算术平
方根是 ；38的立方根是 。

（2）若2
2
-
是a 的立方根，则a ＝ ；若b 的平方根是±6，则b ＝ 。

（3）若x 21-有意义，则x ；若3
2
1
-x 有意义，则x 。

（4）若02=+m m ，则m ；若
()13312
-=-a a ，则a ；
若12
-=a
a ，则a ；若
(
)
1
11--+x 有意义，则x 的取值范围是 ；
（5）若
x -2有意义，则()2
2x -＝ 。

（6）若a ＜0，则a a -2＝ ；若b ＜0，化简b
a b ab a 32+＝ 。

答案：（1）3±，2，51，32；（2）4
2
-，6；（3）x ≤21，x ≠2； （4）m ≤0，a ≥
3
1
，a ＜0，x ≥－1且x ≠0；（5）x -2； （6）a 2-，ab ab 2- 【例2】选择题： 1、式子
1
313--=
--x x
x x 成立的条件是（ ） A 、x ≥3 B 、x ≤1 C 、1≤x ≤3 D 、1＜x ≤3
2、下列等式不成立的是（ ） A 、
()
a a =2
B 、a a =2
C 、33a a -=-
D 、a a
a -=-
1
3、若x ＜2，化简
()x x -+-322
的正确结果是（ ）
A 、－1
B 、1
C 、52-x
D 、x 25- 4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（ ）
A 、ax x -
B 、ax x --
C 、ax x
D 、ax x - 答案：DDDA 【例3】解答题：
（1）已知51=-
a
a ，求a
a 1
-
的值。

（2）设m 、n 都是实数，且满足2
2
4422-+-+-=
m m m n ，求mn 的值。

分析：解决题（1）的问题，一般不需要将a 的值求出，可将51=-
a
a 等式两边
同时平方，可求得31=+a a ，再求4112
2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a 的值，开方即得所求代数式
的值；题（2）中，由被开方数是非负数得2±=m ，但分母02≠-m ，故2-=m ，代入
原等式求得n 的值。

略解：（1）由51
=-a a 得：71=+a a ，454112
2=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a
故531
±=-a a （2）⎪⎩
⎪⎨⎧≠-≥-≥-0
204042
2m m m 解得2-=m ，21-=n
∴mn ＝1 探索与创新：
【问题一】最简根式
()y x y x -+22
1
与
()62
1
23+-+y y x 能是同类根式吗？若能，求出x 、
y 的值；若不能，请说明理由。

分析：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，不是同类二次根式。

略解：假设他们是同类根式，则有：
()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=-2
362
1221
y x y x y y x 解得⎩⎨⎧-==21y x 把⎩⎨
⎧-==2
1
y x 代入两根式皆为1-无意义，故它们不能是同类根式。

【问题二】观察下面各式及其验证过程： （1）3
22322
+= 验证：32
21
22)12(2122)22(323222
2233+=-+-=-+-==
（2）8
33833
+= 验证：83
31
33)13(3133)33(8383322233+
=-+-=-+-== （3）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想15
4
4
的变形结果并进行验证； （4）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。

分析：本题是一道常见的探索性题型，通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析，类比得出用n 表示的等式：1
12
2-+=-n n
n n n n 解答过程略。

跟踪训练： 一、填空题：
1、()2
21-的平方根是 ；
81
49
的算术平方根是 ；3216-的立方根是 ；
2、当a 时，23-a 无意义；
3
22x
x +-有意义的条件是 。

