高三数学下学期数列多选题单元学能测试试卷

高三数学下学期数列多选题单元学能测试试卷
一、数列多选题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(
)1*11,221,21
n n n a n k
a k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =
B ．数列{}(
)*
213k a k N
-+∈是以2为公比的等比数列
C ．对于任意的*k N ∈，1
223k k a +=-
D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】
根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得
{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.
【详解】
由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，
所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以
2222
22
k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，
所以12242k k a -+=⨯即1
222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故1
2132k k a +-+=，
所以
21213
23
k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.
()()141214117711S a a a a a a a =++
+=++++++
()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-+
+-+=，
15141598150914901000S S a =+=+=>，
故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.
2．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足2
1159,4n n n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
3．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n
++==，且2
1
2n n n n a b a a ++=，
则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()
12
n n n S += C ．()
1
12n b n n =-
+
D ．
1334
n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】
可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12
n n n S +=得出n a n =，代入2
1
2n n n n a b a a ++=中可得
()112n b n n =+
+.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明13
34n T n ≤-<.
【详解】 由题意得，
12
n n S n S n
++=， ∴当2n ≥时，
121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=
⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()
12
n n n S +=
，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()2
11111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭
，
∴
111111
1111111111232435
1122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫
=+-+-+-+
+
-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭
3111342124
n n n n ⎛⎫=+
-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加，
∴1113n T n T -≥-=，∴13
34
n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
4．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．17
5
n n a a t +=
- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >
【答案】BC 【分析】
先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】
第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712
(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525
t a a t a t =⨯+-=
-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17
(140%)5
n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为
212277777()()55555
n n n n a a t a t t a t t ---=
-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117
[1()]
75()(2800)7515
n n t t ---=---=
11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522
n t t --+，
所以
111722775277[()(2800)]()(2800)555522552
n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=
--=-=-+-=-，
因为800t <，所以7280002
t
->， 所以11277()(2800)0552
n n n t
a a -+-=
->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，3109109400
54885488374438002525
t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.
5．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11
n n n a a a +=
+，1
(1)n n b n a =+，若
23
100
100122
2
23100b b b T b =+
+++
，则（ ） A ．n a n = B ．1
n n b n =
+ C ．100100
101
T =
D ．10099100
T =
【答案】BC 【分析】
先证明数列1n a 是等差数列得1
n a n =，进而得1(1)1n n n b n a n ==++，进一步得
()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101
T =. 【详解】 解:因为11n
n n a a a +=
+,两边取倒数得:
1111n n a a +=+,即1
11
1n n
a a ,
所以数列
1
n
a 是等差数列,公差为1,首项为
111a ,
故
()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n
=,
所以1(1)1
n n n
b n a n =
=++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以3
100210012
22
111
1
23
10022334
100101
b b b T b =+
+++
=++++
⨯⨯⨯
111111
11100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列
1
n
a 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .
6．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即
01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.
7．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】
∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列， ∴234,
8
a a =⎧⎨
=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22
B ．d =－2
C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值
D ．当S n >0时，n 的最大值为20
【答案】BCD 【分析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，
由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2
111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，
化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21
(20222)212
n S n n n n =+-=-， 由221441()24
n S n =--
+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”
，其通项公式1122n n
n a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列
{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．10711S a =
B ．2021201920182a a a =+
C ．202120202019S S S =+
D ．201920201S a =-
【答案】AB 【分析】
选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =++++
+，
202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可判断.选项D.由
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.
【详解】
因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；
由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+，
所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =++++
+，202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，
所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为
()()()()()123324354652122
n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++
+=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.
故选：AB. 【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由
202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得
202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。