皇姑区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

皇姑区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． “1ab >”是“1
0b a
>
>”（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2． 设a ，b 为正实数，11
a b
+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）
A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.
3． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
4． 已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．13
5． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -
【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．
6． 已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．13
2
C ．12
D ．15 7． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A
．=
B
．0S = C ．0122S S S =+ D ．20122S S S =
8． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 记
,那么
A
B
C D
10．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
11．已知函数(5)2
()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 12．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；
④{}0∅⊆,正确的有（ ）个
A.个
B.个
C.个
D.个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ． 14．若全集
，集合
，则
15．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在3
2
x = 处的导数302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________． 16．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（文科）（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
18．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆
22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.
（1）()()44a b -- 的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.
19．已知矩阵A ＝，向量＝
.求向量
，使得A 2＝.
20．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
21．如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A ，OB 与⊙O 相交于点． （1）求BD 长；
（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO=AD ．
22．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα=
（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
皇姑区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】B
【解析】解析：本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定． 当0a >时，由1ab >可得10b a >>，当0a <时，由1ab >可得10b a <<；若1
0b a
>>，则有0a >，
1ab >，∴“1ab >”是“1
0b a
>>”的必要不充分条件，选B ． 2． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322()44()11
84()82
()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab
++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.
3． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 4． 【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得
=||||cos ＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
=
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
5． 【答案】B
6． 【答案】
C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y 轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 7． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h S a S a h
S '⎧=⎪+⎪
⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 8． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
9． 【答案】B 【解析】【解析1】
,
所以
【解析2】
，
10．【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+
-=，由0n a >得
n a
=
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前
n
项和为
1111
1)1)52222
+++== ，∴120n =，选C ． 11．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系.
二、填空题（本大题共4小题，每小题
5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】 [1，）∪（9，25] ．
【解析】解：∵集合
，
得 （ax ﹣5）（x 2
﹣a ）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a ＞
0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足
，
解得；
若
，只需满足
，
解得 9＜a ≤25， 当a ＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
14．【答案】{|0＜＜1｝ 【解析】∵，∴
{|0＜＜1｝。

15．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
.1 16．【答案】 2016 ．
【解析】解：由a n+1=e+a n ，得a n+1﹣a n =e ， ∴数列{a n }是以e 为公差的等差数列， 则a 1=a 3﹣2e=4e ﹣2e=2e ，
∴a 2015=a 1+2014e=2e+2014e=2016e ． 故答案为：2016e ．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】（1）0.3a =；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】
（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：
()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<；
月均用水量低于3吨的频率为：
()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>；
则0.850.73
2.50.5 2.90.30.5
x -=+⨯
=⨯吨．1 考点：频率分布直方图．
18．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3）6． 【解析】
试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =
2=，再进行化简，即可求
解()()44a b -- 的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨迹方程；（3）将面积表示为()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b ∆==+-=+-=-+-+ ，再利用基本
不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值
.
（3）()()()
11
448244666224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+≥=
,
∴当4a b ==+,
面积最小, 最小值为6.
考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446ADP S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题
. 19．【答案】＝
【解析】A 2＝.
设
＝
.由A 2＝，得
，从而
解得x
＝-1，y ＝2，所以＝
20．【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++．
【解析】
试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n n n n a a b n --==-≥，这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n
n n n a a a a a ---=-+-+
211()a a a +-+求得．
试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵12
22
n n b b ++=+，
又121224b a a +=-+=，
∴2312(21)
(2222)22222221
n
n
n n a n n n +-=++++-+=
-+=-- .
∴224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 21．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OAC=∠ODB ． ∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ． ∴∠AOD=180°﹣∠A ﹣∠ODC=180°﹣∠COD ﹣∠OCD=∠ADO ． ∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
22．【答案】（1；（2．
【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+=
⎪⎝
⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛
⎫
⎛
⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒sin 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
试题解析：（1αα∴
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21
cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛
⎫
+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
，∴sin 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．……………………………………10分 ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
………………………………………………………………………………12分 考点：三角恒等变换．。