3、如果a 的平方根是±2，那么a ＝ 。

4、最简二次根式b a 34+与162++-b b a 是同类二次根式，则a ＝ ，b ＝ 。

5、如果b a b b ab b a )(2322-=+-，则a 、b 应满足 。

6、把根号外的因式移到根号内：a 3-＝ ；当b ＞0时，
x x
b ＝ ；
a
a --11
)
1(＝ 。

7、若04.0-=m ，则22m m -＝ 。

8、若m ＜0，化简：3322m m m m ++
+＝ 。

二、选择题：
1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（ ）
A 、±1
B 、0
C 、1
D 、0和1
2、在316x 、32
-
、5.0-、x
a 、325中，最简二次根式的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
3、下列说法正确的是（ ）
A 、0没有平方根
B 、－1的平方根是－1
C 、4的平方根是－2
D 、()2
3-的算术平方根是3
4、164+的算术平方根是（ ）
A 、6
B 、－6
C 、6
D 、6±
5、对于任意实数a ，下列等式成立的是（ ）
A 、a a =2
B 、a a =
2 C 、a a -=2 D 、24a a =
6、设7的小数部分为b ，则)4(+b b 的值是（ ）
A 、1
B 、是一个无理数
C 、3
D 、无法确定 7、若1
21+=
x ，则122
++x x 的值是（ ）
A 、2
B 、22+
C 、2
D 、12-
8、如果1≤a ≤2，则2122
-++-a a a 的值是（ ）
A 、a +6
B 、a --6
C 、a -
D 、1 9、二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④
x
1
；⑤75.0中最简二次根式是（ ）
A 、①②
B 、③④⑤
C 、②③
D 、只有④ 三、计算题： 1、25
90121.0÷
-；
2、221237-；
3、
(
)
1
2120232
51-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--
+。

四、若a 、b 为实数，且b ＜222+-+-a a ，化简：a b b b
24421
2++--。

五、如果13的小数部分是a ，
a
1
的小数部分是b ，试求b 的值。

六、已知342--+=b a a A 是2+a 的算术平方根，9232-+-=b a b B 是b -2的立方根，求A ＋B 的n 次方根的值。

七、已知正数a 和b ，有下列命题： （1）若2=+b a ，则ab ≤1； （2）若3=+b a ，则ab ≤
2
3； （3）若6=+b a ，则ab ≤3；
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤ 。

八、由下列等式：37
22
＝2 3
7
2，32633＝3
3
263，363
4
4＝4 3
63
4
，……所提示的规律，可得出一般的结论是 。

九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。

已知m 为实数，化简：m
m m 13
---- 解：原式＝m m
m m m -⋅---1
＝()m m ---1
参考答案
一、填空题：
1、±21， 3
7，36-；2、32
<a ，x ≤2且x ≠－8；3、16；4、1，1；
5、a ≤b 且b ≥0；
6、a 9-，x
b 2
，a --1；7、0.12；8、m
二、选择题：BADCD ，CCDA 三、解答题：
1、－0.55；
2、35；
3、553- 四、a ＝2，b ＜2，原式＝3 五、4
1
13-=
b 六、a ＝2，b ＝3，A ＝2，B ＝－1；
当n 为奇数时，A ＋B 的n 次方根为1；当n 为偶数时，A ＋B 的n 次方根为±1；
七、
2
9 八、331
-+
n n
n ＝n 3
31
-n n
（n 为大于1的自然数） 九、不正确，正确解答是：原式＝m m
m m m -⋅
+-1
＝()m m -+1 中考数学精选例题解析：二次根式的运算
知识考点：
二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。

也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。

精典例题： 【例1】计算：
（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--31221821812；
（3）
()
()
()
20021
541
521
52000
2001
2002
++-+-+；
（4）(
)(
)
235235-++
-；
（5）(
)
1
211321231260sin -⎪⎭
⎫
⎝⎛-+---++。

答案：（1）3324-
；（2）2433
2
-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a b ab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+ 分析：将
b
a b a +和
b
a b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变
为乘以
ab
1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：
原式＝
b
a b b
a a ++
-+1＝
1-++b
a b a ＝0
【例3】已知1
31-=
a ，1
31+=
b ，求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+a b b a ab 的值。

分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是
两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。

解：由已知得：b a +＝
2
1
3213-+
+＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：
【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与
34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。

