模糊环境下分销系统的库存决策问题研究

模糊环境下分销系统的库存决策问题研究
短文
模糊环境下分销系统的库存决策问题研究①
高峻峻1,胡乐江2
(1.上海大学悉尼工商学院,上海201800;2.宝钢贸易有限公司,上海200122)
摘要:针对由一个中心仓库和多个零售商组成的分销系统,研究模糊环境下该分销系统的库存决策问题,建立了分销系统的总成本与服务水平的集成优化模型.并通过数值算法求解中心仓库和零售商的适当库存决策策略.最后,给出一个算例说明了模型的求解过程.
关键词:供应链管理;分销系统;模糊需求;模糊成本
中图分类号:F273 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2007)04-0407-05
Study on problem of inventory decision for distribution
systems under fuzzy environment
GAO Jun2jun1,HU Le2jiang2
(1.Sydney Institute of Language and C ommerce,Shanghai University,Shanghai201800,China;
2.Baosteel T rading Limited C om pany,Shanghai200122,China)
Abstract:The problem of inventory decision for a distribution system under fuzzy environment is studied in this paper.An optimization m odel of integrating total cost and service level for this distribution system is established.Then,the right inventory decisions at retailers and central warehouse is s olved by numeri2 cal alg orithm.Finally,a numerical exam ple is given to illustrate the s olving process of this m odel.
K ey w ords:supply chain management;distribution systems;fuzzy demand;fuzzy cost
0 引言
不确定环境下的库存决策研究是分销系统建模领域中常见且典型的问题.在探求有效库存管理策略过程中,常用概率论方法处理库存管理中出现的不确定性,但当缺少可用的历史数据或历史数据不可靠时,传统的概率论方法将难以适用,或者通过概率论方法得到的库存管理策略的实际应用效果不理想.由于受外部环境不确定性的影响,市场需求通常在某一个值附近波动,人们常根据经验对市场需求进行主观判断,因此,运用模糊数学方法能有效地对这种不精确需求进行描述.类似问题还出现在库存系统成本度量方面,传统库存控制模型常将模糊、不精确数据转换成清晰数据建模.近年来,模糊数学理论在库存控制领域中的应用吸引了很多学者的兴趣[1,2].
目前模糊集理论在库存控制领域中的应用主要集中在———模糊环境下,将经典的经济订货批量(E OQ)模型和报童模型扩展为模糊E OQ模型[1]和模糊报童模型[2].这些研究成果主要借助于模糊集理论对需求或成本进行模糊建模,应用
第22卷第4期2007年8月
系统工程学报
JOURNA L OF SY STE MS E NGI NEERI NG
V ol.22N o.4
Aug.2007
①收稿日期:2003-07-16;修改日期:2006-08-22.
基金项目:国家自然科学基金资助项目(70502020);上海市教委资助项目(05AS98).
扩展原理进行求解,研究对象多为单级库存系统、“一对一”供应链系统或串行供应链系统,很少涉及“一对多”和“多对多”供应链系统,而且没有考虑分销系统所要求的服务水平对库存决策的影响.本文对上述两方面的待解决问题都进行了初步探索,以“一对多”分销系统为研究对象,在将模糊需求和模糊库存持有成本以及模糊缺货成本分别用三角模糊数描述的基础上,建立了分销系统总成本与服务水平的集成优化模型,并通过数值算法求解中心仓库和零售商的适当库存决策策略.最
后,通过算例说明了模型的求解过程.
1 模型假设和符号
以家具行业为背景,考虑如图1所示的分销
系统,该分销系统中的上游企业是某个家具生产商的中心仓库,下游企业由某区域内的n 个销售同类家具产品的家具零售商组成,这里仅考虑单一产品(如沙发);假设分销系统中最终顾客的年需求具有模糊性(可用三角模糊数来描述);假设所有零售商的未满足需求都可以延期交货,但零售商需为此支付一定的延期交货成本,且该成本具有模糊性;假设家具生产商的生产能力是无约束的,
所以,中心仓库处不存在缺货现象;假设中心仓库和零售商都采用连续检查的(R ,Q )库存控制策略,并假定他们的单位库存持有成本也是具有模糊性的;假设从中心仓库至零售商的运输提前期都是确定的,且运输模式为公路运输;假设中心仓库距离生产厂家很近,所以,可以将生产商至中心仓库的提前期近似地看作为零.
