教师提高版目标班第1讲

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教师版说明：由于秋季讲义只介绍了圆周运动的基础知识，因此，本讲对比较重要的、复杂的内容进行重点强化。

这一讲老师可以根据进度选讲，如果班上学生都已经学过圆周运动，而且掌握的比较熟练，也可以直接从万有引力开始讲。

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1．线速度
质点沿圆周运动在一段很短的时间t ∆内，通过的弧长为s ∆，则该点的线速度为s v t
∆=∆。

某点线速度的方向为该点的切线方向。

基础知识梳理
第1讲 圆周运动
重点突破
重点知识回顾
2．角速度
质点沿圆周运动在很短的时间t ∆内转过的角为θ∆，则角速度为t
θω∆=
∆。

3．转速、周期、频率
⑴ 转速是指物体单位时间所转过的圈数，单位为转每秒，符号是r/s 。

（工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢） ⑵ 周期是指物体转过一周所用的时间。

⑶ 频率是指物体在单位时间内转过的圈数，单位是赫兹，符号是Hz 。

频率高说明物体运动得快，频率低说明运动得慢。

4．线速度v 、角速度ω、转速n 、周期T 、频率f 之间的关系
v r ω=，2πT ω=
，2πr
T v
=，11T f n == 5．向心加速度
⑴ 任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

向心加速度的大小描述线速度方向改变的快慢。

⑵ 222
24πv r a r v r T
ωω====
⑶ 变速圆周运动中的总加速度并不指向圆心。

可以将该加速度分解，指向圆心的分量即为向心加速度；沿切线方向的分量称为切向加速度，它描述线速度大小改变的快慢。

6．向心力
⑴ 做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力，这个力称为向心力。

向心力是根据力的作用效果命名的，充当向心力的可以是各种性质的力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

⑵ 222
24πn v r F m m r mv m r T
ωω====
⑶ 在变速圆周运动中，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度；沿切线方向的分力使物体产生切向加速度。

7．匀速圆周运动
物体沿着圆周运动，且线速度大小处处相等，这种运动称为匀速圆周运动。

要注意的是，匀速圆周运动的线速度方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动，这里的“匀速”是指速率不变。

1．
质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是
A ．线速度越大，角速度一定越大
B ．周期越大，角速度一定越小
C ．周期越大，转速一定越小
D ．角速度越大，半径一定越小
【答案】BC 2．
甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为31∶
，线速度之比为23∶，那么下列说法中正确的是
A ．它们的半径之比是29∶
B ．它们的半径比是12∶
C ．它们的周期之比是23∶
D ．它们的周期比是1
3∶ 【答案】AD
3．
如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心
的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比。

基础训练
【答案】 :::2:1:2:4a b c d v v v v =，:::2:1:1:1a b c d ωωωω=
4．
下列关于向心力的说法中正确的是
A ．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
B ．做匀速圆周运动的物体所受的向心力总指向圆心，且大小不变，因此是一个恒力
C ．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是其中某几种力的合力
D ．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小 【答案】
C D
5．
甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1:2，转动半径之比为1:2，在相等时间里
甲转过60︒，乙转动45︒，则它们所受外力的合力之比为 A ．1:4 B ．2:3 C ．4:9 D ．9:16 【答案】
C
6．
下列说法中正确的是
A ．匀速圆周运动是一种匀速运动
B ．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C ．匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断改变的运动
D ．匀速圆周运动是一种平衡状态 【答案】
C
1．向心力来源分析
通过秋季（或寒假）课程的学习，我们已经知道向心力是效果力，可以由某一性质的力提供，也可由某几个力的合力或某一个力的分力提供。

分析向心力的一般步骤是： ⑴ 首先确定圆周运动的轨道所在的平面； ⑵ 其次找出轨道圆心的位置；
⑶ 最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力图，找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力。

向心力的分析是圆周运动部分的重点和难点之一，因此，我们在春季继续强化一下这部分的内容。

下面列出一些圆周运动的实例，请大家对向心力进行分析。

**************************************************************************************** 教师版说明：学生版中只有运动实例的图，其它内容是空白，可以让学生自己练习。

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1.1 向心力分析
知识点睛
2．生活中的圆周运动实例分析 ⑴ 火车转弯问题
火车转弯时实际是在做圆周运动，如果铁路弯道的内外轨是一样高的，那么火车转弯时外侧车轮的轮缘将挤压外轨，外轨对轮缘的弹力提供火车转弯的向心力。

