2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1191)

木垒哈萨克自治县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含
解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）
A ．50x -<<或5x >
B ．5x <-或5x >
C ．55x -<<
D ．5x <-或05x <<
2． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形
3． 设f （x ）=e x +x ﹣4，则函数f （x ）的零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
4． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．3
5． 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M （2，y 0）．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
6． 设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
7． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
8． 已知函数()sin f x a x x =关于直线6
x π
=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,
则12x x +的最小值为 A 、
6π
B 、
3π
C 、
56π D 、23
π
9． 已知点P （1，﹣
），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
11．已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A ∪B=（ ） A ．{5，8}
B ．{4，5，6，7，8}
C ．{3，4，5，6，7，8}
D ．{4，5，6，7，8}
12．已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ）
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.4
D ．0.6
二、填空题
13．不等式
的解为 ．
14．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．
15．设函数f （x ）=
，
①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；
②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．
16．命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是 ．
17．在正方形A B CD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当
4AM AN ⋅=时，则MN
的取值范围为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．
18．设双曲线﹣=1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．若∠F1MF2=90°，则△F1MF2的面积是．
三、解答题
19．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．
（1）若a20=40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
20．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是
且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
21．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}
（1）求A∩B
（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．
22．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；
（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．
23．在中，，，.
（1）求的值;
（2）求的值。

24．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA的大小
（2）求BC的长．
木垒哈萨克自治县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含
解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
考点：函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知
(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1
2． 【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴
=
，整理可得：b 2=c 2
，
∴解得：b=c ．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A ．
3． 【答案】C
【解析】解：f （x ）=e x
+x ﹣4， f （﹣1）=e ﹣1﹣1﹣4＜0， f （0）=e 0+0﹣4＜0， f （1）=e 1+1﹣4＜0， f （2）=e 2+2﹣4＞0， f （3）=e 3+3﹣4＞0， ∵f （1）•f （2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）． 故选：C ．
4． 【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b ＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
5．【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
6．【答案】C
【解析】
解：
，因此．a ﹣b=1．
故选：C ．
7． 【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ）
即：k360°+257°，（k ∈Z ）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
8． 【答案】D
【解析】
：()sin )(tan f x a x x x ϕϕ==-=
12(),
()()463f x x k f x f x ππ
ϕπ=-∴=+⋅=-对称轴为
112212min
522,2,6
6
3
x k x k x x
π
π
πππ
∴=-
+=
+∴+=
9．
【答案】C
【解析】解：
∵点P 的直角坐标为，∴ρ=
再由1=ρcos θ，﹣ =ρsin θ，可得，
即点P 的极坐标为 （2，），
故选 C ．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
10．【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2 ∵2＞0
∴f （2）=22
=4
3=0
4
5
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
11．【答案】C
【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
∴A∪B={3，4，5，6，7，8}．
故选C
12．【答案】A
【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），
∴正态曲线的对称轴是x=2
P（0＜X＜4）=0.8，
∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，
故选A．
二、填空题
13．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
14．【答案】14．
【解析】解：有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14
故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．
15．【答案】≤a＜1或a≥2．
【解析】解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
16．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．
17．【答案】2]
（02x
＃，02y ＃）上的点(,)x y 到定点(2,2)
，最大值为2，故MN
的取值范围为2]．
2
2
y
x
B 18．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
﹣=1的a=2，b=3，
可得c 2=a 2+b 2
=13，
又||MF 1|﹣|MF 2
||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，
即4c 2=4a 2
+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2
=18，
即有△F 1MF 2的面积S=|MF 1||MF
2|sin ∠F 1MF 2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a 、b 、c 之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）a 10=1+9=10．a 20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），
a30=10，
当d∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a n]，
其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d n的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+d n）=．
当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.
当2≤x≤12时，
且x≤12）
验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得
（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元.
【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
21．【答案】
【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．
∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．
（1），
（2）由A∪C=C，可得A⊆C．
即，解得﹣3≤m≤﹣1．
22．【答案】
【解析】解：（1）．
因为x=2是函数f（x）的极值点，
所以a=2，则f（x）=，
则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；
（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，
当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．
又，
，
综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；
（3）等价于，
若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即，∴．
故
即，
即．
23．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，，
于是
（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得
于是
所以
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=…
∴∠BDA=60°…
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…
在△ABC中，由正弦定理得，…
∴．…。