图1 两级分销系统的结构
模型中用到的符号如下:下标0和下标i 分别
表示中心仓库和零售商i ;D ～
———模糊年需求
(件);R ———再订货点(件);L ———补给提前期
(d );Q ———订货量(件);P ～
S ———可能的缺货量
(件);M ———满载条件下每公里的运输费用(元/km );l ———距离(km );PS ～
L ———可能的服务水平.
2 分销系统的成本与服务水平集成优化
模型的建立与求解
2.1 模糊数的算术运算法则
定义1 一个模糊数N ～
的α-截集可定义为
N
～
α={x i :μ
N (x i )≥α,x i ∈X},其中α∈[0,1],N ～α是X 上的一个非空的有界闭区间,它可以记为N
～
α
=[n αl ,n αu ],其中n αl 和n α
u 分别是该闭区间的上
界和下界[3].
定义2 如果N ～
是一个模糊数且对于任意α∈[0,1]都有n α
l >0,则称N ～
为一个正模糊数
[4]
.由分解定理可知,N ～
=
∪α∈[0,1]
N ～
α,其中∪表
示模糊并集(下同).
给定任意两个模糊数M ～
,N ～
,这两个模糊数的
а-截集分别为M ～
α=[m αl ,m α
u ],N ～
α=[n αl ,n α
u ],则这两个模糊数的算术运算法则可表述如下[5]
(M ～
(+)N ～
)α=[m αl +n αl ,m αu +n α
u ](1)
(M ～
(-)N ～
)α=[min (m αl -n αl ,m αu -n αu ), m x (m αl -n αl ,m αu -n αu )]
(2)
(M ～
(?)N ～
)α=[min {m αl ?n αl ,m αl ?n αu , m αu ?n αl ,m αu ?n αu },m x {m αl ?n αl ,
m αl ?n αu ,m αu ?n αl ,m αu ?n α
u }](3)
(M ～
(∶)N ～
)α=[min {m αl /n αl ,m αl /n αu , m αu /n αl ,m αu /n αu },m x {m αl /n αl , m αl /n αu ,m αu /n αl ,m αu /n αu }]
(4)
给定任意一个正模糊数M ～
和一个正实数r ,则有[6]
(M ～
α)
-1
=[1/m αl ,1/m α
u ],
(M ～(?)r )α=[m αl ?r ,m α
u ?r ],(M ～(∶)r )α=[m αl /r ,m α
u /r]
(5)
定义模糊数的解模糊值为模糊数的重心,记为defuzz (N ～
)=
∫X
x ?
μ
N (x )d x /∫
X μ N
(x )d x (6)
—804—系统工程学报第22卷
图2 三角模糊数N
如图2所示,一个三角模糊数N ～
可以记为(n 1,n 2,n 3),其隶属度函数为μ N (x ),其α-截集
的上界和下界分别为
[7]n α
l
=n 1+(n 2-n 1)α和
n α
u =n 3-(n 3-n 2)α.
2.2 分销系统的模糊年总成本函数
用正三角模糊数(d 1i ,d 2i ,d 3i )对零售商i
(i =1,2,…,n )所面临的最终顾客需求D ～
i 进行
描述,即“年需求约为d 2i ,但不会低于d 1i ,不会高于d 3i ”,其中,d 1i 、d 2i 、d 3i 分别表示零售商i 所面临的年需求的最悲观值,最可能值和最乐观值.中心仓库处的年需求为所有零售商年需求的总和,所以,中心仓库处的年需求也是一个正三角模糊数(d 10,d 20,d 30).同理可用正三角模糊数(h 1i ,h 2i ,h 3i )和(b 1i ,b 2i ,b 3i )分别对零售商i (i =1,2,…,n )的不精确库存持有成本和缺货成本进行
描述,用正三角模糊数(h 10,h 20,h 30)对中心仓库
处的不精确库存持有成本进行描述.