但是火车的质量太大，靠这种方法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

因此，修筑铁路时，通常根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和地面支持力N F 的合力来提供，以减小对铁轨的挤压（如图所示）。

设火车两轨间距为L ，内外轨高度差为h ，转弯处的轨道半径为R ，则
2tan v F mg m R θ==规定
合
tan sin h
L
θθ≈=
联立解得v =规定
① 当火车行驶速率v 等于v 规定时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力；
② 当火车行驶速率v 大于v 规定时，外轨道对轮缘有侧压力； ③ 当火车行驶速率v 小于v 规定时，内轨道对轮缘有侧压力．
⑵ 汽车过拱桥
① 汽车过桥时的运动也可以看做圆周运动。

设汽车的质量为m 在拱形桥上以速度v 前进，桥面的圆弧半径为R 。

则汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供汽车运动的向心力，即
2
N v G F m R
-=
解得：2
N v F G m R
=-
汽车对桥的压力N F '与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等。

因此，汽车
对桥的压力2
N v F 'G m R
=-。

当速度不为零时，汽车处于失重状态。

② 同理大家可以分析一下汽车通过凹形桥的情景，
2
N v F 'G m R
=+
当速度不为零时，汽车处于超重状态。

⑶ 航天器中的失重现象
航天飞船绕地球的运动也可以看做匀速圆周运动，当飞船离地面的高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R ，航天员受到的引力近似等于它在地面处的重力mg 。

航天员在飞
船中受到地球的引力mg 和座舱对他的支持力N F ，二者的合力提供了他绕地球做圆周运动的向
心力， 2
N v mg F m R -=。

即2N v
F mg m R
=-
可见，航天员处于失重状态（这个情景实际上与汽车过拱桥的情景没有本质区别）。

3．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，即离心运动。

离心运动是物体具有惯性的表现，而不是因为受到什么离心力。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 设做匀速圆周运动的物体的质量为m ，转动角速度为ω，转动半径为r ，所受的合外力为F 合。

物体做匀速圆周运动所需的向心力2F m r ω=向。

⑴ 当F F =合向时，此时“提供”满足“需要”，物体做匀速圆周运动； ⑵ 当F F <合向时，此时“提供”小于“需要”，物体做离心运动；
⑶ 当F F >合向时，此时“提供”大于“需要”，物体做近心运动。

在圆周运动中经常涉及临界问题，分析这类问题时，首先应考虑清楚临界情况下物体所处的状态，然后分析该状态物体的受力特点，再结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程进行求解。

其中竖直面内的临界问题我们将在模块1.2中进行重点分析。

**************************************************************************************** 例题说明：由于向心力的分析秋季、寒假已经讲过一些基础内容，知识点睛部分也给出了几个基本模型让学生练习受力分析（老师可以利用知识点睛的表格中的模型进行基础训练），因此，这部分所配的
例题精讲
例题都是有些变化的，涉及生活中圆周运动的模型、多个物体的向心力、水平面内的临界问题。

其中，汽车过拱桥问题可与竖直面内圆周的临界问题结合，因此后续模块中再练习。

例1与实际结合，对比较简单的模型进行定性分析；例2是杆的弹力提供向心力（弹力不沿杆的方向）；例3涉及两个物体的问题，要合理选择研究对象；例4是摩擦力提供向心力的问题，涉及绕同轴转动的物体角速度相同；例5是火车转弯问题；例6是临界问题，需要找到临界条件，分情况讨论。

挑战极限部分的例7、例8有一定难度，由绳的拉力和静摩擦力共同提供向心力，需要搞清到底哪个先变化。

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【例1】 有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形的大容器，筒壁竖直，游客进入容器之后靠着筒
壁站立，当圆筒开始转动，转速加大到一定程度的时候，突然地板陷落，这个时候游客发现自己没有掉下去，这是因为
A 游客受到筒壁的作用力垂直于筒壁
B 游客处于失重状态
C 游客受到静摩擦力等于重力
D 游客随着转速的增大有沿着筒壁向上滑动的趋势 【答案】 C
【例2】 质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平
方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为
A ．2m R ω
B
C D ．不能确定
【答案】 C
【例3】 如图所示，一根光滑的轻杆沿水平方向放置，左端O 处连接在竖直的转动轴上，A 、B 两
球可看做质点，穿在杆上，并用细线分别连接OA 和AB ，且OA=AB ，已知B 球质量为A 球质量的2倍。