分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。

∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-
同理：34-＜23-，45-＜34- 根据以上各式二次根式的大小有理由猜测： n n -+1＜1--n n
证明：n n -+1＝
(
)(
)n
n n
n n
n ++++-+111
＝
()()
n
n n n ++-
+112
2
＝
n
n ++11
1--n n ＝
(
)(
)1
1
1
-+-+--n n n n n n
＝
()(
)
1
1
2
2
-+--n n n n
＝
1
1
-+n n
又∵
n
n ++11＜
1
1-+n n
∴n n -+1＜1--n n
【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 3
22442+--（b a 20<<）
解：原式＝a b ab a b b a a )
44(222+-- ①
＝2
2
)2(2a b a ab b a a -- ②
＝
ab a
b a b a a
⋅-⋅-22 ③
＝
ab a
b
a b a a ⋅-⋅-22 ④
＝ab
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；
（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。

分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。

解：（1）④；（2）化简b a b a 22-=-时，忽视了b a 2-＜0的条件；（3）ab - 跟踪训练： 一、选择题：
1、下列各式正确的是（ ）
A 、ab a b a =2
B 、3244b a b a =（a ＞0，b ＜0）
C 、32-的绝对值是23-
D 、
1
1
31
1131
3--=
-⋅+-=
+a a a a a a
2、下列各式中与24-a （2
1
>
a ）是同类二次根式的是（ ） A 、3
)24(3-a B 、)24(331
-a C 、2-a D 、122-a
3、下列等式或说法中正确的个数是（ ）
①b a b a -=-22；
②a -2的一个有理化因式是a -2；
③
5943
27
12=+=+；
④3333=+； ⑤54
954152=+。

A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 4、已知2
31+=
a ，23-=
b ，则a 与b 的关系是（ ）
A 、b a =
B 、b a -=
C 、b
a 1
= D 、1-=ab 5、下列运算正确的是（ ）
A 、()ππ-=-332
B 、()
122
11
-=--
C 、
(
)
02
30
=- D 、()
620832
2352
-=-
二、填空题：
1、比较大小：
56；
13-6-。

2、计算：4827⋅＝ ；2
1
32-
＝ ； 102021
515
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+＝ ；
a a 331241⋅＝ ； 32223513459⋅÷＝ ；102
)33(2
.02132)5(--+-++-＝ 。

22)233()233(+--＝ ；20012001)154()154(+⋅-＝ 。

3、请你观察思考下列计算过程：
∵121112
= ∴11121= ∵123211112= ∴11112321=
因此猜想：7654321
1234567898＝ 。

三、化简题：
1、
)
53)(32(5322++++；
2、xy
xy
y x y x y x
xy 1
23--+； 3、3
21
30cos 60tan 3)1(21)31(833
00023-+
-+---+-x 。

四、已知231
-=x ，求21212
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 的值。

五、计算：
100
9914
313
212
11++
⋅⋅⋅+++
++
+。

六、先化简，再求值：a a a a a a -+--
--2221
211，其中3
21+=a 。

七、已知a
a x 1+
=
（10<<a ），
求代数式x
x x x x x x x x x x x 42422362222----+---+÷-+的值。

参考答案
一、选择题：CACBD
二、填空题：
1、＜，＞；
2、36，22
7，210，a a
29，645，－1，612-，1； 3、111 111 111； 三、化简题：
1、
22
5
23-+；2、xy 3；3、134- 四、3414+
五、原式＝)99100()34()23()12(-+⋅⋅⋅+-+-+- ＝1100- ＝9
六、3
七、∵a
a x 1+
=
∴21++
=a a x ，即a
a x 12+=- ∴2
2
1)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a a x ，即2
2221214⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-+=-a a a a x x
∴原式＝22
+a
中考数学精选例题解析：二元二次方程组
知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。

精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、⎩⎨⎧=+--=-0
110122
2x y x y x ； 2、⎩⎨
⎧==+6
7
xy y x ；
3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
23102
222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求
解。

（3）为Ⅱ型方程组，应将0232
2=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与
1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。

答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧
-=-
=2
2122y x ； （2）⎩⎨
⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪
⎩⎪⎨⎧
==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x
【例2】已知方程组⎩
⎨⎧+==+--20
1242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方
程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。

略解：由②代入①并整理得：01)42(2
2
=+-+x k x k
⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠0
16164)42(02
22k k k k 即⎩⎨
⎧<≠1
k k
∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。

【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+5
2932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==222
2βαy x 不解方程组，求
1221βαβα+的值。