零售商i (i =1,2,…,n )的模糊总成本函数可表示为
F ～
i (Q i )=
[
K i (?)D ～
i Q i ](+)[(Q i
2(+)s ～i )
(?)H ～i ]
(+)
[M ?l i (?
)D ～
i
Q i
]
(+)[
P ～
S i (?
)B ～
i (?)D ～
i
Q i
]
(7)
定义零售商i 所面临的最终顾客的日需求为
正三角模糊数d ～
d i =D ～
i (∶
)360,则有d ～
d α
i =[d α
li /360,d α
ui /360].由零售商i 的运输提前期为L i
天、再订货点为R i 件可得,零售商i 的模糊提前期
需求为L ～
D i =d ～
d i (?
)L i ,显然L ～
D i 可记为三角模糊数(ld 1i ,ld 2i ,ld 3i );这里将清晰的再订货点R i 表
示为正三角模糊数(r 1i ,r 2i ,r 3i ),显然r li =r 2i =
r 3i =R i ,同时有R α
li ,r α
ui ],进一步可得零售
商i 的安全库存为
s ～
i =[R ～
i (-)L ～
D i ]+
=[R ～i (-)d ～
d i (?
)L i ]+
(8)
式中,[1,2,3]+=[m x {1,0},m x {2,0},
m x {3,0}],以下相同.
应用模糊数运算法则(1)—(5),可得零售商i 的安全库存s ～
i 的α-截集为
s ～
αi =[s αli ,s α
ui ]
=[r αli -(d α
li /360)?L i ,r αui -(d α
ui /360)?L i ]
(9)
定义零售商i 的可能缺货量P ～
S i 等于模糊短
缺量与提前期需求大于其再订货点的可能性Poss (L ～D i ≥R ～
i )[7](公式(12)中将其简写为Pos )
的乘积,即
S i =[(L ～D i (-)R ～i ]+?Poss (L ～D i ≥R ～
i )
=[(L ～
D i (-)R ～
i ])+?
sup x
min {1-μ R iR (x ),μ LD i (x )}
(10)
其中,根据再订货点的现实意义,R ～
i 的取值应在L ～
D i 的中心之后;R ～
iR 表示所有可能小于或等于x 的
数的集合,其隶属度函数为
μ R iR
(t )=sup t ≤x
μ
R i
(x ) Πt ∈(-∞,∞)(11)应用模糊数运算法则(1)—(5),可得零售商i 的可能缺货量P ～
S i 的α-截集为
P ～
S αi =[ps αli ,ps α
ui ]
=[((d α
li /360)?L i -r α
li )?Pos ,
((d αui /360)?
L i -r α
ui )?Pos ](12)
定义零售商i 的可能服务水平为
PS ～L i =1-(P ～
S i /Q i )
(13)
令P ～
SB i =P ～
s i (?
)B ～
i ,则P ～
SB αi =[psb αli ,psb αui ]=min{ps αli ?b αli ,ps αli ?b α
ui ,
ps αui ?b αli ,ps αui ?b α
ui },m x{ps α
li ?b α
li ,ps α
li ?b α
ui ,ps α
ui ?b α
li ,ps α
ui ?b α
ui }]
(14)
应用模糊数运算法则(1)—(5),可得零售商
i 的模糊总成本F ～
i (Q i )的α-截集为
F ～αi (Q i ,R i )=[f αli ,f αui ]=[d αli ?K i Q i ,d αui ?K i Q i
]+
—
904—第4期高峻峻等:模糊环境下分销系统的库存决策问题研究[
h αli ?
