y2012年福州市高中毕业班质量检查文科数学

2012年XX 市高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.） 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C
8．B
9．A
10．C
11．A
12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．i
14．
1
4
15．1
16．1()3
n
三、解答题（本大题共6小题，共74分．） 17．解：（Ⅰ）由已知得112n n a a +=+
，即11
2n n a a +-=． ·········· 1分 ∴ 数列{}n a 是以1
2
为首项，以1
2
d =
为公差的等差数列． ········· 2分 ∵ 1(1),n a a n d =+- ························· 3分 ∴ 11(1)222
n n
a n =
+-=（*n N ∈）
． ·················· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得14
1(1)22
n b n n n n =
=
++⋅， ··············· 7分 ∴ 11
4()1
n b n n =-+． ·······················
9分 ∴ 11111
4[(1)()()]2231
n T n n =-+-++-+14(1)1n =-
+41n n =+． ····· 12分 18．解：（Ⅰ）事件A 包含的基本事件为：{,}a b 、{,}a c 、{,}a x 、{,}a y 、{,}b c 、{,}b x 、{,}b y 、
{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共10个．
······················ 6分 注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．
（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件B ．
∵ 事件B 包含的基本事件有{,}a x 、{,}a y 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共7个． ···································· 9分
∴ 7
()10
P B =
． ·························· 12分 方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有
{,}a b 、{,}a c 、{,}b c ，共3个． ····················
8分
∴ 2个门都没被班长敞开的概率13
10
P =
， ·············· 10分 ∴ 至少有1个门被班长敞开的概率237
11010
P =-
=． ·········· 12分 19．方法一：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠（k ∈Z ），即4x k π
π≠+（k ∈Z ），
∴ 函数()f x 定义域为{|,}4
x x k k π
π≠+∈Z ． ··············
2分
∵cos 2(),
)
4
x f x x π
=
-
22cos sin ()cos sin )cos sin 4x x f x x x x x x π
-∴==+=+-，············
5分 注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.
（Ⅰ）()sin()121243f ππππ=+==
········· 8分 （Ⅱ）令322(2
4
2
Z)k x k k π
π
π
ππ+
<+
<+
∈， ············ 10分 得522(4
4
Z),k x k k π
π
ππ+
<<+
∈ ················· 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)4
4
k k π
π
ππ+
+
(Z)k ∈． ····· 12分 注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分． 方法二：由sin()04x π-≠，得4x k π
π-≠（k ∈Z ），即4x k π
π≠+（k ∈Z ），
∴ 函数()f x 定义域为{|,}4
x x k k π
π≠+∈Z ． ··············
2分
∵cos 2(),
)
4
x f x x π
=
-
sin 2()2sin()cos()
444())4)sin()44
x x x f x x x x πππ
πππ---∴===---， ·······
5分
（Ⅰ）()cos())121246f ππππ=-=-== ········ 8分
（Ⅱ）令22()4
k x k k Z π
πππ<-
<+∈，··············· 10分 得522(4
4
Z)k x k k π
π
ππ+
<<+
∈， ················· 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)4
4
k k π
π
ππ+
+
(Z)k ∈． ····· 12分 方法三：（Ⅰ）∵
cos(2)cos
12
6
π
π
⨯
=，1sin()sin 41262
πππ-==， ∴
2
()1122
f π==． ······················ 3分 下同方法一、二．
20．解：（Ⅰ）依题意，点P 坐标为(,0)a ． ··············· 1分 ∵ 6OP OQ ⋅=，点Q 坐标为(3,3)，
∴ 3306a +⨯=，解得2a =． ····················· 3分
∴ 椭圆C 的方程为22
149
x y +=． ···················
4分 （Ⅱ）过点Q (3,3)且斜率为3
2的直线AB 方程为33(3)2y x -=-，
即3230x y --=． ·························· 5分 方法一：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，
由22
1,49
3230,x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
消去x 并整理得，2812270y y +-=． ·········· 6分 ∴ 1212327
,28y y y y +=-=-， ····················· 7分
∴ 2212121295463
()()4444
y y y y y y -=+-=+=
， ∴
12||y y -=
． ························· 9分 ∵ 直线AB 与x 轴的交点为(1,0)M ， ∴ AOB ∆的面积AOB OMA OMB
S S S ∆∆∆=+
121211||(||||)1||22OM y y y y =
⋅+=⨯⨯-=
． ··· 12分 方法二：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，
由22
1,49
3230,x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
消去y 并整理得22230x x --=， ··· 6分 ∴
12x x =
， ············ 7分 ∴