分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。

答案：
3
53
探索与创新：
【问题】已知方程组⎩⎨⎧+==n x y x y 242的两组解是⎩⎨⎧==1111y y x x 和⎩⎨⎧==22
2
2y y x x 且011≠x x ，1x ≠
2x ，设2
11
1x x m +
=。

（1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。

略解：（1）将②代入①化简，由⎩⎨
⎧≠>∆0
021x x ⇒n ＜21
且n ≠0
（2）利用根与系数的关系得：2
)1(4n n m -=
（n
＜21且n ≠0＝ （3）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠<=-0211)
1(42n n n
n 且⇒222--=n
跟踪训练：
一、填空题： 1、方程组⎩⎨
⎧--=+=3
212
x x y x y 的解是 。

2、方程组⎩⎨⎧=+=-1
23
422y x y x 的解是 。

3、解方程组⎩⎨⎧=--=+0
)3)(2(20
22y x y x y x 时可先化为 和 两个方程
组。

4、方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧==+6
1116511y x y x 的解是 。

5、方程组⎩
⎨⎧==+b xy a
y x 的两组解为⎩⎨⎧==1111b y a x ，⎩⎨⎧==2222b y a x ，则2121b b a a -＝ 。

二、选择题：
1、由方程组⎩⎨⎧=+++-=-0
4)1()1(1
2
2y x y x 消去y 后得到的方程是（ ） A 、03222
=--x x B 、05222
=+-x x C 、01222
=++x x D 、09222
=++x x
2、方程组⎩⎨⎧=-+++=+0
320
2y x x y x 解的情况是（ ）
A 、有两组相同的实数解
B 、有两组不同的实数解
C 、没有实数解
D 、不能确定
3、方程组⎩⎨⎧=--=-+0
122m x y y x 有唯一解，则m 的值是（ ）
A 、2
B 、2-
C 、2±
D 、以上答案都不对
4、方程组⎩⎨⎧+==m
x y x y 2
有两组不同的实数解，则（ ）
A 、m ≥41-
B 、m ＞41-
C 、4
1-＜m ＜41
D 、以上答案都不对
三、解下列方程组：
1、⎩
⎨⎧=-=+155
2
2y x y x ； 2、⎩⎨⎧=+=+25
72
2y x y x
3、⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-0
352122
222y xy x y xy x ； 4、⎩⎨
⎧==+12
7
xy y x ；
5、⎩
⎨⎧==+61322xy y x
四、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+m
y x y x 20
22有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。

参考答案
一、填空题：
1、⎩⎨⎧==0111y x ，⎩⎨⎧==5422y x ；
2、⎪⎩
⎪
⎨⎧-==212y x ；3、⎩⎨
⎧=-=+022022y x y x ，⎩⎨⎧=-=+032022y x y x ； 4、⎩⎨⎧==3211y x ，⎩⎨⎧==232
2y x ；5、0
二、选择题：ABCB
三、解下列方程组：
1、⎩
⎨⎧==14
y x ； 2、⎩⎨⎧==4311y x ，⎩⎨⎧==3422y x ；
3、⎩⎨⎧-==2111y x ，⎩⎨⎧=-=2122y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22122333y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2
2122
344y x ；
4、⎩⎨⎧==4311y x ，⎩⎨⎧==34
2
2y x ；
5、⎩⎨
⎧==3211y x ，⎩⎨⎧==2322y x ，⎩⎨⎧-=-=3233y x ，⎩⎨⎧-=-=2
3
44y x 。

四、102±=m ；当102=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧==1010y x ；当102-=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=10
10
y x 。

中考数学精选例题解析：方差
知识考点：
了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比较同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。

精典例题：
【例1】选用恰当的公式，求下列各数据的方差。

（1）－2，1，4 （2）－1，1，2 （3）79，81，82
分析：由于（1）中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：
[]
222212)()()(1
x x x x x x n
S n -+⋅⋅⋅+-+-=
求方差较简便；（2）中各数据虽为较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅++=____
22
22212
)(1nx x x x n S n 求方
差较简便；（3）中数据较大且接近80，因此取80=a 运用公式：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-'+⋅⋅⋅+'+'=____
22
2221
2
)(1x n x x x n S n 求方差较简便。