Q i
2,h α
ui ?
Q i 2
]+
[
d α
li ?M ?l i Q i
,
d αui ?
M ?l i Q i
]
+[min {h αli ?s αli ,h αli ?s α
ui ,
h αui ?s αli ,h αui ?s αui },m x {h αli ? s αli ,h αli ?
s αui ,h αui ?s αli ,h αui ?s α
ui }]+ [min {psb αli ?(d α
li ?1Q i
),
psb αli ?(d α
ui ?1Q i
),
psb αui ?(d α
li ?1
Q i
),
psb αui ?(d α
ui ?1Q i
)},
max {psb αli (d α
li ?1
Q i
),psb α
li ?
(d αui ?1Q i
),psb αui ?(d α
li ?
1Q i ),psb αui ?(d αui ?1
Q i
)}]=[
d αli ?K i Q i +h α
li ?Q i 2+
d αli ?M ?l i Q i
+min {h αli ?s α
li , h αli ?s αui ,h αui ? s αli ,h αui ?s α
ui }+ min {
psb αli ?(d αli ?1Q i ),psb α
li ?
(d α
ui ?1
Q i
),psb αui ?(d α
li ?1
Q i ),
psb αui ?(d αui ?1Q i )}
d αui ?K i Q i +h α
ui ?Q i 2+ d αui ?M ?l i Q i
+m x {h αli ?s αli ,h αli ?s α
ui , h αui ?
s αli ,h αui ?s αui }+m x {
psb αli ? (d αli ?1Q i
),psb αli ?(d α
ui ?1Q i
),
psb αui ?(d αli ?1Q i
),psb α
ui ?
(d αui ?1Q i
)
}]
(15)
由分解定理可得
F ～
i (Q i )=
∪α∈[0,1]
F ～
αi (Q i )
(16)
中心仓库处的年需求为所有零售商年需求的总和,所以,中心仓库处的模糊年需求D ～
0的α-截集为
D ～
α0
=
i =1D α
i
)=[∑n
i =1d α
li ,
∑n
i =1
d α
ui ]
,中心仓
库处的模糊年总成本为
F ～
0(Q 0)=
[
K 0(?)D ～
0Q 0](+)[Q 0
2
(?)H ～0]
(17)
应用模糊数运算法则(1)—(5),可得零售商i 的模糊总成本F ～
i (Q i )的α-截集为
F ～
α
0(
Q i )=
[f αl 0
,f αu 0]
=
i =1
d α
li )
K 0Q 0
,
(∑n
i =1
d αui )
K 0Q 0]+[h α
l 0?Q 02,h αu 0? Q 02
]
=
[(∑n i =1d αli ) K 0Q 0+h α
l 0?Q 02
,
(∑n
i =1
d α
ui
)K
0Q
+h α
u 0?