当轻杆绕O 轴在水平面内匀速转动时，OA 和AB 两线的拉力之比12F F :为 A ．2∶1 B ．1∶2 C ．5∶1 D ．5∶4
【答案】 D
【例4】 如图所示，水平转盘上的A 、B 、C 三处，有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方
体物块；B 、C 处物块的质量相等且为m ，A 处物块的质量为2m ；点A 、B 与轴O 的距离
相等且为r ，点C 到轴O 的距离为2r ，转盘以某一角速度匀速转动时，A 、B 、C 处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是 A ．C 处物块的向心加速度最大 B ．A 处物块受到的静摩擦力最小
C ．当转速增大时，最先滑动起来的是C 处的物块
D ．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A 处的物块
【答案】 A C
【例5】
有一列重为100t 的火车，以72km /h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径
为400m 。

（取2
10m /s g =）
⑴ 试计算铁轨受到的侧压力大小；
⑵ 若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为0，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。

【答案】
510N ，0.1
【例6】
一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30θ=︒，如图所示，一条长度为l 的细绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可视为质点）。

物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平面上的匀速圆周运动。

⑴
当v 时，求绳对物体的拉力；
⑵
当v =
【答案】
1.03mg 2mg **************************************************************************************** 教师版说明：下面再补充一道涉及临界的问题，转速不同时物体的受力情况不同，此题是2013年高考
题，老师可以选用。

【补充1】如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水
平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO '重合。

转台以一定角速度ω匀速转动。

一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO '之间的夹角θ为60︒。

重力加速度大小为g 。

⑴ 若0ωω=时，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0ω；
⑵ ()01k ωω=±，且01k <≤，求小物块受到的摩擦力大小和方向。

【答案】 ⑴
0ω=
⑵ 当()01k ωω=+时
，()22
k f mg +=
，沿罐壁切线向下；当()01k ωω=-时
，
()
22
k f mg -=
，沿罐壁切线向上 。

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挑战极限
【例7】
如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零），物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍。

求
⑴
当转盘的角速度为1ω=1T ；
⑵
当转盘的角速度为2ω=
2T 。

【答案】 10T = 21
2
T m g
μ=
【例8】
如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置
能绕过CD 中点的轴OO '转动，已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A 到OO '轴的距离为物块B 到OO '轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是
A ．A 受到的合外力一直在增大
B ．B 受到的静摩擦力是先增大后减小
C ．A 受到的静摩擦力是先增大后减小
D ．B 受到的静摩擦力一直增大 【答案】 A
1．受力分析
用轻绳拉着小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，小球运动到A 点时受到重力和拉力的作用，将重力分解为1G 、2G ，则拉力与1G 的合力提供向心力；
2G 提供切向力，改变速度的大小。

除最高点和最低点外，其他各点的切向加
速度均不为零，因此小球做变速圆周运动。

小球在圆心下方位置时：21v F G m R
-=，即22
1cos v v F G m mg m R R θ=+=+，小
球位置越靠上，θ越大，v 越小，张力越小，在任一位置处0F ≥，在最低点
绳中拉力最大，2
max v F m mg R
=+。

同理，小球位置在圆心上方时，2
cos v F m mg R
θ=-，小球越靠上，θ越小，
速度v 越小，绳中张力越小。

球在最高点张力最小（前提是小球能上升到最高
点，即min 0F ≥），2
m i n v F m m g R
=
-。

2．竖直平面内圆周运动的临界问题
通过受力分析可知，物体在竖直平面内做圆周运动时，一般在通过最高点时处于临界状态，下面我们重点研究一下这个问题。

⑴ 如图所示，绳拉小球．．．．
在竖直平面内做圆周运动时过最高点的情况： ① 临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力刚好等于零，则小球的重力提供
其做圆周运动的向心力，即2v mg m r
=临界。

v 临界是小球通过最高
点的最小速度，v 临界
1.2 竖直面内的圆周运动
知识点睛
② 能过最高点的条件：v v ≥临界（此时绳对球产生拉力F ）。

③ 不能过最高点的条件：v v <临界（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）。

⑵ 有物体支撑的小球．．．．．．．
在竖直平面内做圆周运动时过最高点的情况： ① 临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0v =临界。

② 如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：
当0v =时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N F ，其大小等于小球的重力，即N F mg =； 当0v
gr <<时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小； 当v gr =时，N 0F =；
当v gr >时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。