答案：（1）62
=S ；（2）9
5
12
=S ；（3）9
512
=S
【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示，
次数
（2）请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。

①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力） 解：（1）略； （2）①∵平均数相同，乙甲
22
S S
<，∴甲的成绩比乙稳定；
②∵平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数，∴乙的成绩比甲好些； ③∵平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，∴乙的成绩比甲好些； ④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少
的情况发生，乙较有潜力。

评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是判断好坏的标准。

探索与创新：
【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是20±5毫米，他先加工了8件，量得直径分别为（单位：毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。

当他加工完10件后，发现这10件的直径平均数为20毫米，标准差为0.3毫米，请问此工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？
分析：要想作出正确的判断，需首先根据已知的平均数和标准差求出最后加工的两件轴的直径。

解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。

设最后加工的两件轴的直径分别为x 毫米，y 毫米（x ≤y ），令m x =-20，
n y =-20，取20=a ，则02020__
__=-=-='a x x 。

由)02.03.02.02.04.02.03.0(101
__
n m x +++-++--+-=
'得：4.0=+n m 由[]
2222222
3.0))
4.0(2.0)3.0(10
1=++⋅⋅⋅+-++-=n m S 得：4.022=+n m ∴有方程组⎩
⎨⎧=+=+4.04.02
2n m n m ，解得：⎩⎨⎧=-=6.02
.0n m ∴8.19202.0=+-=x ，6.20206.0=+=y
因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为19.8毫米的），一件是不
符合要求的（直径为20.6毫米的）。

跟踪训练： 一、选择题：
1、已知一组数据－1，x ，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ） A 、2 B 、2 C 、4 D 、10
2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在10天中，这个生产小组每天出的次品数为（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，在这10天中，该生产小组生产零件所出的次品数的（ ）
A 、平均数是2
B 、众数是3
C 、中位数是1.5
D 、方差是1.25 3、设1x 、2x 、…、n x 的方差是2
S ，则151-x 、152-x …、15-n x 的方差是（ ） A 、2
5S B 、152
-S C 、2
25S D 、1252
-S 4、下列各组数据中，满足条件“容量为5，平均数为4，方差为2”的是（ ） A 、3，4，4，3，5 B 、4，4.5，3.5，6，2
C 、24-，3，6，3，24+
D 、5，3，4，7，1
二、填空题：
1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取5只，称得它们的重量如下（单位：千克）：3.3，3.0，3.4，3.1，3.2，在这个问题中，样本方差2
S ＝ 。

2、一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、8，则这名学生射击环数的标准差是 。

3、若a 、
4、2、
5、3的平均数是b ，且a 、b 是方程0342
=+-x x 的两个根，则这组数据的方差为 。

4、已知样本99、101、102、x 、y （x ≤y ）的平均数为100，方差为2，则x ＝ ，y ＝ 。

5、现有A 、B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、
6、
7、
8、9分这几种不同分值中的一种。

测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示。

班
B 分数
11
（1）由观察所得， 班的标准差较大；
（2）若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分值可以及格。

三、解答题：
1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：cm ）：
甲：9，10
，11，12，7，13，10，8，12，8 乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11
如果你也经过了这次考察，请你经过计算后回答下列问题： （1）哪种农作物的10株苗长的比较高？ （2）哪种农作物的10株苗长的比较整齐？
2、甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，各练5次，他们每个同学合格的次数分别如下：
甲组：4，1，2，2，1，3，3，1，2，1 乙组：4，3，0，2，1，3，3，0，1，3
（1）如果合格3次以上（含3次）作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？ （2）请你比较哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？
3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生每乙两班学生的比赛成绩（至少从两个方面进行评价）。

4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：已知算得两个组的平均分都是80分，
参考答案
一、选择题：BDCC
二、填空题：
1、0.02；
2、3；
3、2；
4、x ＝98，y ＝100；
5、（1）A ，（2）4分 三、解答题：
1、（1）∵甲x ＝10，乙x ＝10
∴两种农作物的10株苗的平均高度相同。