Q 02
]
(18)
由分解定理可得
F ～
0(Q 0)=
∪α∈[0,1]
F ～
α0(Q 0)
(19)
进而可得,分销系统的模糊总成本函数为
F ～
(Q i ,R i ,Q 0)=F ～
0(Q 0)(+)
∑n
i =1
F ～
i
(Q i
,R i
)
(20)
应用模糊数运算法则(1),可得分销系统的模糊总成本F ～(Q i ,Q 0)的α-截集为
F ～
α
(Q i ,R i ,Q 0)=
[
f α
l 0
+
∑
n
f α
li ,f αu 0
+
∑n
i =1
f α
ui
]
(21)
由分解定理可得
F ～
(Q i ,R i ,Q 0)=
∪α∈[0,1]
F ～
α(Q i ,R i ,Q 0)
(22)
2.3 分销系统的成本与服务水平集成优化模型
的建立和求解
以该分销系统模糊年总成本的解模糊值最小为目标函数,以该分销系统所有零售商的可能服务水平的解模糊值不低于事先设定的目标服务水平值TS L 为约束条件,以中心仓库和所有零售商的订货量与再订货点为决策变量,构建如下分销系统的成本-服务水平的集成优化模型: Min Q i ,R i ,Q 0
defuzz (F ～
)
s.t.defuzz (PS ～
L i )≥TS L
(23)
Q i ,Q 0>0 (i =1,2,…,n )
模型的求解:直接用数值方法即可求解该模型,即运用一个三层的嵌套循环,同时分别令Q i 、
R i 、Q 0在区间(0,d ui ]、[ld 2i ,ld 3i ]、(0,d u 0]上循环,直至找到满足约束条件同时令分销系统总成
本的解模糊值达到最小的一组Q i ,R i ,Q 0,它们即为零售商i 的最优库存决策Q 3i ,R 3i 和中心仓库
—
014—系统工程学报第22卷
的最优库存决策Q 30.然后,将以上求解出来的最优解代入中心仓库和零售商i 以及分销系统的成本函数中,即可得到该库存决策策略下中心仓库和零售商i 以及分销系统的模糊最小成本,应用重心解模糊方法可分别求得中心仓库和零售商i 以及分销系统的清晰最小成本,将R 3i 代入式(12)和(13),即可得到零售商i 的可能服务水平.
3 算例
以含有3个零售商、1个中心仓库的分销系统
为例,假定3个零售商处的模糊年需求分别为
D ～
1=(7000,7800,9500),D ～
2=(6900,7200,
9100),D ～
3=(6000,6600,8700),3个零售商处
发生的模糊库存持有成本分别为H 1=(350,
375,400),H ～
2=(340,365,390),H ～3=(330,355,380),模糊延期交货成本分别为B ～
1=(50,
60,70),B ～
2=(40,50,60),B ～
3=(30,40,50).
模型中用到的其余参数值见表1.
表1 模型中的主要参数值
参数参数值参数参数值参数参数值参数参数值
L 15K 120M 5l 1120L 25K 220K 0
1000l 2122L 3
5
K 320
TS L
0.9
l 3123
将上述参数代入模型(23)可得:3个零售商和中心仓库的最经济订货批量及3个零售商的再订货点分别为Q 31=164,Q 32=164,Q 33=161,
Q 3
=420,R 31=129,R 3
2
=122,R 3
3=116,3个
零售商的服务水平分别为PS L 1=99.97%,PS L 2=99.93%,PS L 3=99.89%,3个零售商、中
心仓库以及整个分销系统的最小成本分别为
F 1=68747,F 2=66330,F 3=64216,F 0=
109200,F =308500.
4 结论
本文针对由一个中心仓库和多个零售商组成的分销系统,研究模糊需求、模糊库存持有成本及模糊缺货成本环境下该分销系统的库存决策问题,构建了该分销系统的总成本与服务水平的集成优化模型,并通过数值算法求解中心仓库和零售商的适当库存决策策略.最后,给出一个算例说明了模型的求解过程.未来的研究可以扩展到更为复杂的模糊需求形式下或考虑允许部分延期
交货的库存决策问题,模糊环境下“多对多”分销系统的定价与库存的联合决策问题也将是对本文研究的深入.
参考文献:
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[2]Ishii H ,K onno T.A stochastic inventory problem with fuzzy shortage cost [J ].European Journal of Operational Research ,1998,106:90—94.
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[6]K au fmann A ,G upta M M.Introduction to Fuzzy Arithmetic :Theory and Applications[M].New Y ork :Van N ostrand Reinhold ,1985.
[7]李荣钧.模糊多准则决策理论与应用[M].北京:科学出版社,2002,2.
作者简介:
高峻峻(1976—),女,辽宁辽阳人,副教授,研究方向:分销系统建模与优化、需求预测建模、库存控制,Email :gaojun 2jun @ ;
胡乐江(1976—
),男,山东滕州人,博士,项目主管.研究方向:决策分析与风险投资.—114—第4期高峻峻等:模糊环境下分销系统的库存决策问题研究。