③ 如图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况： 当
0v =时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力N F ，其大小等于小球重力，即N F mg =； 当0v gr <<
时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力N F ，大小随速度的增大而减小；
当v gr =时，N 0F =；
当v gr >时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。

⑶ 光滑球面上的物体在竖直平面内做圆周运动的情况（例如汽车过拱桥即属于这种情况）： 由于球面只能提供支持力，不能提供拉力，所以： ① 当物体在最高点的速度为v gr ≥时，物体将做平抛运动而脱离球面 ② 当物体在最高点的速度为0v gr <<时，物体将先沿斜面下滑，然后做斜下抛运动而脱离球面。

**************************************************************************************** 教师版说明：竖直平面内的圆周运动涉及能量问题的较多，因此这部分没有放过多难题，主要是对基础知识的巩固。

例9、例10、例11考察无约束（绳模型）的情况，其中例9、例10考察运动过程中及特殊位置的受力分析，例11考察临界条件；例12对应有约束（杆模型）的情况；例13、例14对应光滑球面的模型，其中例13考察达到临界情况时的运动情景，老师可以重点分析一下，例14是汽车过拱桥问题，有一定难度，涉及两个约束条件，需要综合分析。

挑战极限部分的例15、例16涉及对两个物体的受力分析，稍微综合一些，但整体难度不是很大。

**************************************************************************************** 【例9】 如图所示，一质量为m 的木块从光滑半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中
A ．它的加速度方向指向球心
B ．它所受合力就是向心力
C ．它所需向心力不断增大
D ．它对碗的压力不断减小 【答案】 C
【例10】 乘坐游乐场的过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图所示，下
列说法正确的是
A ．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，
例题精讲
人一定会掉下去
B ．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C ．人在最低点时，处于超重状态
D ．人在最低点时，对座位的压力大于mg
【答案】 C D
【例11】 杂技表演中的水流星，能使水碗中的水在竖直平面内做圆周运动。

设v a ω、、分别表示水
碗运动到最高点处的线速度、加速度和角速度，则要使水碗运动到最高点处水不流出，应满足的条件是
A ．v rg ≥
B ．g
r
ω≥
C ．a g ≥
D ．v g ω≥ 【答案】 A BCD
【例12】 质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管横截面直径，如
图所示。

已知小球以速度v 通过最高点时对圆管外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度2
v
通过
圆管的最高点时
A ．小球对圆管内、外壁均无压力
B ．小球对圆管外壁的压力等于1
2mg
C ．小球对圆管内壁的压力等于1
2
mg
D ．小球对圆管内壁的压力等于mg 【答案】 C
【例13】 如图所示，小物块位于半径为R 的半球顶端，若小球的初速度为0v 时，物块对球顶恰无压
力，则以下说法正确的是
A ．物块立即离开球面做平抛运动，不再沿圆弧下滑
B ．0v gR =
C ．物块落地点距球顶水平距离为2R
D ．物块落地速度方向和水平地面成45︒角
【答案】 A BC
【例14】 如图所示，质量42.010kg m =⨯的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥和凸形桥（近似认为凹
形桥和凸形桥与水平路面的高度差很小，所以汽车行驶过程中速率不变），两桥的圆弧半径均为60m ，如果桥面承受的压力不超过53.010N ⨯，则： ⑴ 汽车允许的最大速率是多少？（取210m /s g =） ⑵ 若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
【答案】 ⑴ 103m /s ⑵ 51.010N ⨯
挑战极限
【例15】 如图所示，轻杆长2L ，中点装在水平轴O 点，两端分别固定着小球A 和B ，
A 球质量为m ，
B 球质量为2m ，两者一起在竖直平面内绕转轴O 做圆周运动。

⑴ 若A 球在最高点时，杆A 端恰好不受力，求此时O 轴的受力大小和方向。

⑵ 在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现杆沿竖直方向时，O 轴不受力的情
况？若不能，说明理由；若能，求出此时A 、B 的速度大小。

【答案】 ⑴ 4mg ，向下 ⑵ 能，A B v v =
**************************************************************************************** 教师版说明：本题涉及杆的弹力分析，因此把原题改简单了一些，求杆沿竖直方向时，能否出现O 轴不受力的情况；原题没有“杆沿竖直方向”的限制。

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【例16】 如图所示，质量为M 的电动机放在水平面上，距水平轴O 为r 处固定一
个质量为m 的铁块，电动机启动达到稳态后，铁块以角速度ω做匀速圆周
运动。

为使电动机不离开地面，角速度ω应在什么样的范围内？
【答案】 ω。