（2）∵甲2
S
＝3.6，
乙2S ＝4.2
∴甲2
S
＜乙2S
故甲种农作物的10株苗长的比较整齐。

2、（1）甲组合格人数为3人，甲组及格率为%30%10010
3
=⨯；同理乙组的及格率为50％，所以乙组的及格率高。

（2）∵甲x ＝2，乙x ＝2，甲2
S
＝1，
乙2S ＝1.8
∴甲2
S
＜
乙2S
∴甲组的口语会话的合格次数比较稳定。

3、134，134.5，135，1.8。

评价：①从众数看，甲班每分钟输入135字的人最多，乙班每分钟输入134字的人最多；②从中位数看，甲班每分钟输入135字以上的人数比乙班多；③从方差看，甲2
S
＜
乙2S ，甲班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，乙班速度最快
的选手比甲班多1人。

4、①从成绩的众数来看，由于甲组、乙组成绩的众数分别为90分、70分，因此甲班成绩较好；②从中位数、平均数来看，甲乙两组成绩的中位数、众数都是80分，成绩相同，其中成绩在80分以上的甲、乙两班各有33人，26人，因此甲组成绩总体较好；③从方差来看，甲2
S
＝172，
乙2S ＝256，所以甲2S ＜乙2S ，甲组成绩比乙组更稳定；④从高分段看，
甲、乙两组成绩达到或超过90分的分别有20人、24人，因此乙组成绩较好。

中考数学精选例题解析：方程与一次方程(组)及解法
知识考点：
了解等式和方程、一元一次方程（组）的概念，掌握等式的基本性质，能正确熟练地解一元一次方程，会对方程的解进行检验。

明确解方程组的基本思想是化归思想，并能用加减
消元法和代入消元法解一次方程组。

精典例题：
【例1】解方程：12
733)1(2-=-+
+x
x x 分析：依据方程的同解原理，突出基本步骤，去分母时防止漏乘，注意移项时要改变符
号。

答案：7
12=
x 【例2】若关于x 的方程：
4)2(35)3(10--=+-x k x x k 与方程3
21)1(25x
x -=+-的解相同，求k 的值。

分析：由“解相同”的定义，将方程3
21)1(25x
x -=+-的解代入第一个方程，建立一个关于k 的方程，解之即可。

答案：k ＝4
【例3】在代数式m by ax ++中，当x ＝2，y ＝3，m ＝4时，它的值是零；当x ＝－3，y ＝－6，m ＝4时，它的值是4；求a 、b 的值。

分析：由代数式值的定义得关于a 、b 的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元。

答案：⎪⎩
⎪⎨⎧=-=3107b a
探索与创新：
【问题一】要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A 、5种
B 、6种
C 、8种
D 、10种
略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为x 、y 张（x 、
y 为非负数），则有：x y y x 210102-=⇒=+，0≤x ≤5且x 为整数⇒x ＝0、1、2、
3、4、5。

答案：B
【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B 、C 、D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。

一学生从A 处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用了3小时，求CE 的长； （2）若此学生打算从A 处出发后，步行速度与在景
点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返
回到A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计
的理由（不考虑其它因素）。

略解： 问题二图
x
∙∙
∙∙∙ 1.2
0.41
11.6
E D C B A
（1）设CE 线长为x 千米，列方程可得x ＝0.4。

（2）分A →D →C →B →E →A 环线和A →D →C →E →B →E →A 环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，故先后者。

跟踪训练： 一、填空题：
1、若)23(x -∶2＝)23(x +∶5，则x ＝ 。

2、如果
532-x 与33
2
-x 的值互为相反数，则x ＝ 。

3、已知⎩⎨
⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+2
412
by x by ax 的解，则b a +＝ 。