12|||AB x x -==
9分 ∵ 点O 到直线AB
的距离d =
==
， ·········· 10分 ∴ AOB ∆
的面积1122AOB S AB d ∆=
⋅⋅==． ······· 12分 方法三：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，
由22
1,49
3230,x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
消去y 并整理得22230x x --=， ··· 6分 ∴
12x x =
， ············ 8分 ∵ 直线AB 与y 轴的交点为3
(0,)2M -，
∴ AOB ∆的面积 AOB OMA OMB S S S ∆∆∆=
+12113||(||||)222OM x x =
⋅+=⨯⨯=
．…12分 方法四：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，
由22
1,49
3230,x y x y ⎧+
=⎪⎨⎪--=⎩
消去y 并整理得22230x x --=， ············ 6分 ∴ 12123
1,2
x x x x +=⋅=-， ······················ 7分
∴
12||AB x x -， ·································· 9分
∵ 点O 到直线AB
的距离d =
=
=
， ·········· 10分 ∴ AOB ∆
的面积1122AOB S AB d ∆=
⋅⋅==． ······· 12分 21．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，∵ BD AC ⊥，
∴ BD AO ⊥. ···························· 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥,
∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF
平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，
∴ PO ⊥平面ABFED , ······················ 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，
∴ PO BD ⊥. ···························· 3分 ∵ AO
PO O =，所以BD ⊥平面POA . ················
4分 （Ⅱ）连结OB ，设AO BD H =.
由（Ⅰ）知，AC BD ⊥． ∵ 60DAB ∠=︒，4BC =，
∴ 2BH =
，CH =． ······················· 5分 设OH x =
（0x <<．
由（Ⅰ）知，PO ⊥平面ABFED ,故POB ∆为直角三角形． ∴ 222222()PB OB PO BH OH PO =+=++，
∴
222224)2162(10PB x x x x =++=-+=-+． ······ 7分
当x PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ············ 8分
∴ 1
4CEF BCD S S ∆∆=， ························· 9分
∴ 33
44
BCD ABD BFED S S S ∆∆==梯形， ··················· 10分
∴ 1211
,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形． ·············· 11分
∴ 1243
ABD BFED V S V S ∆==梯形．
∴ 当PB 取得最小值时，12:V V 的值为4:3． ············· 12分 22．解：（Ⅰ）22(1)(1)
()2x x f x x x x
+-'=-+
=-
（0x >）， ········· 1分 由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,
0f x x '<⎧⎨>⎩
得，1x >.
∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ··········· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ·················· 4分 （Ⅱ）∵ ()a g x x x =+
， ∴ 2()1a
g x x
'=-． （ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，
∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ···················· 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ·········· 8分
（ⅱ）∵ 211
()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln3f =-+，
∵ 2192ln321e -+<-
-<-， 即 1
(3)()(1)f f f e
<<，
∴ 11
[,3]x e ∀∈，1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ······ 9分
由（ⅰ）知1()g x x x =+
，∴21()1g x x '=-
. 当1
[,1)x e
∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．
故()g x 在1
[,1)e
为减函数，在(1,3]上为增函数．
∵ 11110
(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，
而 11023e e <+<, 1
(1)()(3),
g g g e ∴<<
∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10
()(1)2,()(3)3g x g g x g ====． ········ 10分
① 当10k ->，即1k >时，
对于121
,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11
f x
g x k -≤-恒成立
11 / 11 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+
12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-， ∴ 312k ≥-+=-，又∵ 1k >， ∴ 1k >． ···························· 12分 ② 当10k -<，即1k <时， 对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()
11f x g x k -≤- 12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+． ∵ 1210
37
()()(3)(3)92ln32ln333f x g x f g -≥-=-+-=-+，
∴ 34
2ln33k ≤-+．
又∵1k <，∴ 34
2ln33k ≤-+．
综上，所求的实数k 的取值X 围为34
(,2ln3](1,)3-∞-++∞．
······· 14分。