苏科版九年级下册 第6章相似三角形章节复习学案设计(无答案)

相似三角形章节复习提优 知识回顾：
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念
（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是
n
m
b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d
c b a ,,,中，如果b a 和的比等于
d c 和的比，那么这四条线段
d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是
d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d c b =．②()a c
a b c d b d
==在比例式：：中，
a 、d 叫比例外项，
b 、
c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、
d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、
d 的比例中项， 此时有2
b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2
AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄
金分割点，其中AB AC 215-=
≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：
12
长短＝＝
全长
注：黄金三角形：顶角是360
的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：
①bc ad d c b a =⇔=::；②2
::a b b c b a c =⇔=⋅．
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除
了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．
（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()
()a b
c d a c d c
b d b a
d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩
，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c
=⇔=．
（4）合、分比性质：a c a b c d b d b d
±±=⇔=
．
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d
c d c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
（5）等比性质：如果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么b
a
n f d b m e c a =++++++++ ．
注：
①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：
b
a
f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．
知识点4 比例线段的有关定理
1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
由DE ∥BC 可得：AC
AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =
==或或 注：
①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三．．角形三边．．．．
对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD ∥BE ∥CF,
可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC
BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF
=====
或或或或等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：
①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 (1)相似三角形的等价关系：
①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． ②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．
③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．
知识点7 三角形相似的判定方法
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
B
(3)
D
B
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2
=BD ·DC ，AB 2
=BD ·BC ，AC 2
=CD ·BC 。

知识点8 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 知识点9 位似图形有关的概念与性质及作法
1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注：
（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线.
典例精析：
例1、线段的比、黄金分割
（1）.在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ）
B
C
A ．200cm
B ．200dm
C ．200m
D ．200km
（2）、已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。

1、（1）若52
=
-y
y x ，
则y x
=_______；
已知3
2=y
x ，则y x y
x +-=________；已知6
53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。

（2）线段AB 长1，点C 是AB 的黄金分割点，则AC ＝__________。

例2、平行线分线段成比例
如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC ＝2
3，
DE ＝4，则EF 的长是( )
A. 83
B. 20
3
C. 6
D. 10
2、（1）如图1，已知HGI FEG DCE ABC ∆∆∆∆、、、是4个全等的等腰三角形，底边
GI EG CE BC 、、、在同一直线上，且12==BC AB ，。

连接AI ，交FG 于点Q 。

则
__________=QI 。

（2）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2.且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为________．
例3、相似三角形的性质与判定
Q
B
A F D H
(1)如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2=BG•DH；
（2）求证：CE=DG；
（3）求证：EF=HG．
(2)如图，已知△ABC的三边长a、b、c，且a＜b＜c，若平行于三角形一边的直线l将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是________．(用“＜”号连接)
3、(1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
（2）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交
于点D，与边AB相交于点E．
（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）
（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；
（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？
例4、相似三角形的实际应用
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，
AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC内部的矩形，
它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，
另一组对边分别在BC上或与BC平行. 若各矩形在AC上的
边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
4、某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确
保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，
如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
例5、位似图形
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是
例6、母子型相似三角形及K字型
如图，在△ABC中，AD
为∠A的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FC
FB
FD⋅
=
2
6、如图，︒
=
∠
=90
,ACB
CA
CB，点D在边BC上（与点C
B、不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F作CA
FG⊥，交CA的延长线于点G。

连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①FG
AC=
②2
1
:：
四边形
=
∆CBFG
FAB
S
S
③ ABF ABC ∠=∠ ④AC FQ AD ⋅=2
其中正确结论的个数是（ ）
1、A
2、B
3、C
4、D
例7、—线三等角型
如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；
（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的取值范围． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．
7、（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的取值范围； （2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.
A
D
苏科版九年级下册第6章相似三角形章节复习学案设计(无答案)
B C
A B C 备用图 A
B
C
P
Q
例8、相似三角形动点问题
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求运动时间t的取值范围；
（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？
（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？
8、正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持
AM 和MN 垂直.
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值.
D
B
A
M
C
N
例9、相似三角形综合题
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA=9，OB=16，点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE ⊥OB，垂足为E．
（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
9、（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE 于点P，求证：=；
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF 分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2=DM•EN．
课堂练习：
1.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）
A．B．C．D．
2、如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）
A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3
3、如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB 上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为．
4、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E在边AD上，且AE：DE=1：3，连接BE，BE与AC相交于点M，若AC=6，则M0的长是．
5、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE
交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．
6、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于．
B
过点A，EF 与A C 交于M点．
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
10、如图，点O为矩形A BCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G 分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线E F 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G 运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=（）s 时，四边形E BFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
课后思考：
1、如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中点G F E 、、分别在FD BC AB 、、上。

若2
6 BF ，则小正方形的周长为（ ）。

865、A 665、B 265、C 3
601、D
2、如图，直角△ABC 中，∠BAC=90°，D 在BC 上，连接AD ，作BF ⊥AD 分别交AD 于E ，AC 于F ．
（1）如图1，若BD=BA ，求证：△ABE ≌△DBE ；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；
②AG2=AF•AC．。