二、选择题： 1、若单项式1
24
+-m b
a 与7
23
2+-m m b a 是同类项，则m ＝（ ）
A 、2
B 、±2
C 、－2
D 、4 2、已知方程组⎩⎨
⎧=+=+4535y ax y x 与⎩⎨⎧=+=-1
55
2by x y x 有相同的解，则a 、b 的值为（ ）
A 、⎩⎨⎧==21b a
B 、⎩⎨⎧-=-=64b a
C 、⎩⎨⎧=-=26b a
D 、⎩
⎨⎧==214b a
3、若方程组⎩⎨
⎧=++=+3
31
3y x k y x 的解x 、y 满足0＜y x -＜1，则k 的取值范围是（ ）
A 、2＜k ＜3
B 、2＜k ＜4
C 、－4＜k ＜0
D 、－4＜k ＜－2
4、在一次美化校园的活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？解题时若设支援拔草的人数有x 人，则下列方程中正确的是（ ）
A 、18232⨯=+x
B 、)38(232x x -=+
C 、)18(252x x +=-
D 、18252⨯=-x 三、解方程（组）
1、
4
2
331+-=-x x ； 2、2
5
03.002.003.02.18.08.1-=+-+x x x ；
3、⎩
⎨⎧=-=+123532y x y x ；
4、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+x y y x y x y x 2334
35
)
(24231。

四、当x ＝1、2、3时，c bx ax ++2
的对应值分别是2、3、6，求a 、b 、c 的值。

五、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，解关于x 的方程：1)2(2-=++a b x a
参考答案
一、填空题：
1、
149；2、8
27；3、8 二、选择题：CDBB
三、解方程（组）：
1、26-=x ；
2、6=x ；
3、⎩⎨
⎧==11y x ；4、⎩⎨⎧==6
11
y x ； 四、⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==321
c b a
五、6=x
中考数学精选例题解析：分式（1）
知识考点：
分式运算是初中代数计算的综合运用，它与整式运算相比，步骤增多，符号变化复杂，方法比较灵活。

了解分式的概念，熟练掌握分式的基本性质，并能灵活运用它进行分式的约分、通分及计算是解题的关键。

精典例题： 【例1】
（1）当x 为何值时，分式21
22---x x x 有意义？
（2）当x 为何值时，分式2
1
22---x x x 的值为零？
分析：①判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式；②在分式
B A 中，若B ＝0，则分式B A 无意义；若B ≠0，则分式B A 有意义；③分式B
A
的值为零的条件是A ＝0且B ≠0，两者缺一不可。

答案：（1）x ≠2且x ≠－1；（2）x ＝1 【例2】计算：
（1）()2
1
2242-⨯-÷+-a a a a （2）
22
2
---x x x （3）x
x x x x x 24
21212
-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+
分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把()2+-x 当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要化为最简分式或整式。

答案：（1）21-a ；（2）24-x ；（3）1
2
---x x 【例3】计算：
（1）x y
x y x x y x y x x -÷⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝⎛--++-3232 （2）
4
214
121111x x x x ++++++- 分析：对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。

（1）题可以将
y x --看作一个整体()y x +-，然后用分配律进行计算；（2）题可采用逐步通分的方法，
即先算
x x ++-1111，用其结果再与2
12
x +相加，依次类推。

答案：（1）
y
x x
-2；（2）8
18x - 探索与创新：
【问题】先阅读下列文字，再解答下列问题：
初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a 与b 的大小，可先求出a 与b 的差，再看这个差是正数、负数还是零。

”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了。

试问：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购粮用去100元。

（1）假设x 、y 分别表示两次购粮的单价（单位：元／千克）。

试用含x 、y 的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元；乙两次共购买 千克的粮食；若甲两次购粮的平均单价为每千克1Q 元，乙两次购粮的平均单价为每千克2Q 元，则1Q ＝ ；2Q ＝ 。

（2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲乙两人的
购粮方式哪一个更合算些？并说明理由。

解：（1）第一次购买粮食付款x 100元，第二次购买粮食付款y 100元，两次共付款
()y x 100100+元。

乙第一次购买粮食
x 100千克，第二次购买粮食y
100
千克，故两次共购买粮食⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+y x 100100千克。

∵平均单价＝
两次购买粮食的重量和
两次购买粮食的总金额
∴1Q ＝
100100100100++y x ＝2
y x +；2Q ＝y
x 100100100100++＝y x xy
+2
（2）要判断谁更合算，就是判断1Q 、2Q 的大小，小的更合算些。

∵1Q －2Q ＝2y x +－y x xy +2＝
()()
y x y x +-22
且x ≠y
∴()2
y x -＞0而()y x +2＞0
∴1Q －2Q ＞0 故1Q ＞2Q
∴乙的购粮方式更合算。

跟踪训练： 一、填空题：
1、当x 时，分式
4
2
2--x x 有意义。

当x 时，分式1
8
72---x x x 的值为零。

当x 时，分式x
x 61212
-+的值为负数。

当x 时，分式x
x 322
-的值为－1。

2、计算：
①x
x ---112＝ 。

②23
2
x y
x y y x ÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝ 。

③m n n n m m -+-22＝ 。

④
11
1
2+--+a a a ＝ 。

3、已知
311=-y x 。

则分式y
xy x y xy x ---+2232的值为 。

4、若x ＜0，则
3
1
31--
-x x ＝ 。

5、若分式
1
-x x
的值是整数，则整数x 的值是 。

6、请你先化简，再选一个使原式有意义，而你又喜爱的数值代入求值： 112
2
23+----x x x
x x x ＝ 。

二、选择题：
1、在代数式13+x x 、2
12+-x 、2
3y x -、23+-a b a 、112--x x 、πa 中，分式的个数是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、已知9
63222+---x x x x 的值为零，则2
-x 的值是（ ）
A 、－1或
91 B 、1或9
1
C 、－1
D 、1 3、甲瓶盐水含盐量为m 1，乙瓶盐水含盐量为n
1
，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合
制成新盐水的含盐量为（ ） A 、
mn n m 2+ B 、mn n m + C 、mn
1 D 、随所取盐水重量而定 三、计算题： 1、
⎪⎭
⎫
⎝⎛--+÷--25223x x x x
2、
4
21
444122++--+-x x x x x
3、1222222-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--n mn
n m n mn n mn m n m 4、2
111112842
22-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-÷---a a a a a a a a a a 四、阅读下面题目的计算过程：
x x x +---12132＝()()()()()
1112113-+--
-+-x x x x x x ① ＝()()123---x x ②
＝223+--x x ③ ＝1--x ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

（2）错误原因是 。

（3）本题的正确结论是 。

五、问题探索：
（1）已知一个正分数
m
n
（m ＞n ＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论。

（2）若正分数
m
n
（m ＞n ＞0）中分子和分母同时增加2，3…k （整数k ＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由。

参考答案
一、填空题：
1、≠±2，＝8，＞2，＝1或2；
2、1+x ，x -，n m +，12-a a ；
3、5
3
； 4、
9
22
-x x
；5、2或0；6、略 二、选择题：CDA 三、计算题：
1、31+-
x ；2、()
2
224
---x x ；3、n m mn --；4、21--a 四、阅读题：
（1）②；（2）去了分母；（3）x
+11
五、问题探索：
（1）
m n ＜1
1++m n （m ＞n ＞0） 证明：∵
m n －11++m n ＝()
1+-m m m n ＜0（条件是m ＞n ＞0） ∴
m n ＜11++m n （2）m n ＜k
m k n ++（m ＞n ＞0，k ＞0）
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x 、y ，增加面积为a ，则由（2）知：a
x a
y ++＞
x
y
，所以住宅的采光条件变好了。

中考数学精选例题解析：分式（2）
知识考点：
分式的化简求值方法灵活多样，它是分式中的重点内容，也是中考的热点。

熟练掌握分式的计算，灵活运用整体代换、因式分解等方法对分式进行适当的变形是解决此类题目的关键。

精典例题： 【例1】
（1）已知211222-=-x x ，求⎪⎭
⎫
⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x 111112
的值。

（2）当()0
130sin 4--=x 、0
60tan =y 时，求y x y xy x y x x 3322122++-÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-22
2y x xy
x -++ 的值。

分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把化简后的条件代入化简后的式子求值。

略解：（1）原式＝2
2
x -
∵2
11
222-=-x x ∴2122
2-=-x x ∴21212-=-
x ∴22
2
-=-x ∴原式＝2-
（2）∵()1130sin 40
0=--=x ，360tan 0==y。